有限元与数值方法-讲稿4

有限元与数值方法第四讲

第4章有限元法的一般原理授课教师：刘书田Tel：84706149；Email：stliu@教室：研究楼102时间：2011年4月1日：18：00—21：201第4章有限元法的一般原理2弹性力学问题的有限元法有限元法的基本思想杆系结构的直接刚度法静定桁架的内力可以通过节点的平衡方程求得，由内力和杆件断面积可求得杆件应力、应变，再求得节点位移PP静不定桁架的内力无法简单通过节点平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。采用位移法求解时，假定每个节点的位移为未知量，然而可以将杆件伸长、杆件应变、杆件应力，杆件内力用节点位移表示，根据节点的平衡要求可以得到节点位移满足的平衡方程。3有限元法的基本思想杆系结构的直接刚度法静不定桁架的内力无法简单通过节点平衡方程求得，需要采用力法或位移法求得。采用位移法求解时，假定每个节点的位移为未知量，然而可以将杆件伸长、杆件应变、杆件应力直至杆件内力用节点位移表示，根据节点的平衡要求可以得到节点位移满足的平衡方程。由节点的平衡方程就可求得节点位移；这一平衡方程的系数矩阵就是结构刚度矩阵；结构刚度矩阵是由每个杆件的单元刚度矩阵适当地组装得到。F2x,,u2xF2y,,u2yF1x,,u1xF1y,,u1y12P4杆单元的有限元分析一维线性杆单元基本假定：只能承受拉压内力（各杆两端的约束条件使得弯曲、扭转、剪切不能传递）轴线为直线材料满足胡克定律自由转动12桁架结构5位移插值建立轴线方向的坐标系记任一点轴向位移为并将节点位移表示为建立杆件位移与节点位移的插值关系其中，形函数必须满足112121节点位移协调关系满足6可简单地将形函数取为一次多项式的形式：考虑到边界条件，可得到因此位移插值杆上无分布力时，一次多项式可精确描述杆件变形7位移及应变小位移假设下，应变为位移模式为位移模式包括刚体位移和常应变模式N形函数矩阵B应变矩阵8单元刚度阵利用胡克定律，得到杆件应力和内力分别为则节点力为其矩阵形式表示为单元刚度矩阵S应力矩阵9XYxyXYxyi坐标变换矩阵设OXY为结构坐标，oxy为单元坐标。为任意单元i端的任一矢量。它在结构坐标系中的分量为X、Y；在单元坐标系中的分量为x、y。X、Y在单元坐标x轴上投影的代数和给出x。同理，X、Y在单元坐标y轴上投影的代数和给出y

10即坐标变换矩阵令表示两个端点的位移矢量在单元局部坐标系的分量，表示两个端点的位移矢量在全局坐标系的分量，则11上式可写成坐标变换矩阵[R]的具体内容为：用节点坐标描述方向余弦：坐标变换矩阵（Xi，Yi）和（Xj，Yj）分别为节点i和节点j在全局坐标系中的坐标值12平面内任意方向的杆单元记为而节点力列阵满足(或)由单元局部坐标系下的关系可得到或写成其中13边界条件全局平衡方程如不考虑约束条件，总刚度阵是奇异的零位移约束条件14边界条件处理零位移约束条件代人平衡方程，得到约束反力外载荷未知位移15对于一般的指定位移约束，可将方程分块为其中，是指定位移，是主动位移边界条件即16在单元局部坐标系中的单元节点位移分量为根据位移插值关系单元应变和应力可给出单元轴向应变为由胡克定律可进一步给出单元轴向应力为17单元应变和应力而由可得到由总体坐标系位移分量表示的单元应变和单元应力18例子局部坐标系下的单元刚度阵19例子单元1在总体坐标系下的刚度阵单元1刚度阵的组装Augmentationandmerge20例子单元2在总体坐标系下的刚度阵单元2刚度阵的组装Augmentationandmerge21例子组装后的总刚度阵观察：对称性稀疏性另外，该刚度阵具有奇异性（容许刚体位移）22考虑边界条件平衡方程成为求解得到约束反力为23单元1在局部坐标系下的节点位移分量单元1在局部坐标系下的应力将位移解代入上式，得到24向三维空间杆单元的推广轴线上的单位方向矢量：或表示为其中，各角度为方向矢量与对应坐标轴的夹角25有限元与数值方法第五讲

第4章有限元法的一般原理（续）授课教师：刘书田Tel：84706149；Email：stliu@教室：研究楼102时间：2011年4月7日：18：00—19：4026杆单元的有限元分析局部坐标系：建立轴线方向的坐标系记任一点轴向位移为并将节点位移表示为建立杆件位移与节点位移的插值关系其中，形函数必须满足112121节点位移协调关系满足27杆单元的有限元分析：位移及应变小位移假设下，应变为位移模式为位移模式包括刚体位移和常应变模式N形函数矩阵B应变矩阵28单元刚度阵单元的杆端力：局部坐标系下的单元刚度矩阵S应力矩阵29XYxyXYxyi坐标变换矩阵设OXY为结构坐标，oxy为单元坐标。为任意单元i端的任一矢量。它在结构坐标系中的分量为X、Y；在单元坐标系中的分量为x、y。X、Y在单元坐标x轴上投影的代数和给出x。同理，X、Y在单元坐标y轴上投影的代数和给出y

30即坐标变换矩阵：坐标变换矩阵令表示两个端点的位移矢量在单元局部坐标系的分量，表示两个端点的位移矢量在全局坐标系的分量，则31平面内任意方向的杆单元记为而节点力：由单元局部坐标系下的关系可得到或写成其中321.整体节点位移单元节点位移：总体控制方程：单元集成分析桁架结构扩充矩阵2.整体节点力33向三维空间杆单元的推广轴线上的单位方向矢量：或表示为其中，各角度为方向矢量与对应坐标轴的夹角34全局坐标系下的单元刚度阵为向三维空间杆单元的推广其中单元刚度阵向总刚度阵的组装、边界条件和载荷的处理与二维情况类似35梁单元36由梁组成的结构○○○○○○○○○梁拱框架37欧拉-伯努利梁的基本假定平截面假设：初始与梁的中性轴垂直的平面,在变形后仍垂直于轴线,并且在垂直轴线方向上无变形当梁的高长比比较大时，平截面假定不再成立，应该考虑横向剪切。称为Timoshenko梁理论38弯曲梁的有限元分析欧拉梁挠度微分方程：势能泛函：强制边界条件：自然边界条件：39单元坐标下的单元位移平面梁单元其中，v为y向位移，即挠度；为角位移对于欧拉梁，

=dv/dx考虑两端承受弯矩和剪力的平面梁单元思考：为什么要取端点的转角作为自由度？40其中，Q为剪力，M为弯矩ijxyF1F2F3F4L单元坐标下的单元内力平面梁单元对于欧拉梁，有截面任一点处应变x41单元内位移插值为满足4个边界条件，取含有4个待定系数的位移函数（x为单元局部坐标）这4个待定系数可用节点未知量表示，如位移函数和形函数42单元内位移插值从而可将位移函数写成节点未知量为系数的函数：其中称为形函数（shapefunctions）1×4矩阵可验证：43单元内位移插值如果采用“自然坐标”，则形函数还可写为44应变矩阵单元弯曲应变b与节点位移e

的关系。由材料力学知，梁单元上任一点的应变和该点挠度之间关系为：将位移模式代入，得到单元弯曲应变和单元位移之间关系平面梁单元1×4矩阵45单元的应变能其中，单元刚度阵为4×4矩阵46单元坐标系下的单元刚度矩阵将应变矩阵代入，注意到梁截面对Z轴（主轴）的惯性矩平面梁单元，可得到47等价节点力对于梁上作用的集中力或集中力矩，在划分单元时可将其作用点取为节点，按结构的节点载荷处理。梁单元上的横向分布荷载qy(x)的势能是平面梁单元Lxyijqy(x)ijxdxv(x)qy(x)dx48推导均布载荷的等价节点力课堂练习ijq49荷载分布QiMiQjMjqL/2qL2/12qL/2-qL2/123qL/20qL2/307qL/20-qL2/20qL/45qL2/96qL/4-5qL2/96ijqqijqij几种横向分布荷载等价节点力平面梁单元50总体平衡方程由最小势能原理，可以得到系统的平衡条件是由此得到总体平衡方程51有限元与数值方法第五讲

第4章有限元法的一般原理（续）授课教师：刘书田Tel：84706149；Email：stliu@教室：研究楼102时间：2011年4月8日：18：00—19：4052总刚度矩阵的特性刚度矩阵的物理意义：半正定性：物理意义：第i个自由度发生单位位移时，需要在第j个自由度上施加的力（约束反力）53总刚度矩阵的特性对角元非负：半正定性：给定方向单一载荷作用下，加载点处位移方向不能与载荷方向相反应变能不为负稀疏性：每个节点通过单元相连的节点数目相对较少；利用稀疏性，可以采用具有较高效率的线性代数方程组求解算法54由Betti-Maxwell定理，有，即例如，给定两组载荷，使之各自作用下只引起单个自由度的位移：总刚度矩阵的对称性对称性（对线弹性问题）：Betti-Maxwell定理：如果两组载荷作用于一个线弹性结构上，则第一组载荷在第二组载荷引起的位移上做的功等于第二组载荷在第一组载荷引起的位移上做的功（回忆结构力学的单位力法和图乘法）55总刚度矩阵的对称性也可这样证明：设载荷和各自引起位移和由Betti-Maxwell定理，有即由和的任意性，有56总刚度矩阵的稀疏性总刚度阵的稀疏性的物理意义：如果结构的i节点发生单位位移，只有与节点i通过单元发生联系的那些节点才产生节点力。反之，i节点是否产生节点力也只会受与它通过单元相连的节点的影响。第

i列表示第i

个自由度发生单位位移，其它自由度为零时结构各节点上的内力57总刚度矩阵的组装和存贮单元刚度矩阵中的上三角利用刚度阵的对称性，可以只组装总刚度阵的上三角部分；在存贮时也只存上三角刚度阵58总刚度矩阵的组装和存贮x代表单元刚度矩阵中的非零元素利用刚度阵的稀疏性，可以采用最大半带宽、变带宽等技术节约存储空间59总刚度矩阵的组装和存贮最大半带宽为5的总体刚度阵实际存储的元素总刚度阵的等带宽存贮60结构对称性的利用PlaneofSymmetry(RestrainedMotions)PlaneofAnti-symmetry(RestrainedMotions)61结构对称性的利用62有限元法的实施流程解方程Kd=F提取单元位移de计算单元内力和应力把单元刚度矩阵集合成结构刚度矩阵K结构离散为单元建立单元刚度矩阵Ke形成等价节点荷载F形成单元等价节点力63有限元的基本理论基础

64有限元法的理论基础概述将微分方程转化为等效积分弱形式变分原理加权余量法采用单元上的分片假设近似函数，将积分方程转化为代数方程组65有限元法(FEM)是求解偏微分方程边值问题近似解的数值方法边值问题未知量是由控制方程（椭圆、双曲、抛物型）描述的场变量（如位移、温度、流体速度等）边界条件是给定的场变量值或者其偏导数有限元法的基本概念66有限元法的基本概念有限元分析的基本思想是将求解域场分成小的子区域，通常称为“单元”或“有限元”。对每一单元假定一个分片近似解，然后推导求解这个域总的满足条件(如结构的平衡条件），从而得到问题的解。有限元法方程的系数矩阵通常是稀疏的，便于求解。有限元法不仅计算精度高，而且能适应各种复杂形状，不同物理特性、多变的边界条件和任何承载情况的工程结构分析问题。有限元法应用于场（力场、电场、磁场、温度场、流体场等）分析、热传导、非线形材料的弹塑性蠕变分析等67(a)二维问题的几何域(b)三角形单元(c)有限元网格的一部分单元有限元网格有限元法中的离散各种几何形状的有限元单元68三角形的顶点称为节点（node）节点处的场变量（这里是温度）将作为自变量被直接求解node热传导问题的三角形单元node有限元法中的场变量表示以平面热传导问题的三角形单元为例69除了节点外的其他各位置的点对应的场变量如何确定？

单元内部点的场变量值由单元节点的插值(interpolation)给出:T=?有限元法中的场变量表示,,和是插值函数，称为位移函数或形函数。插值函数所包括的多项式阶数越高，越能精确表示位移分布。70常见平面单元形状与节点数三节点三角形单元CST(常应变单元)六节点三角形单元二次插值八节点四