给学生的概率论与数理统计

本1

本2第四

本3完整描述一个随 一般只要知道 量的重要综合指――――数字

本如：评价某地区粮食产量的水平时，通的某些数字特征在理论和实践上都具有义，它们能更直接、更简洁、更清晰和更反映出 量的本质

本

等 3 售价 10产品资平均售价

数量kk

1 3

6 xxk

x

x

n

kx51831068.9（元k ＊一般：

本xxk

xk ――――数学期▲定义设离散型随量X的分布律pkP{Xxk}(k1,2,3,)kE(X) xkk

1本14 1 pE(X)xkpk0(1p)1pk＊例X~P()EXE(X)

kk

k

(k

e＊例３：X~b(n

EXnp＊例４：甲，乙两人进行打靶，所得分数分别记X1X2012X0120试评定他们的成绩的好解：计算平均E(X1)0010.220.8E(X2)00.610.320.1显然，乙的成绩远不如甲的成8＊例５：某柜台上有４个售货员，并预备了两个台秤，若每个售货员在一小时内平均解：每个时刻构成一n4的贝努里试p15XX~9P(X

X~

本4C30.253(10.25)0.2544Y 台秤

E(Y)p 台秤不Y服从０－１分布

1 某种产品的每件表面上的疵点数服从参0.8的泊松分布，若规定疵点数不超过1个为等品，价值10元；疵点数大于1个不多于4个为二等品，价值8元；疵点数超过４个为废品。求）X为每件产品上X~P{X4}1P{X 10.8e0.8k 产品的废品率为0.001412X为每件产品上的X~P(0.8P{X4}设Y为产品的价值，则Y的分布8 8

P{X

P{1X

P{XE(Y)10P{X}8P{1X0P{X110

e0.88

k k 9.6（元）－－产品价值的平均值二．连续型 量的数学期

本设连续型 量X的密度函数为f(x)果广义积分xf(x)dx绝对收敛的值为 量X的数学期望或均值，记作EXE(X)xf(x)dx 0x

本f(x

2 1x0 0 E(X)1

xf(x)dx2

xf(x)dxxf(x)dx 1

xf(x)dx2

xf(x)dx0

xxdx

x(2x)dx0＊例f(x)b

ax

本 E(X)xf(x)dx

xf(x)dx

xf(x)dx

xf(x)dxabx0dxx ab

x01(ab)

b 某商店对某种家用电器的销售采用先使的方式 为X（以年计规定使用X1X2XX一台付款（设寿命 服从指数分布，概率密度f

xx

，试求该商店一台电Y的数学期望。解：先求出X落在各个时间区间的率P{X

0.1e0.1xdx1

使用X使用X1X2XX本一台付款（3000f(x)

xx

P{X}P{1XP{2X

20.1e0.1x130.1e0.1x2

一 平一P{X

0.1e0.1xdx3Y

E(Y)

3000三．二维 量的数学期

本＊对二维 量(X,Y)，则它的数学期望为E(X,Y)(EX,EY离散型：分布P{Xxi,Yyy} (i,j E(X)xipixi j E(Y) yjpj yjj j1 连续型：联合密f(x

本E(X)xfX(x)dxxf(x,E(Y)yfY(y)dy

yf(x, 0yxf(x,y

yE(X)

xdxx12y2dy1 1E(Y)

dxy12y2dy 四． 量函数的数学期＊定理：g(x)是连续函数，E[g(X)] g(xk)

本 k（g(xk)pk绝对收敛，X为离散型 量k E[g(X)]g(x)f(x)dx（g(xf(x)dx绝对收X为连续型随变量 E(Z)存在（１若X,Y)为离散型随机向量，其概率分P{Xxi,Yyjpij(i,j1,2,，则Z的数 为E(Z)E[g(X,Y)] g(xi,yj)pijj1（２若X,Y)为连续型随机向量，其概率f(x, E(ZE[gX,Yg(x,yf(xy)dx 4

本＊例

2 E(X2

8(1)21022223422 E(2X2E(X)14＊例２：设市场对某种商品的需求量为 X（单位：吨它服从[2000,4000]上的均匀解：设组织货源为m吨，Y为收益（万元Yf(X)

X3X(mX X

2000xＸ的密度：f(x

Ｘ的密f(x

2000x

本14 E(Y)g(x)f m

(4xm)dx

40002000

(m27000m4106望达到dE(Y)0望达到 ＊例３：设XY)的联合概率分布

本 01231301/3/03/001/X13/0X13/031/41E(X23p1/3/3/1/8

331 3E(Y)32 0 0123本1301/3/03/001/ (13)0(30)1(31)08(32)0(33)1 EXYEX)E(YXY不独＊例４：设 E(sinXEX2EXEX)]22解E(sinX)sinxf(x)dx2

sinx

dx

(cosx)0202E(X2

x2f(x)dxx21dx E[XE(X)]2E(X/

(x

/2)

dx

DX)*XY)本 1yx,xf(x,y)

2x3y2

E(Y1

yXY

xy EYyf(x

y