第2章质点动力学完全版

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第2章质点运动定律Dynamicsofaparticle

内容提要力的三个效应瞬时、时间累积、空间累积·*惯性系和非惯性系2引言

物体是运动的。对于运动物体，我们可以用位置矢量、速度、加速度等物理量来描述。用位置矢量和速度描述物体的运动状态。用加速度来说明物体运动状态的变化。为什么物体运动状态会变化呢？大量的力学实验证明，是其他物体的作用。

我们把物体之间的相互作用，称之为力。即一个物体受到其他物体所施加的力的作用，就会改变其运动状态，产生加速度。3

牛顿通过对各种各样的机械运动进行研究，抓住了惯性、加速度和作用力这三者的关系，以定理的形式总结出了机械运动的普遍规律，人们称之为牛顿三大定律。一.牛顿三大定律（1）牛顿第一定律（惯性定律）

任何物体都要保持其静止或匀速直线运动状态,直到外力迫使它改变运动状态为止。§2.1力的瞬时效应牛顿定律4对牛顿第一定律的理解：牛顿第一定律包含了两个重要的物理概念：惯性—任何物体都具有保持其运动状态不变的性质。

力——是使物体改变其运动状态,或是使物体获得加速度的一种作用。合外力

2）牛顿第二定律5

如果物体的质量不随时间而变，则第二定律可以写成

牛顿第二定律是：瞬时关系；矢量等式。6式中,Fn、F分别代表物体所受的沿轨道法向和切向方向的合外力。

自然坐标系中的分量式:mrnr7

（3）牛顿第三定律（作用力与反作用力定律）两物体之间的作用力和反作用力，大小相等、方向相反,且在同一直线上。二.牛顿定律的适用范围低速、宏观、实物。惯性系。

（1）弹簧的弹性力f=kxk弹簧的倔强系数；x弹簧的伸长量。为什么三大定律完全可以研究物体的运动？三.

相互作用力8如果写成矢量形式：弹簧如果受到压缩，弹簧的弹力与压缩方向相反；弹簧如果受到拉长，弹簧的弹力与伸长方向相反；注意：

拉力、张力、压力、支持力都是弹性力。其本质都是分子之间的电磁力。（2）摩擦力

当两物体间出现相对滑动时，此时产生一对阻止相对滑动的力，称为滑动摩擦力。1滑动摩擦力9滑动摩擦力的方向恒与相对运动方向相反。

式中,k为滑动摩擦系数,其数值由两接触物体的材料性质和接触面的粗糙程度决定。fk=kN2静摩擦力

两接触物体间虽未发生相对运动,但存在着相对运动趋势时,就产生静摩擦力。静摩擦力fs是个变力：0fssN(最大静摩擦力）式中,s为静摩擦系数。对于同样的两个物体,k<s。静摩擦力fs是个变力?恒与外力等值反向。10（3）万有引力大小：F12F21m1m2r方向：m1受力与同向，m2受力与反向rr（4）重力由于地球吸引而使物体受到的力叫重力。方向：竖直向下。11（５）流体阻力

当固体物穿过流体（液体、气体）运动时，流体固有粘滞性会对固体运动产生阻力。方向：与物体的运动方向相反。大小：当物体的速度不大时，F=b当物体的速度较大时，F=c２（速度小于声速）当物体的速度较大时，F

3（速度接近声速）12一、质点动力学的两类问题１、已知运动，求力得力。方法：由已知运动方程，2、已知受力及初始条件（初位置、初速度），求运动方法：四.牛顿定律的应用方法13

基本方法：隔离体法+正交分解当问题涉及几个运动状态不同的物体时，必须把每个物体从总体中分离出来,分别加以研究,这种分析的方法叫做隔离体法,它是解决力学问题的重要的分析方法。而物体间的联系用力来表示。选取适当的坐标系，写出牛顿第二定律沿各个坐标轴方向（即相互垂直的方向上）的分量式,最后联列求解这些方程。

二、质点动力学的解题方法质点动力学核心：受力分析14

例题2-1

如图2-1所示，在质量为M、倾角为的光滑斜面上放置一质量为m的物体，要使物体m相对斜面静止，水平推力F应为多大？（设斜面与地面间的摩擦可以忽略）

x:Nsin=may:Ncos=mg图2-1FMmxy解:

对m:Nmg(M+m):F=(M+m)a=(M+m)g.tg解得a=g.tg15

讨论(1)：在上图中，要物体m不下滑，斜面的加速度a至少应为多少?(设斜面与物体m间的摩擦系数为)。物体m受三个力作用:N,mg,Fs=N。mNmgFs问题：若a,N,使N>mg,m是否会上升呢?am水平:N=ma

竖直:N=mg

解得a=g/。16mNmgFsmR

讨论(2)：在上面的图中，要物体m不下滑，圆筒的角速度至少应为多少?(设圆筒与物体m间的摩擦系数为)。图中物体m受三个力作用:N,mg,Fs=N。水平:N=mR2竖直:N=mg解得17

解在图2-2中，已经画出了各物体的受力情况，并规定(ox轴)向上为各量的正方向。

例题2-2

一条轻绳跨过摩擦可被忽略的轻滑轮，绳的一端挂有质量为m1的物体，绳的另一端穿过一质量为m2的有一小孔的柱体，求当柱相对于绳以恒定的加速度ao沿绳向下滑动时，物体和柱相对于地面的加速度各是多少？柱与绳间的摩擦力多大？图2-2oxa1Tm1gm1aoa2m2gTm2m1:T-m1g=-m1a1m2：T-m2g=m2

a2

T即为摩擦力m1m218a柱对地=a柱对绳+a绳对地

m1:T-m1g=-m1a1m2：T-m2g=m2

a2即：a2=-a0+a1

解得图2-2oxa1Tm1gm1aoa2m2gTm2m1m219

例题2-3

一人在平地上拉一个质量为m的木箱匀速地前进,木箱与地面的摩擦系数µ=0.6,肩上绳的支持点距地面高度h=1.5m,问绳长L为多长时最省力?

水平方向：Fcos-fs=ma=0（匀速）竖直方向：Fsin+N-mg=0,fs=µN解得：L=h/sin=2.92m时,最省力。解先找出力与某个变量()的关系，再求极值。mhLF图2-3fkNmgF有极值的必要条件是：20

例题2-4设一物体m在离地面上空高度等于地球半径R处由静止向地面落下，计算它到达地面时的速度(不计空气阻力和地球的自转)。解

地面:Rma21

例题2-5

半径为R的光滑半球形碗内有一个小钢球,当碗以角速度转动时,小球离碗底有多高?

Rh解

由fn=man,ft=mat

有Nmg法向:Nsin=m2Rsin竖直:Ncos=mg解得下面讨论利用自然坐标系解题的方法。图2-422

例题2-6

如图2-6所示，质量为m的钢球由静止开始从A点沿圆心在o、半径为R的光滑半圆形槽下滑。当滑到图示位置（钢球中心与o的连线和竖直方向成角）时，求这时钢球对槽的压力以及钢球的法向加速度和切向加速度。

法向：N-mgcos=man=m(1)解由fn=man,ft=mat

有图2-6RoANmg切向：mgsin=mat=m(2)得：at=gsin23积分得：(这可由机械能守恒得到)得：N=3mgcosN-mgcos=m由图2-6RoANmg24

1.惯性参考系从运动的描述来说,参考系的选择是任意的，这主要由研究问题的方便而定。但是，如果问题涉及运动和力的关系，即要应用牛顿定律时,参考系是否也能任意选择呢?

如图2-7所示，车厢A在地面上以加速度a向右运动。

车厢内的光滑桌面上有一与弹簧相连的质量m的小球,弹簧的另一端系在车厢壁上。现在来分析这个弹簧、小球力学系统的运动情况。甲图2-7乙aAmk五.

惯性参考系和非惯性参考系25

地面上的观察者甲：小球m:F=kx=ma，符合牛顿定律。

我们把牛顿定律成立的参考系称作惯性参考系(简称惯性系),

而牛顿定律不成立的参考系称作非惯性系。一个参考系是不是惯性系,只能由实验确定。

这个例子说明：以加速度a运动的车厢A为参考系,牛顿定律是不成立的。

车厢A内的观察者乙:

小球m:F=kx(因为弹簧确实已伸长)，a=0，显然这是违背牛顿定律的。甲图2-7乙aAmk26

研究地球表面附近(高度不太高、距离不太远)物体的运动时,地面(或固定在地面上的物体)就是近似程度较好的惯性系。

惯性系有一个重要性质：一切相对于惯性系作匀速直线运动或静止的参考系也是惯性系。

研究大气层和远程导弹的运动，地心参考系是近似程度相当好的惯性系。

天体运动的研究指出:如果我们选择的参考系，以太阳中心为原点，以指向某些恒星的直线为坐标轴，则所观察到的天文现象都与牛顿定律和万有引力定律推出的结论相符合，因此，这样的日心参考系是惯性系。

非惯性系：相对于惯性系有加速度的参考系是非惯性系。272.加速平动参考系中的惯性力

假设非惯性系S相对惯性系S以加速度a作直线运动，于是有则在非惯性系S中有

假想:Fi=-ma惯性力为物体m受的真实合外力，移项得对比：在惯性系中，牛顿第二定律这就是非惯性系S中的牛顿第二定律。28注意：

惯性力-ma不遵从牛顿第三定律。2惯性力是非惯性系观察者虚拟的力，区别于真实的力。它既无施力物体，又无反作用力。这里的a不是物体m的加速度，而是非惯性系S相对于惯性系S的加速度。1惯性力大小：Fi=ma方向：和非惯性系S相对于惯性系S的加速度a相反。29

例题2-7

如图2-8所示，升降机内有一倾角为的光滑斜面。当升降机以匀加速度a相对地面上升时，一物体m正沿斜面下滑。求物体m相对于升降机的加速度。

解以升降机为参考系(非惯性系)，物体m受三个力作用：真实力mg和N,惯性力ma，方向如图。ama

沿斜面方向应用牛顿定律,有

m(g+a)sin=ma解得：a=(g+a)sin

图2-8mamgNma30*3.匀速转动参考系中的惯性力

假定一质点相对匀速转动的参考系(非惯性系)静止,在惯性系看,受到的向心力为

如果在转动参考系(非惯性系)中,还要套用牛顿定律,就必须认为质点除了受到“真实的”力以外,还受到一个惯性(离心)力的作用:m图2-9r

(方向沿半径指向圆心)

(方向沿半径向外)31

如果质点相对匀速转动参考系(非惯性系)运动,则所受的惯性力较为复杂。除了受到惯性(离心)力的作用外，还受到一种叫科里奥利力的惯性力。可以证明，科里奥利力的计算公式为式中为转台的角速度，为质点相对转台的速度。图2-10m

北半球的河床右岸为什么受到较厉害的冲刷？赤道的信风是怎样形成的？这些都是科里奥利力作用的结果。可以在图书馆找周衍柏《理论力学》p14132

北半球的河流由西向东流动，由于科里奥利力向南，使河流的右岸受到冲刷。南半球反向，使河流的左岸受到冲刷（试分析之）

我们知道，地球的南