初中圆题型总结

纵观近几年全国各地中考题，圆的相关看法以及性质等一般以填空题，选择题的形式观察并占有必然的分值；一般在10分－15分左右，圆的相关性质，如垂径定理，圆周角，切线的判断与性质等综合性问题的运用一般以计算证明的形式观察；利用圆的知识与其他知识点如代数函数，方程等相结合作为中考压轴题将会占有特别重要的地位，别的与圆相关的实质应用题，阅读理解题，研究存在性问题仍是热门考题，应引起注意.下面究近来几年来圆的相关热门题型，举例解析以下。一、圆的性质及重要定理的观察基础知识链接：（1）垂径定理；（2）同圆或等圆中的圆心角、弦、弧之间的关系.(3)圆周角定理及推论（4）圆内接四边形性质【例1】（江苏镇江）如图，为⊙O直径，为弦，且，垂足为．（1）的均分线交⊙O于，连接．求证：为弧ADB的中点；（2）若是⊙O的半径为，，①求到弦的距离；②填空：此时圆周上存在个点到直线的距离为．【解析】（1），又，．．又，．为弧ADB的中点．（2）①，为⊙O的直径，，．又，．，．作于，则．②3.

CABOHDE【谈论】本题综合观察了利用垂径定理和勾股定理及锐角三角函数求解问题的能力.运用垂径定理时，需增加辅助线构造与定理相关的“基本图形”.几何上把圆心到弦的距离叫做弦心距,本题的弦心距就是指线段OD的长.在圆中解相关弦心距半径相关问题时,常常增加的辅助线是连半径或作出弦心距,把垂径定理和勾股定理结合起来解题.如图,⊙O的半径为,弦心距为,弦长之间的关系为.依照此公式,在、、三个量中,知道任何两个量就可以求出第三个量.平时在解题过程中要善于发现并运用这个基本图形.【例2】（安徽芜湖）如图，已知点E是圆O上的点，B、C分别是劣弧的三均分点，，则的度数为．【解析】由B、C分别是劣弧的三均分点知，圆心角∠AOB=∠BOC=∠COD,又，因此∠AOD=138o.依照同弧所对的圆周角等于圆心角的一半。进而有＝69o.谈论本题依照同圆或等圆中的圆心角、圆周角的关系。【加强练习】1】.如图，⊙O是ABC的外接圆，BAC60，AD，CE分别是BC，AB上的高，且AD，CE交于点H，求证：AH=AO1(1)如图，在⊙O中，弦AC⊥BD，OE⊥AB，垂足为E，求证：OE=CD2(2)如图，AC，BD是⊙O的两条弦，且ACBD，⊙O的半径为122，求AB＋CD的值。22】（第25题）如图，⊙O是△ABC的外接圆，弦BD交AC于点E，连接CD，且AE=DE，BC=CE．（1）求∠ACB的度数；（2）过点O作OF⊥AC于点F，延长FO交BE于点G，DE=3，EG=2，求AB的长．二、直线与圆的地址关系基础知识链接：1、直线与圆的地址关系有三种:⑴若是一条直线与一个圆没有公共点,那么就说这条直线与这个圆相离.⑵若是一条直线与一个圆只有一个公共点,那么就说这条直线与这个圆相切,此时这条直线叫做圆的切线,这个公共点叫做切点.⑶若是一条直线与一个圆有两个公共点,那么就说这条直线与这个圆订交,此时这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点.2、直线与圆的地址关系的判断；3、弦切角定理弦切角等于它所夹的弧对的圆周角；和圆相关的比率线段（1）订交弦定理圆内的两条订交弦，被交点分成的两条线段长的积相等；2）推论若是弦与直径垂直订交，那么弦的一半是它分直径所成的两条线段的比率中项；3）切割线定理从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比率中项；4）推论从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等。三角形的内切圆1）相关看法：三角形的内切圆、三角形的内心、圆的外切三角形、多边形的内切圆、圆的外切多边形；6、圆的切线的性质与判断。【例1】（甘肃兰州）如图，四边形内接于⊙（1）求证：是⊙O的切线；（2）若，求的长．【解析】（1）证明：连接，均分，．

O，是⊙O的直径，，垂足为，均分．AEDOBC．．．，．．是⊙O的切线．（2）是直径，．，．均分，．．在中，．在中，．的长是1cm，的长是4cm．【谈论】证明圆的切线，过切点的这条半径为必作辅助线垂直于这条半径的直线是圆的切线.

AEDOBC.即经过半径的外端且【例2】（广东茂名）如图，⊙O是△ABC的外接圆，且AB=AC，点D在弧BC上运动，过点D作DE∥BC，DE交AB的延长线于点E，连接AD、BD．（1）求证：∠ADB=∠E；（2）当点D运动到什么地址时，DE是⊙O的切线？请说明原由．（3）当AB=5，BC=6时，求⊙O的半径．（4分）【解析】（1）在△ABC中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C．∵DE∥BC，∴∠ABC=∠E，∴∠E=∠C．又∵∠ADB=∠C，∴∠ADB=∠E．（2）当点D是弧BC的中点时，DE是⊙O的切线．原由是：当点D是弧BC的中点时，则有AD⊥BC，且AD过圆心O．又∵DE∥BC，∴AD⊥ED．∴DE是⊙O的切线．（3）连接BO、AO，并延长AO交BC于点F，则AF⊥BC，且BF=BC=3．又∵AB=5，∴AF=4．设⊙O的半径为，在Rt△OBF中，OF=4－，OB=，BF=3，＝3＋（4－）解得＝，∴⊙O的半径是．【谈论】本题综合运用了等腰三角形的性质，圆的切线判断，解题最重点是抓住题中所给的已知条件，构造直角三角形，研究出不同样的结论.【例4】已知：如图7，点P是半圆O的直径BA延长线上的点，PC切半圆于C点，CD⊥AB于D点，若PA：PC＝1：2，DB＝4，求tan∠PCA及PC的长。图7证明：连接CB∵PC切半圆O于C点，∴∠PCA＝∠B∵∠P＝∠P，∴△PAC∽△PCB∴AC：BC＝PA：PC∴∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°又∵CD⊥AB∴∴AB＝AD＋DB＝5∵∴【例5】已知：如图8，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A的均分线交BC于点D，E为AB上的一点，DE＝DC，以D为圆心，DB长为半径作⊙D。求证：（1）AC是⊙D的切线；（2）AB＋EB＝AC解析：（1）欲证AC与⊙D相切，只要证圆心D到AC的距离等于⊙D的半径BD。因此要作DF⊥AC于F2）只要证AC＝AF＋FC＝AB＋EB，证明的重点是证BE＝FC，这又转变成证△EBD≌△CFD。证明：（1）如图8，过D作DF⊥AC，F为垂足∵AD是∠BAC的均分线，DB⊥AB，∴DB＝DF∴点D到AC的距离等于圆D的半径∴AC是⊙D的切线（2）∵AB⊥BD，⊙D的半径等于BD，∴AB是⊙D的切线，∴AB＝AF∵在Rt△BED和Rt△FCD中，ED＝CD，BD＝FD∴△BED≌△FCD，∴BE＝FC∴AB＋BE＝AF＋FC＝AC小结：相关切线的判断，主要有两个种类，若要判断的直线与已知圆有公共点，可采用“连半径证垂直”的方法；若要判断的直线与已知圆的公共点没有给出，可采用“过圆心作垂线，证垂线段等于半径”的方法。此例题属于后一类【例6】已知：如图9，AB为⊙O的弦，P为BA延长线上一点，PE与⊙O相切于点E，C为中点，连CE交AB于点F。求证：解析：由已知可得22＝PA·PB，只要证PE＝PF。PE＝PA·PB，因此要证PF即证∠PFE＝∠PEF。证明一：如图9，作直径CD，交AB于点G，连接ED，∴∠CED＝90°∵点C为的中点，∴CD⊥AB，∴∠CFG＝∠D∵PE为⊙O切线，E为切点∴∠PEF＝∠D，∴∠PEF＝∠CFG∵∠CFG＝∠PFE，∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF22＝PA·PB∵PE＝PA·PB，∴PF证明二：如图9－1，连接AC、AE图9－1∵点C是的中点，∴，∴∠CAB＝∠AEC∵PE切⊙O于点E，∴∠PEA＝∠C∵∠PFE＝∠CAB＋∠C，∠PEF＝∠PEA＋∠AEC∴∠PFE＝∠PEF，∴PE＝PF22＝PA·PB∵PE＝PA·PB，∴PF【例7】（1）如图10，已知直线AB过圆心O，交⊙O于A、B，直线AF交⊙O于F（不与B重合），直线l交⊙O于C、D，交BA延长线于E，且与AF垂直，垂足为G，连接AC、AD图10图10－1求证：①∠BAD＝∠CAG；②AC·AD＝AE·AF（2）在问题（1）中，当直线l向上平行搬动，与⊙O相切时，其他条件不变。①请你在图10－1中画出变化后的图形，并比较图10标志字母；②问题（1）中的两个结论可否成立？若是成立，请给出证明；若是不成立，请说明原由。证明：（1）①连接BD∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB＝90°∴∠AGC＝∠ADB＝90°又∵ACDB是⊙O内接四边形∴∠ACG＝∠B，∴∠BAD＝∠CAG②连接CF∵∠BAD＝∠CAG，∠EAG＝∠FAB∴∠DAE＝∠FAC又∵∠ADC＝∠F，∴△ADE∽△AFC∴，∴AC·AD＝AE·AF（2）①见图10－1②两个结论都成立，证明以下：①连接BC，∵AB是直径，∴∠ACB＝90°∴∠ACB＝∠AGC＝90°∵GC切⊙O于C，∴∠GCA＝∠ABC∴∠BAC＝∠CAG（即∠BAD＝∠CAG）②连接CF∵∠CAG＝∠BAC，∠GCF＝∠GAC，∴∠GCF＝∠CAE，∠ACF＝∠ACG－∠GFC，∠E＝∠ACG－∠CAE∴∠ACF＝∠E，∴△ACF∽△AEC，∴2∴AC＝AE·AF（即AC·AD＝AE·AF）说明：本题经过变化图形的地址，观察了学生着手画图的能力，并经过研究式的提问加强了对学生证明题的观察，这是当前热门的考题，希望引起大家的关注。【加强练习】【1】（第22题）如图，⊙的直径为10，弦为5，、E分别是∠的均分线OABcmBCcmDACB与⊙，的交点，P为延长线上一点，且=．OABABPCPE（1）求AC、AD的长；（2）试判断直线PC与⊙O的地址关系，并说明原由．【2】（第23题）如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的均分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB于点F，⊙O是△BEF的外接圆．1）求证：AC是⊙O的切线．2）过点E作EH⊥AB于点H，求证：CD=HF．3】（第25题）如图，在⊙O中，AB，CD是直径，BE是切线，B为切点，连接AD，BC，BD．（1）求证：△ABD≌△CDB；（2）若∠DBE=37°，求∠ADC的度数．【4】（第24题）如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于点D，且∠D=2∠CAD．1）求∠D的度数；2）若CD=2，求BD的长．【5】（第27题）如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作半圆⊙O交AC与点D，点E为BC的中点，连接DE．（1）求证：DE是半圆⊙O的切线．（2）若∠BAC=30°，DE=2，求AD的长．三、圆与圆的地址关系的观察基础知识链接：若是两个圆没有公共点,那么就说这两个圆相离,如图(1)、(2)、所示．其中(1)又叫做外离,(2)、(3)又叫做内含．(3)中两圆的圆心同样,这两个圆还可以够叫做同心圆．若是两个圆只有一个公共点,那么就说这两个圆相切,如图(4)、(5)所示．其中(4)又叫做外切,(5)又叫做内切．若是两个圆只有两个公共点,那么就说这两个圆订交,如图(6)所示．【例1】（甘肃兰州）．如图是北京奥运会自行车比赛项目标志，则图中两轮所在圆的地址关系是（）A．内含B．订交C．相切D．外离【解析】图中的两圆没有公共点，且一个圆上的所有点都在另一个圆的外面，故两圆外离，选D.【谈论】圆与圆的地址关系有五种:外离、外切、订交、内切、内含．其关系能够用圆与圆公共点的个数及点与圆的地址关系来判断,也能够用数量关系来表示圆与圆的地址关系：若是设两圆的半径为、,两圆的圆心距为d,则圆与圆的地址关系与数量关系以下表【例2】（赤峰市）如图（1），两半径为的等圆⊙O1和⊙O2订交于两点，且⊙O2过点．过点作直线垂直于，分别交⊙O1和⊙O2于两点，连接．（1）猜想点与⊙O1有什么地址关系，并给出证明；（2）猜想的形状，并给出证明；（3）如图（2），若过的点所在的直线不垂直于，且点在点的两侧，那么（2）中的结论可否成立，若成立请给出证明．NNOO2O121OAMBBMA图（1）图（2）【解析】解：（1）在上N证明：∵⊙O2过点，．O12O又⊙O1的半径也是，点在⊙O1上．AMB（2）是等边三角形图（1）证明：，．是⊙O2的直径，是⊙O1的直径，N即，在上，在上．O12O连接，则是的中位线．BAM．图（2），则是等边三角形．（3）依旧成立．证明：由（2）得在⊙O1中弧MN所对的圆周角为．在⊙O2中弧MN所对的圆周角为．当点在点的两侧时，在⊙O1中弧MN所对的圆周角，在⊙O2中弧MN所对的圆周角，是等边三角形．注：（2），（3）是中学生猜想为等腰三角形证明正确给一半分．【谈论】订交两圆的连心线垂直均分公共弦，又且⊙O2过点，成立对称性知，⊙O1过O2，再证△NAB是等腰三角形；（2）1是的基础上发散研究，拥有必然的开放性．四、圆与多边形的计算观察基础知识链接：1、圆与正多边形的关系的计算；2、弧长、扇形面积、圆锥侧面积全面积的计算.【例1】（赣州）小芳随机地向以下列图的圆形簸箕内撒了几把豆子，则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）地域的概率是【解析】设圆的半径为1，则圆的面积为，易算得正方形的边长为，正方形面积为2，则豆子落到圆内接正方形（阴影部分）地域的概率是.【谈论】本题观察的是几何概率，解题的重点是圆与圆内接正方形的面积，依照古典概型，可转变成面积之比.【例2】两同心圆，大圆半径为３，小圆半径为１，则阴影部分面积为【解析】依照大、小圆的半径，可求得圆环的面积为8，图中的阴影面积为圆环面积的一半4.【谈论】相关面积计算问题，不难发现，一些不规则的图形可转变成规则的图形计算，本题就较好的表现了转变方法和整体思想.五、圆的综合性问题的观察基础知识链接：圆的相关知识与三角函数、一次函数、二次函数等综合应用。【例1】如图，在平面直角坐标系中，圆M经过原点O，且与轴、轴分别订交于两点．（1）求出直线AB的函数解析式；2）若有一抛物线的对称轴平行于轴且经过点M，极点C在⊙M上，张口向下，且经过点B，求此抛物线的函数解析式；3）设（2）中的抛物线交轴于D、E两点，在抛物线上可否存在点P，使得？若存在，央求出点P的坐标；若不存在，请说明原由．【解析】（1）设AB的函数表达式为∵∴∴∴直线AB的函数表达式为．2）设抛物线的对称轴与⊙M订交于一点，依题意知这一点就是抛物线的极点C。又设对称轴与轴订交于点N，在直角三角形AOB中，因为⊙M经过O、A、B三点，且⊙M的直径，∴半径MA=5，∴N为AO的中点AN=NO=4，∴MN=3∴CN=MC-MN=5-3=2，∴C点的坐标为（-4，2）．设所求的抛物线为则∴所求抛物线为3）令得D、E两点的坐标为D（-6，0）、E（-2，0），因此DE=4．又AC=直角三角形的面积假设抛物线上存在．当故满足条件的存在．它们是．【谈论】本题是一次函数、二次函数与圆的综合性问题，解题的重点是抓住图形中的点的坐标，运用待定系数数的方法求出解析式；【例2】（第27题）如图，在⊙O的内接△ABC中，∠ACB=90°，AC=2BC，过C作AB的垂线l交⊙O于另一点D，垂足为E．设P是上异于A，C的一个动点，射线AP交l于点F，连接PC与PD，PD交AB于点G．（1）求证：△PAC∽△PDF；（2）若AB=5，=，求PD的长；（3）在点P运动过程中，设=x，tan∠AFD=y，求y与x之间的函数关系式．（不要求写出x的取值范围）圆的综合题1）证明相似，思路很老例，就是两个角相等或边长成比率．因为题中因圆周角易知一对相等的角，那么另一对角相等就是我们需要努力的方向，因为涉及圆，倾向于找凑近圆的角∠DPF，利用补角在圆内作等量代换，等弧同等角等知识易得∠DPF=∠APC，则结论易证．2）求PD的长，且此线段在上问已证相似的△PDF中，很明显用相似得成比率，再将其他边代入是应有的思路．利用已知条件易得其他边长，则PD可求．3）因为题目涉及∠AFD与也在第一问所得相似的△PDF中，进而考虑转变，∠AFD=∠PCA，连接PB得∠AFD=∠PCA=∠PBG，过G点作AB的垂线，若此线过PB与AC的交点那么结论易求，因为依照三角函数或三角形与三角形ABC相似可用AG表示∠PBG所对的这条高线．可是“此线可否过PB与AC的交点”？此时第一需要做的是多画几个动点P，观察我们的猜想．考据得我们的猜想应是正确的，可是证明不能够靠画图，如何求证此线过PB与AC的交点是我们解题的重点．老例作法不易得此结论，我们能够换别的的辅助线作法，先做垂线，得交点H，尔后连接交点与B，再证明∠HBG=∠PCA=∠AFD．因为C、D关于AB对称，能够延长CG考虑P点的对称点．依照等弧同等角，可得∠HBG=∠PCA，进而得解题思路．1）证明：∵，∴∠DPF=180°﹣∠APD=180°﹣所对的圆周角=180°﹣所对的圆周角=所对的圆周角=∠APC．在△PAC和△PDF中，，∴△PAC∽△PDF．（2）解：如图1，连接PO，则由，有PO⊥AB，且∠PAB=45°，△APO、△AEF都为等腰直角三角形．在Rt△ABC中，∵AC=2BC，2222∴AB=BC+AC=5BC，∵AB=5，∴BC=，∴AC=2，CE=AC?sin∠BAC=AC?=2?=2，AE=AC?cos∠BAC=AC?=2?=4，∵△AEF为等腰直角三角形，∴EF=AE=4，∴FD=FC+CD=（EF﹣CE）+2CE=EF+CE=4+2=6．∵△APO为等腰直角三角形，AO=?AB=，∴AP=．∵△PDF∽△PAC，∴，∴，∴PD=．3）解：如图2，过点G作GH⊥AB，交AC于H，连接HB，以HB为直径作圆，连接CG并延长交⊙O于Q，∵HC⊥CB，GH⊥GB，∴C、G都在以HB为直径的圆上，∴∠HBG=∠ACQ，∵C、D关于AB对称，G在AB上，∴Q、P关于AB对称，∴，∴∠PCA=∠ACQ，∴∠HBG=∠PCA．∵△PAC∽△PDF，∴∠PCA=∠PFD=∠AFD，y=tan∠AFD=tan∠PCA=tan∠HBG=．∵HG=tan∠HAG?AG=tan∠BAC?AG==，y==x．本题观察了圆周角、相似三角形、三角函数等性质，前两问思路还算简单，但最后一问需要熟练的解题技巧需要长久的磨练总结．整体来讲本题偏难，学生练习时加强理解，重点理解解析过程，自己如何找到思路．【例3】（第24题）如图①，已知：在矩形ABCD的边AD上有一点O，OA=，以O为圆心，OA长为半径作圆，交AD于M，恰好与BD相切于H，过H作弦HP∥AB，弦HP=3．若点E是CD边上一动点（点E与C，D不重合），过E作直线EF∥BD交BC于F，再把△CEF沿着动直线EF对折，点C的对应点为G．设CE=x，△EFG与矩形ABCD重叠部分的面积为S．（1）求证：四边形ABHP是菱形；（2）问△EFG的直角极点G能落在⊙O上吗？若能，求出此时x的值；若不能够，请说明原由；（3）求S与x之间的函数关系式，并直接写出FG与⊙O相切时，S的值．第3题图考点：圆的综合题；含30度角的直角三角形；菱形的判断；矩形的性质；垂径定理；切线的性质；切线长定理；轴对称的性质；特别角的三角函数值所有专题：压轴题．解析：（1）连接OH，能够求出∠HOD=60°，∠HDO=30°，进而能够求出AB=3，由HP∥AB，HP=3可证到四边形ABHP是平行四边形，再依照切线长定理可得BA=BH，即可证到四边形ABHP是菱形．（2）当点G落到AD上时，能够证到点G与点M重合，可求出x=2．3）当0≤x≤2时，如图①，S=S△EGF，只要求出FG，即可获取S与x之间的函数关系式；当2＜x≤3时，如图④，S=S△GEF﹣S△SGR，只要求出SG、RG，即可获取S与x之间的函数关系式．当FG与⊙O相切时，如图⑤，易得FK=AB=3，KQ=AQ﹣AK=2﹣2+x．再由FK=KQ即可求出x，进而求出S．解答：解：（1）证明：连接OH，如图①所示．∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=∠BAD=90°，BC=AD，AB=CD．∵HP∥AB，∴∠ANH+∠BAD=180°．∴∠ANH=90°．∴HN=PN=HP=．∵OH=OA=，sin∠HON==．∴∠HON=60°∵BD与⊙O相切于点H，OH⊥BD．∴∠HDO=30°．∴OD=2．∴AD=3．∴BC=3．∵∠BAD=90°，∠BDA=30°．tan∠BDA===．AB=3．∵HP=3，AB=HP．∵AB∥HP，∴四边形ABHP是平行四边形．∵∠BAD=90°，AM是⊙O的直径，BA与⊙O相切于点A．∵BD与⊙O相切于点H，BA=BH．∴平行四边形ABHP是菱形．（2）△EFG的直角极点G能落在⊙O上．如图②所示，点G落到AD上．∵EF∥BD，∴∠FEC=∠CDB．∵∠CDB=90°﹣30°=60°，∴∠CEF=60°．由折叠可得：∠GEF=∠CEF=60°．∴∠GED=60°．∵CE=x，∴GE=CE=x．ED=DC﹣CE=3﹣x．cos∠GED===．x=2．∴GE=2，ED=1．∴GD=．∴OG=AD﹣AO﹣GD=3﹣﹣=．∴OG=OM．∴点G与点M重合．此时△EFG的直角极点G落在⊙O上，对应的x的值为2．∴当△EFG的直角极点G落在⊙O上时，对应的x的值为2．3）①如图①，在Rt△EGF中，tan∠FEG===．∴FG=x．S=GE?FG=x?x=x2．②如图③，ED=3﹣x，RE=2ED=6﹣2x，GR=GE﹣ER=x﹣（6﹣2x）=3x﹣6．tan∠SRG===，∴SG=（x﹣2）．∴S△SGR=SG?RG=?（x﹣2）?（3x﹣6）．=（x﹣2）2．∵S△GEF=x2，∴S=S△GEF﹣S△SGR22=x﹣（x﹣2）．综上所述：当0≤x≤2时，S=x2；当2＜x≤3时，S=﹣x2+6x﹣6．当FG与⊙O相切于点T时，延长FG交AD于点Q，过点F作FK⊥AD，垂足为K，如图④所示．∵四边形ABCD是矩形，∴BC∥AD，∠ABC=∠BAD=90°∴∠AQF=∠CFG=60°．∵OT=，∴OQ=2．∴AQ=+2．∵∠FKA=∠ABC=∠BAD=90°，∴四边形ABFK是矩形．∴FK=AB=3，AK=BF=3﹣x．∴KQ=AQ﹣AK=（+2）﹣（3﹣x）=2﹣2+x．在Rt△FKQ中，tan∠FQK==．∴FK=QK．∴3=（2﹣2+x）．解得：x=3﹣．∵0≤3﹣≤2，22∴S=x=×（3﹣）∴FG与⊙O相切时，S的值为﹣6．谈论：本题观察了矩形的性质、菱形的性质、切线的性质、切线长定理、垂径定理、轴对称性质、特别角的三角函数值、30°角所对的直角边等于斜边的一半、等腰三角形的性质等知识，综合性特别强．【例4】（第23题）如图1，在⊙O中，E是弧AB的中点，C为⊙O上的一动点（C与E在AB异侧），连接EC交AB于点F，EB=（r是⊙O的半径）．1）D为AB延长线上一点，若DC=DF，证明：直线DC与⊙O相切；2）求EF?EC的值；3）如图2，当F是AB的四均分点时，求EC的值．圆的综合题．.1）连接OC、OE，OE交AB于H，如图1，由E是弧AB的中点，依照垂径定理的推论获取OE⊥AB，则∠HEF+∠HFE=90°，由对顶相等得∠HFE=∠CFD，则∠HEF+∠CFD=90°，再由DC=DF得∠CFD=∠DCF，加上∠OCE=∠OEC，因此∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，于是依照切线的判判定理得直线DC与⊙O相切；（2）由弧AE=弧BE，依照圆周角定理获取∠ABE=∠BCE，加上∠FEB=∠BEC，于是可判断△EBF∽△ECB，利用相似比获取222；EF?EC=BE=（r）=r3）如图2，连接OA，由弧AE=弧BE得AE=BE=r，设OH=x，则HE=r﹣x，依照勾股定理，在2222Rt△OAH中有AH+x=r；在Rt△EAH中由AH+（r﹣x）2=（r）2，利用等式的性质得x2﹣（r﹣x）2=r2﹣（r）2，即得x=r，则HE=rr=r，在Rt△OAH中，依照勾股定理计算出AH=，由OE⊥AB得AH=BH，而F是AB的四均分点，因此HF=AH=，于是在Rt△EFH中可计算出EF=r，尔后利用（2）中的结论可计算出EC．（1）证明：连接OC、OE，OE交AB于H，如图1，∵E是弧AB的中点，∴OE⊥AB，∴∠EHF=90°，∴∠HEF+∠HFE=90°，而∠HFE=∠CFD，∴∠HEF+∠CFD=90°，∵DC=DF，∴∠CFD=∠DCF，而OC=OE，∴∠OCE=∠OEC，∴∠OCE+∠DCE=∠HEF+∠CFD=90°，∴OC⊥CD，∴直线DC与⊙O相切；2）解：连接BC，∵E是弧AB的中点，∴弧AE=弧BE，∴∠ABE=∠BCE，而∠FEB=∠BEC，∴△EBF∽△ECB，∴EF：BE=BE：EC，222；∴EF?EC=BE=（r）=r3）解：如图2，连接OA，∵弧AE=弧BE，∴AE=BE=r，设OH=x，则HE=r﹣x，222222，在Rt△OAH中，AH+OH=OA，即AH+x=r222222，在Rt△EAH中，AH+EH=EA，即AH+（r﹣x）=（r）2222，即得x=r，∴x﹣（r﹣x）=r﹣（r）∴HE=r﹣r=r，在Rt△OAH中，AH===，∵OE⊥AB，∴AH=BH，而F是AB的四均分点，∴HF=AH=，在Rt△EFH中，EF===r，2∵EF?EC=r，2∴r?EC=r，∴EC=r．本题观察了圆的综合题：熟练掌握垂径定理及其推论、切线的判判定理和圆周角定理；会利用勾股定理进行几何计算，利用相似三角形的知识解决相关线段等积的问题．【例5】（第26题12分）如图，⊙O1与⊙O2外切与点D，直线l与两圆分别相切于点A、B，与直线O1O2订交于点M，且tan∠AM01=，MD=4．1）求⊙O2的半径；2）求△ADB内切圆的面积；3）在直线l上可否存在点P，使△MO2P相似于△MDB？若