空间角 空间距离

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第8课时空间的角

基础过关1．两异面直线所成的角：直线a、b是异面直线，经过空间一点O分别引直线a'a，b'b，把直线a'和b'所成的或叫做两条异面直线a、b所成的角，其范围是．

2．直线和平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面上的所成的角，叫做这条斜线和平面所成的角．

规定：①一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是角；②一条直线与平面平行或在平面内，我们说它们所成的角是角．其范围是．

公式：cosθ＝cosθ1cosθ2，其中，θ1是，θ2是，θ是．

3．二面角：从一条直线出发的所组成的图形叫做二面角．

4．二面角的平面角：以二面角的棱上一点为端点，在两个面内分别作棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角，其范围

P是

1.点与它在平面上的射影间的距离叫做该点到这个平面的距离.2.直线与平面平行，那么直线上任一点到平面的距离叫做这条直FA线与平面的距离.DE3.两个平面平行，它们的公垂线段的长度叫做这两个平面的距离.BC4.两条异面直线的公垂线段的长度叫做这两条异面直线的距离.

5.借助向量求距离

（1）点面距离的向量公式

平面α的法向量为n，点P是平面α外一点，点M为平面α内任意一点，则点P到平面α的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即d=（2）线面、面面距离的向量公式

平面α∥直线l，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈l，平面α与直线l间的距离d就是MP|n?MP|.|n|在向量n方向射影的绝对值，即d=

|n?MP|.|n|平面α∥β，平面α的法向量为n，点M∈α、P∈β，平面α与平面β的距离d就是MP在

向量n方向射影的绝对值，即d=

|n?MP|.|n|（3）异面直线的距离的向量公式

设向量n与两异面直线a、b都垂直，M∈a、P∈b，则两异面直线a、b间的距离d就是MP在向量n方向射影的绝对值，即d=

|n?MP|.|n|●点击双基

1.ABCD是边长为2的正方形，以BD为棱把它折成直二面角A—BD—C，E是CD的中点，则异面直线AE、BC的距离为

3D.12解析：易证CE是异面直线AE与BC的公垂线段，其长为所求.易证CE=1.∴选D.答案：D

2.在△ABC中，AB=15，∠BCA=120°，若△ABC所在平面α外一点P到A、B、C的距离都是14，则P到α的距离是

A.13B.11C.9D.7解析：作PO⊥α于点O，连结OA、OB、OC，∵PA=PB=PC，∴OA=OB=OC.

∴O是△ABC的外心.

15AB∴OA===53.

2sin?BCA2sin120A.2

B.3

C.

∴PO=PA2?OA2=11为所求.∴选B.

答案：B

3.在棱长为a的正方体ABCD—A1B1C1D1中，M是AA1的中点，则点A1到平面MBD的距离是

633aB.aC.a364解析：A到面MBD的距离由等积变形可得.

A.

VA—MBD=VB—AMD.易求d=

D.

6a66a.6D1A1MAB1C1DBC

答案：D

4.A、B是直线l上的两点，AB=4，AC⊥l于A，BD⊥l于B，AC=BD=3，又AC与BD成60°的角，则C、D两点间的距离是_______.

解析：CD=32?32?42?32.答案：5或43

5.设PA⊥Rt△ABC所在的平面α，∠BAC=90°，PB、PC分别与α成45°和30°角，PA=2，则PA与BC的距离是_____________；点P到BC的距离是_____________.

解析：作AD⊥BC于点D，∵PA⊥面ABC，∴PA⊥AD.∴AD是PA与BC的公垂线.易得AB=2，AC=23，BC=4，AD=3，连结PD，则PD⊥BC，P到BC的距离PD=7.

答案：3典型例题

例1.如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．

（1）求EF与平面PAD所成角的大小；（2）求EF与CD所成角的大小；

（3）若∠PDA＝45°，求：二面角F—AB—D的大小．解：(1)易知EF∥平面PAD，故EF与平面PAD成角为0°；(2)易知EF⊥CD，故EF与CD成角为90°；

A(3)取AC中点为0，则∠FEO为所求二面角的平面角，易求得∠FEO＝45°．变式训练1：如图，ABCD—A1B1C1D1是正四棱柱，若二面角C1—BD—C的大小为60°，求异面直线BC1与AC所成的角的大小．答案：arccos

557

D1A1B1DB

C1

C

例2.在等腰梯形ABCD中，AB＝20，CD＝12，它的高为215，以底边的中垂线MN为折痕，将梯形MBCN折至MB1C1N位置，使折叠后的图形成120°的二面角，求：

DNC⑴AC1的长；

C⑵AC1与MN所成的角；⑶AC1与平面ADMN所成的角．答案：(1)16(2)arcsin(3)arcsin378A316MBB

变式训练2：已知四边形ABCD内接于半径为R的⊙O，AC为⊙O的直径，点S为平面SABCD外一点，且SA⊥平面ABCD，若∠DAC＝∠ACB＝∠SCA＝30°，求：D⑴二面角S－CB－A的大小；

ACO⑵直线SC与AB所成角的大小．

[来源:Z,xx,k.Com]答案：(1)arctan233(2)arccos

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B例3.△ABC和△DBC所在平面相互垂直，且AB＝BC＝BD，∠ABC＝∠DBC＝120°．求：⑴AD与平面DBC所成的角；

⑵二面角A－BD－C的正切值．解：(1)作AE⊥BC交BC的延长线于E，

由面ABC⊥面BCD知AE⊥向BCD，∠ADE即为所求，求得∠ADE＝45°

D(2)作EF⊥BO于F，∠AFE即为所求，求得tan∠AFE＝2变式训练3：正三棱柱ABC－A1B1C1中，E是AC中点．⑴求证：平面BEC1⊥平面ACC1A1；⑵求证：AB1∥平面BEC1；

⑶若A1A?2，求二面角E－BC1－C的大小．

AB2ABCBAE

CAB

答案：(1)略(2)略(3)45°

C

例4:已知直三棱柱ABC－A1B1C1中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝a，AA1＝2AB，M为CC1上的点.(1)当M在C1C上的什么位置时，B1M与平面AA1C1C所成的角为30°；(2)在(1)的条件下，求AM与A1B所成的角.解(1)取A1C1的中点N1，连结B1N1，N1M，由已知易知B1N1⊥平面A1C1CA.

∴∠B1MN1为B1M与平面A1C1CA所成的角，设C1M＝x，B1N1＝sin

在Rt△BMC1中，C1M=∴sin∠C1BM=

3a，BC1=2a，2C1M6=.4BC1（2）证明：取A1C1的中点D1，AC1的中点F，连结B1D1、EF、D1F.则有D1FB1E

1AA1，21AA1.2A1MFEABCD1B1C1

∴D1FB1E.

则四边形D1FEB1是平行四边形，∴EF

B1D1.

由于三棱柱ABC—A1B1C1是正三棱柱，

∴B1D1⊥A1C1.

又平面A1B1C1⊥平面ACC1A1于A1C1，且B1D1?平面A1B1C1，∴B1D1⊥平面ACC1A1.∴EF⊥平面ACC1A1.

∵EF?平面AEC1，则平面AEC1⊥平面ACC1A1.

（3）由（2）知，EF⊥平面AC1，则EF是三棱锥E—ACC1的高.由三棱柱各棱长都等于a，则EC=AE=EC1=∴EF=AE2?AF2=

5a，AC1=2a.23a.2∵VC1?AEC=VE?ACC1，设三棱锥VC1?AEC的高为h，则h为点C1到平面AEC的距离.

11S?AEC·h=S?ACC1·EF，3331111即×a2h=×a2·a.

2323233∴h=a，即点C1到平面AEC的距离是a.

22则

探究创新

9.如图，正三棱柱ABC—A1B1C1的底面边长为a，点M在边BC上，△AMC1是以点M为直角顶点的等腰直角三角形.

A1C1B1AMBC

（1）求证：点M为边BC的中点；（2）求点C到平面AMC1的距离.

（1）证明：∵△AMC1为以点M为直角顶点的等腰直角三角形，∴AM⊥C1M且AM=C1M.

∵ABC—A1B1C1是正三棱柱，∴CC1⊥底面ABC.

∴C1M在底面内的射影为CM，AM⊥CM.∵底面ABC为边长为a的正三角形，∴点M为BC边的中点.

（2）解：过点C作CH⊥MC1，

A1B1C1ABHMC

由（1）知AM⊥C1M且AM⊥CM，

∴AM⊥平面C1CM.

∵CH⊥AM，∴CH⊥平面C1AM，由（1）知，AM=C1M=

3232121a?a=a，CM=a且CC1⊥BC.∴CC1=a.

2244221a?aCC?CM2=6a.∴CH=1=26C1M3a26∴点C到平面AMC1的距离为a.

6●思悟小结

求空间距离的方法可分为直接法、转化法、向量法.1.直接法是直接作出垂线，再通过解三角形求出距离.

2.转化法则是把点面距离转化为线面距离，或把线面距离转化为面面距离，再转化为点面距离.

3.向量法是把距离求解转化为向量运算.教学点睛

首先要让学生理解点到平面的距离、异面直线的距离以及线面距离及面面距离，而后结合题目向学生总结求距离的常用方法，如：直接法、转化法、向量法.对异面直线的距离只

要求学生把握作出公垂线段或用向量表示的状况.

拓展题例线段AB与平面α平行，α的斜线A1A、B1B与α所成的角分别为30°和60°，且∠A1AB=∠B1BA=90°，AB=6，A1B1=10，求AB与平面α的距离.

ABGCA1B1?H解：如图，作AG⊥α于点G，BH⊥α于点H，连结A1G、B1H、GH，由于A1A⊥AB，A1G⊥GH.同理，B1H⊥GH.作B1C⊥A1G于点C，则B1C=GH=AB=6，∠AA1G=30°，∠BB1H=60°.设B1H=x，则CG=B1H=x，AG=BH=3x，A1G=3x=x+A1C=x+8.

所以x=4，AG=BH=43.当A1、B1分居平面AH两侧时，类似可得AG=BH=23.如图，PA垂直于矩形ABCD所在的平面，E、F分别是AB、PD的中点.

PFAEBCD

（1）求证：AF∥平面PCE；

（2）若二面角P—CD—B为45°，求证：平面PCE⊥平面PCD；（3）在（2）的条件下，若AD=2，CD=22，求F到平面PCE的距离.（1）证明：如下图，取PC的中点为M，连结EM、FM.由

PFHAEBCMD

1CD2?FMAE?四边形AFME为平行四边形

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