对数与对数运算教学设计

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《对数与对数运算》教学设计

成都树德怀远中学季小龙

课题2.2.1对数与对数运算：第一课时三维目标：

（一）知识与技能

1．理解对数的概念，了解对数与指数的关系；

2．学会对数式与指数式的的互化，培养学生类比，分析，归纳的能力。

（二）过程与方法

1．解自然对数和常用对数的概念，以及对数恒等式；

2．通过实例推导对数运算性质，确凿运用对数的运算性质进行计算，求

值，化简。并把握化简，求值的技能。

（三）情感、态度和价值观

1.培养学生分析，综合解决问题的能力；

2．通过对数的运算法则的学习，培养学生的严谨的思维品质；3．在学习过程中培养学生探究的意识。

教学内容分析：

教学重点对数式与指数式的互化以及对数性质加以灵活运用教学难点对数运算性质推导过程，以及分析过程课型：新授课新课讲解

（一）创设情境，课题引入

（学生活动）P68~P69页提出以下问题：

（1）对对数的发明有优良贡献的科学家是谁?（2）发明对数的目的是什么？

（3）为什么说对数发明是17世纪重大数学成就？

苏格兰数学家napier（纳皮尔）在研究天文学过程中，为了简化其中的计算发明白对数。恩格斯曾经把对数的发明与解析几何的创立、微积分的建立是并称为17世纪数学史上的3大成就。伽利略也说过：“给我空间、时间及对数，我可以创造一个宇宙〞；

（老师引导：那么，什么是对数？对数式怎样简化运算的？对数真的有用吗？

）

教师：为了研究对数，我们先来研究下面这个问题？

毕竟是先有对数还是有指数呢？“对数源于指数〞，对数发明先于指数，成为数学史上珍闻

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（学生活动）P57页思考：

（1）根据上一节的例8我们能从y?13?1.01中算出任意一个x（经过的年份）的人口总数，可不可能哪一年人口数低于13亿？

（2）那么哪一年的人口达到18亿？

（3）可不可能哪一年人口达到1000亿？你会算吗?（教师活动）

（1）由指数函数性质知a?1,x?0，有1.01?1，所以y?13?1.01（2）人口数达到18时候，y?18，所以有（3）学生可能会说

100013xxxx?13

1813?1.01在个式子中，x等于多少？

x?1.01，解出x即可。实际不然，实际问题实际考虑，

地球上抚养不起这么多人，所以现在同学们们要珍惜现在资源，爱护地球。

（二）对数概念

（教师活动）（板书）

一般地，若ax记作xa?N(a?0,且a?1)，那么数x叫做以a为底N的对数，

?logaN，

叫做对数的底数，N叫做真数。

x其中a?N为指数式，称x?logaN为对数式对数式与指数式具有互化关系：

ax?N?x?logxaN

1813

由此可知，引例中问题：1.01?1813的x用对数表示为x?log1.01（教师活动）想想x?logaN中底数a有没有什么限制呢？N有没有什么限制呢？（教师活动）引导学生通过等价关系，理解等价关系的定义。（箭头的双向性：充要性）（学生活动）前面可以推出后者，后者也可以推出前者。（教师活动）a?N中a有什么限制呢？

（学生活动）（1）a?N中的a?0且a?1。因此，logaN?x也要求a?0且a?1（教师活动）a?N中N有什么限制呢？

（学生活动）（2）由于a?0且a?1时有a?N?0。因此，logaN?x中真数N?0（教师活动）总结：即是说负数与零一定没有对数。综合下来：a?0且a?1，N?0。

xxxx

毕竟是先有对数还是有指数呢？“对数源于指数〞，对数发明先于指数，成为数学史上珍闻

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（三）两种特别的对数：

板书：

常用对数log10自然对数logeN记为lgN；N记为lnN；

（教师活动）（1）即是说：a?10，我们得到对数log10N。称log10N为常用对数。寻常简写成lgN

（教师活动）为什么10为底的对数叫做常用对数？

（学生活动）想其他2为底的对数为什么不可以称为常用对数？

（教师活动）常用对数有常用对数表可查，常用对数表是前人经验总结出来的。（教师活动）当a?e=2.71828…时，得到对数logeN，称logeN为自然对数。

寻常写成lnN

（学生活动）为什么e为底的对数叫做自然对数？

（教师活动）e这个符号由欧拉(LeonhardEuler1707-1783)在1727年首先引入，其地位e的最重要性质是以其为底的指数函数的导数等于其本身，这有点类似于像乘法运算中的1的地位。

（四）对数的性质

利用ax?N?x?logaN(a?0且a?1)

例1将指数式化为对数式：

（1）2?1（2）3?1（3）4?1

解析：

（教师活动）2?1中，底数为2，化为对数时同样为底数；其结果作为对数的真数部分。（学生活动）为什么要将指数化为对数呢？（教师活动）可以将指数的幂算出来。

（学生活动）log21?0log31?0log41?0

（教师活动）从这三个答案中，你能看出哪些共同点，哪些差异点？

（学生活动）共同点：真数部分都是1，对数值都是0。差异点：底数不一样。（教师活动）是否在任意一个对数中，真数是1，其值就是0呢？即loga1?0？（教师活动）在loga1?0中，你能否将对数改写成指数呢？

毕竟是先有对数还是有指数呢？“对数源于指数〞，对数发明先于指数，成为数学史上珍闻

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（学生活动）改写后a?1，(a?0且a?1)这是恒成立式子。所以有loga1?0。

0性质1：

loga1?0(a?0且a?1)

类比上面研究过程，研究logaa??

（教师活动）“？〞代表值是多少我们不知道，是否可以用x代替？（学生活动）假设logaa?x。

（教师活动）对数不好研究，我们是否又可以改写成指呢？（学生活动）化为指数式为a所以有

x?a，可以知道x?1

性质2：log

aa?1(a?0且a?1)

（教师活动）从式子ax?N?x?logaN中，你还能看出什么？

（教师活动）由等价的充分性，你能想到什么？（学生活动）ax?N?x?logaN必然成立。N代入ax（教师活动）是否可以将x?log（学生活动）所以有alogaa?N中？

N?N，可以得出以下性质

性质3：alogaN?N(a?0且a?1,N?0)

（教师活动）等价条件既有充分性，还有必要性，那必要性是否可以得出类似结论？（学生活动）由等价于的必要性，有ax?N?x?logaN

（教师活动）是否也可以将将x代入左边式子呢？（学生活动）将N?a代入x?logxaN中，有x?logaa

x性质4：x?logaa(a?0且a?1)log1?0(a?0且a?1)

x总结：性质1：

a性质2：log性质3：alog性质4：xaa?1(a?0且a?1)

Na?N(a?0且a?1,N?0)

?logaa(a?0且a?1)

x毕竟是先有对数还是有指数呢？“对数源于指数〞，对数发明先于指数，成为数学史上珍闻

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（五）课堂小结

1.对数定义（关键点）

2.指数式与对数式互换（重点）

3.求值（理解指数对数互换基础上应用）

（六）课堂作业：

P64练习题1，2，3，4

（七）板书设计

2.2.1对数与对数运算一、导入

ax?Nx=?

二、概念对数概念

ax?N?x?logaN