求数列通项公式和前n项和方法总汇

本文格式为Word版，下载可任意编辑——求数列通项公式和前n项和方法总汇求数列通项公式的常用几种方法

数列知识是高考中的重要考察内容,而数列的通项公式又是数列的核心内容之一,它宛如函数中的解析式一样,有了解析式便可研究起性质等;而有了数列的通项公式便可求出任一项以及前N项和等.因此,求数列的通项公式往往是解题的突破口,关键点.故将求数列通项公式的方法做一总结,希望能对广大考生的复习有所帮助.下面就谈谈求数列通项公式的几种方法：

1、类型1an?1?an?f(n)

解法：把原递推公式转化为an?1?an?f(n)，利用累加法(逐差相加法)求解。

1，求an。2n?n1111???解：由条件知：an?1?an?2n?nn(n?1)nn?1例:已知数列?an?满足a1?，an?1?an?12分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累加之，即(a2?a1)?(a3?a2)?(a4?a3)????????(an?an?1)

1111111?(1?)?(?)?(?)????????(?)

22334n?1n111131所以an?a1?1?，?a1?，?an??1???

n22n2n2、类型2an?1?f(n)an

a解法：把原递推公式转化为n?1?f(n)，利用累乘法(逐商相乘法)

an求解。

例:已知数列?an?满足a1?，an?1?解：由条件知

23nan，求an。n?1an?1n，分别令n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)?ann?1个等式累乘之，即

aaa2a3a4123n?1221??????????n????????????n?又?a1?，?an?n33na1a2a3an?1234a1n3n?1an(n?1)，求an。例:已知a1?3，an?1?3n?23(n?1)?13(n?2)?13?2?13?1???????a1解：an?3(n?1)?23(n?2)?23?2?23?2

1

3n?43n?7??3n?13n?4

?526??3?853n?1。

3、类型3an?1?pan?q（其中p，q均为常数，(pq(p?1)?0)）。

解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：an?1?t?p(an?t)，其中

t?q，再利用换元法转化为等比数列求解。1?p例:已知数列?an?中，a1?1，an?1?2an?3，求an.

解：设递推公式an?1?2an?3可以转化为an?1?t?2(an?t)即an?1?2an?t?t??3.故递推公式为an?1?3?2(an?3),令bn?an?3，则

b1?a1?3?4,且

bn?1an?1?32为公比的??2.所以?bn?是以b1?4为首项，

bnan?3等比数列，则bn?4?2n?1?2n?1,所以an?2n?1?3.

变式:递推式：an?1?pan?f?n?。解法：只需构造数列?bn?，消去f?n?带来的差异．

4、类型4an?1?pan?qn（其中p，q均为常数，(pq(p?1)(q?1)?0)）。（或an?1?pan?rqn,其中p，q,r均为常数）。

解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以qn?1，得：

an?1pan1anp1引入辅助数列（其中），得：再b?b??????b?bn?1nnnqn?1nn待定系数法解决。

例:已知数列?an?中，a1?,an?1?an?()n?1，求an。

解：在an?1?an?()n?1两边乘以2n?1得：2n?1?an?1?(2n?an)?1令bn?2n?an，则bn?1?bn?1,解之得：bn?3?2()n所以

an?bn1n1n?3()?2()n23223231312235613125、类型5递推公式为an?2?pan?1?qan（其中p，q均为常数）。解法一(待定系数法)：先把原递推公式转化为an?2?san?1?t(an?1?san)?s?t?p其中s，t满足?

st??q?例:已知数列?an?中，a1?1,a2?2,an?2?an?1?an，求an。解：由an?2?an?1?an可转化为an?2?san?1?t(an?1?san)

231323132

2?1s?t??s?1??s?????3即an?2?(s?t)an?1?stan????31或?1t???st????3??t?1?3?1?s?1?s???这里不妨选用?，则3，大家可以试一试）?1（当然也可选用?t????3?t?1?11an?2?an?1??(an?1?an)??an?1?an?是以首项为a2?a1?1，公比为?的

331等比数列,所以an?1?an?(?)n?1,应用类型1的方法，分别令

3n?1,2,3,??????,(n?1)，代入上式得(n?1)个等式累加之，即

11?(?)n?11113an?a1?(?)0?(?)1????????(?)n?2?又?a1?1，所以

13331?3731an??(?)n?1。

443f(n)an6、类型6an?1?

g(n)an?h(n)解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为an?1?pan?q。例：已知数列｛an｝满足：an?式。

解：取倒数：

?1?13?an?1?11???是等差数列，??3?anan?1an?1?an?111??(n?1)?3?1?(n?1)?3?an?3n?2ana1an?1,a1?1，求数列｛an｝的通项公

3?an?1?17、类型71、利用sn和n的关系求an思路：当n=1时，an=sn当n≥2时,an=sn-sn-1

例6、已知数列前项和s=n2+1,求{an}的通项公式.

解：当n=1时，an=sn＝2当n≥2时,an=sn-sn-1＝n+1-[(n-1)2+1]=2n-1

而n=1时，a1=2不适合上式∴当n=1时，an=2当n≥2时,

3

an=2n-1

2、利用sn和an的关系求an

思路：利用an=sn-sn-1可以得到递推关系式，这样我们就可以利用前面讲过的方法求解

例７、在数列｛an｝中，已知sn=3+2an，求an解：即an=sn-sn-1=3+2an-(3+2an-1)

an=2an-1∴｛an｝是以２为公比的等比数列∴an=a1·2n-1=-3×2n-1

8、倒数变换——将递推公式an?1?数得

1d11???.an?1canc3an，求数列{an}的通项公式.an?3can(c、d为非零常数)取倒an?d例6在数列{an}中，a1?2,an?1?解：∵an?1?∴

3anan?3111111??，即??an?1an3an?1an3∴{}是首项为，公差为的等差数列

11116?n?，∴an??112n?1an36n?36

4

1an1213求数列前N项和的常用方法

一.用倒序相加法求数列的前n项和

假使一个数列{an}，与首末项等距的两项之和等于首末两项之和，可采用把正着写与倒着写的两个和式相加，就得到一个常数列的和，这一求和方法称为倒序相加法。我们在学知识时，不但要知其果，更要索其因，知识的得出过程是知识的源头，也是研究同一类知识的工具，例如：等差数列前n项和公式的推导，用的就是“倒序相加法〞。

例题1：设等差数列{an}，公差为d，求证：{an}的前n项和Sn=n(a1+an)/2解：Sn=a1+a2+a3+...+an①

倒序得：Sn=an+an-1+an-2+…+a1②

①+②得：2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1)又∵a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1∴2Sn=n(a2+an)Sn=n(a1+an)/2

点拨：由推导过程可看出，倒序相加法得以应用的原因是借助a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1即与首末项等距的两项之和等于首末两项之和的这一等差数列的重要性质来实现的。二.用公式法求数列的前n项和

对等差数列、等比数列，求前n项和Sn可直接用等差、等比数列的前n项和公式进行求解。运用公式求解的本卷须知：首先要注意公式的应用范围，确定公式适用于这个数列之后，再计算。

例题2：求数列

的前n项和Sn

解：

点拨：这道题只要