空间向量及其运算 测模拟试题

、空间向量与立体几何21．1空间向量及其运算【知识网络】1． 了解空间向量与平面向量的联系与区别；了解向量及其运算由平面向空间推广的过程。2． 了解空间向量、共线向量、共面向量等概念；理解空间向量共线、共面的充要条件；了解空间向量的基本定理及其意义；掌握空间向量的正交分解及其坐标表示。 3． 掌握空间向量的线性运算及其性质；掌握空间向量的坐标运算。4． 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直。【典型例题】[例1]（1）已知a=(2，4，5)，b=(3，x，y)，若a∥b，则 （ ） A．x=6，y=15 B。x=3，y=EQ\F(15,2) C。x=3，y=15 D。x=6，y=EQ\F(15,2)（2）对于空间任意一点O和不共线的三点A，B，C，且有eq\o(\s\DO1(OP),\s\up6(→))=xeq\o(\s\DO1(OA),\s\up6(→))+yeq\o(\s\DO1(OB),\s\up6(→))+zeq\o(\s\DO1(OC),\s\up6(→))(x，y，z∈R)，则x＋y＋z＝1是四点P，A，B，C，D共面的 （ ） A．必要不充分条件 B。充分不必要条件 C．充要条件 D。既不充分又不必要条件（3）abcabcac B。60 C。120 D。150（4）设向量a=(3，5，－4)，b=(2，1，8)，若1a＋2b与z轴垂直，|1a＋2b|=eq\r(185)，则1＝，2＝。（5）在空间直角坐标系O-xyz中，点P(2，3，4)关于yOz面的对称点坐标为；关于z轴的对称点坐标为；关于原点的对称点坐标为；点P在xOz面的射影的坐标为。[例2]已知为原点，向量∥，求．[例3]已知向量{a，b，c}是空间的一基底，向量{a+b，a-b，c}是空间的另一基底，一向量在基底{a，b，c}下的坐标为（1，2，3），求在基底{a+b，a-b，c}下的坐标。[例4]如图所示，在平行六面体中，P是CA1的中点，M是CD1的中点，N是C1D1的中点，点Q在CA1上，且CQ∶QA1=4∶1，设，用基底{a，b，c}表示以下向量：B1C1ABMPQA1D1DB1C1ABMPQA1D1DC例4图【课内练习】1． 已知A(-1，0，1)，B(x，y，4)，C(1，4，7)，且A，B，C三点在同一直线上，则实数x，y分别为 （ ） A．x=0，y=1 B。x=0，y=2 C。x=1，y=1 D。x=1，y=22． 已知a=(2，-1，3)，b=(-1，4，-2)，c=(7，5，)，若a，b，c三向量共面，则等于 （ ） A．EQ\F(62,7) B。9 C。EQ\F(64,7) D。EQ\F(65,7)3． 已知空间两个动点A(m，1+m，2+m)，B(1-m，3-2m，3m)，则||的最小值是 （ ） A．EQ\F(9,17) B。EQ\F(3,17) C。EQ\F(3EQ\R(17),17) D。EQ\F(9EQ\R(17),17)4． 已知A(2，3-，-1+)关于x轴的对称点是A(，7，-6)，则，，的值为 （ ） A．=-2，=-4，=-5 B。=2，=-4，=-5 C。=-2，=10，=8 D。=2，=10，=75． 在空间四边形ABCD中，，，对角线AC、BD的中点分别为P、Q，则．6． 已知正方体中，侧面的中心是，若，则，．7． 已知空间两点、，则的最大值和最小值分别为．8． 已知A(1，0，1)，B(4，4，6)，C(2，2，3)，D(10，14，17)，求证：A，B，C，D共面。9． 已知=(1，2，3)，=(2，1，2)，=(1，1，2)，点Q在直线OP上运动，求当取得最小值时，点Q的坐标。10．设A(2，3，-6)，B(6，4，4)，C(3，7，4)，是平行四边形的三个顶点，试用向量法求此平行四边形的面积。

21、空间向量与立体几何21．1空间向量及其运算A组1． 在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，下列四对向量：①与；②与；③与；④与． 其中互为相反向量的有n对，则n= （ ） A．1 B．2 C．3 D．42． 已知点A、B的坐标分别为（-2，3，5）、（1，-1，-7），则向量的相反向量的坐标是 （ ） A．（-3，4，12） B．（3，-4，-12） C．（-1，2，-2） D．（1，-2，2）3． 已知a=(1，1，0)，b=(-1，0，2)，且ka+b与2a-b垂直，则k的值为 （ ） A． B．1 C． D．4． 棱长为a的正四面体ABCD中，+的值等于．5． 空间四边形OABC中，=a，=b，=c，点M在OA上，且，N为BC的中点，则=．（用向量a、b、c来表示．）6． 设i，j，k是空间直角坐标系O-xyz中与x轴、y轴、z轴正方向上的单位向量，求同时适合下列条件的向量x:⑴(i－2j＋4k)x＝0;⑵|x|＝10;⑶x在坐标面yOz内。7． 8． 已知=(10，-5，10)，=(-11，-2，10)，=(-2，-14，-5)，证明：由OA，OB，OC可以组成一个正方体的三条棱，并求出该正方体的其它几个顶点的坐标。（O为坐标原点）21、空间向量与立体几何21．1空间向量及其运算B组1． 已知△ABC得三个顶点为A(3，3，2)，B(4，-3，7)，C(0，5，1)，则BC边上的中线长为 （ ） A。2 B。3 C。4 D。52． 已知a=(1－t，1－t，t)，b=(2，t，t)，则|b－a|的最大值是 （ ） A。EQ\F(EQ\R(5),5) B。EQ\F(EQ\R(55),5) C。EQ\F(3EQ\R(5),5) D。EQ\F(11,5)3． 若A(3cos，3sin，1)，B(2cos，2sin，1)，则|eq\o(\s\DO1(AB),\s\up6(→))|的取值范围是 （ ） A。[0，5] B。[1，5] C。(2，5) D。[1，25]4． 已知=(x，2，-4)，=(-1，y，3)，=(1，-5，z)，且，，两两垂直，则x=，y=。5． 已知2+=(0，-5，10)，=(1，-2，-2)，=4，||=12，，＝。6． 已知△ABC的三顶点A（1，-2，-3），B（-1，-1，-1），C（0，0，-5），试证明它是一个直角三角形，并计算它的面积．7． 已知是平行六面体．(1)化简，并在图形中标出其结果；(2)设是底面的中心，是侧面的对角线上的点，且，设，试求之值。ABCDGP第8题图8． 已知在四面体ABCD中，=a，=b，=c，G∈ABCDGP第8题图 （1）若G为△ABC的重心，试证明(a+b+c)； （2）试问（1）的逆命题是否成立？并证明你的结论．

参考答案21．1空间向量及其运算【典型例题】[例1]（1）D。（2）C。（3）C．（4）2，1．（5）（-2，3，4），（2，3，-4），（-2，-3，-4），（2，0，4）。[例2]设，∵∥，∴，，∴，即解此方程组，得。 ∴，。[例3]设在基底{+，-，}下的坐标为(x，y，z)，则+2＋3＝x(+)+y(-)+z=(x+y)+(x-y)+z∴eq\b\lc\{(\a\al(x+y=1,x-y=2,z=3,))，解得eq\b\lc\{(\a\al(x=eq\f(3,2),y=－eq\f(1,2),z=3,))，故在基底{+，-，}下的坐标为（eq\f(3,2)，－eq\f(1,2)，3）。[例4]连接AC、AD1．（1）；（2）；（3）；（4）．【课内练习】1． B。2． D。3． C。4． D。5． 。6． 。7．，。8． ∵A(1，0，1)，B(4，4，6)，C(2，2，3)，D(10，14，17)，∴=(3，4，5)，=(1，2，2)，=(9，14，16)，令＝x(3，4，5)＋y(1，2，2)，则x=2，y=3。∴=2+3，∴A，B，C，D共面。9． 设Q(x，y，z)，因为点Q在直线OP上运动，故与共线，故＝，即有(x，y，z)＝(1，1，2)＝(，，2)，∴=(，，2)。又=(1，2，3)-(，，2)=(1-，2-，3-2)。=(2，1，2)-(，，2)=(2-，1-，2-2)，=(1-，2-，)·(2-，1-，2-2)=(1-)(2-)+(2-)(1-)+(3-2)(2-2)=62－16＋10=6(-eq\f(4,3))2－eq\f(2,3)。 ∴当＝eq\f(4,3)时，取得最小值，此时，点Q的坐标为（eq\f(4,3)，eq\f(4,3)，eq\f(8,3)）。10．S□ABCD=AB·AC·sin∠A=·sin。sin=EQ\R(1-cos2)=，∴S□ABCD＝eq\r(－)。又易求，=(4，1，10)，=(1，4，10)，||2=117，||2=117，·=108，∴S□ABCD＝EQ\R(1172－1082)=45。21．1空间向量及其运算A组1． B。提示：①③是互为相反向量．2． A。提示：向量的相反向量为．3． D。提示：(ka+b)(2a-b)=(k-1，k，2)(3，2，-2)=5k-7=0．4． 。提示：．而，故=0．5． 。6． 由⑶可设x＝(0，x2，x3)。eq\b\lc\{(\a\al((1,－2,4)(0，x2,x3)=0,eq\r(x22+x32)＝10,))即eq\b\lc\{(\a\al(－2x2+4x2=0,x22+x32=100,))，解得eq\b\lc\{(\a\al(x2=2eq\r(20),x3=eq\r(20),))或eq\b\lc\{(\a\al(x2=－2eq\r(20),x3=－eq\r(20),))。∴x＝(0，2eq\r(20)，eq\r(20))或x＝(0，－2eq\r(20)，－eq\r(20))。7． ＝(4，-4，-3)－(1，-2，3)＝（3，－2，－6），＝(8，6，6)－(2，4，3)＝（6，2，3），而方向上的单位向量是＝eq\f(,||)＝eq\f((6,2,3),eq\r(62+22+32))=(eq\f(6,7)，eq\f(2,7)，eq\f(3,7))，∴AB=·=（3，－2，－6）·(eq\f(6,7)，eq\f(2,7)，eq\f(3,7))＝－eq\f(4,7)。8． ·＝(10，-5，10)·(-11，-2，10)＝－110＋10＋100＝0；·＝(-11，-2，10)·(-2，-14，-5)＝22＋28－50＝0；·＝(-2，-14，-5)·(10，-5，10)＝－20＋70－50＝0。∴OA，OB，OC两两垂直。又||=EQ\R(102+(-5)2+102)=15;||=EQ\R((-11)2+(-2)2+102)=15;||=EQ\R((-2)2+(-14)2+52)=15;∴OA=OB=OC，从而OA，OB，OC可以组成一个正方体的三条棱。已知O(0，0，0)，A(10，-5，10)，B(-11，-2，10)，C(-2，-14，-5)，其它几个顶点分别设为D，E，F，G。则=+=(10，-5，10)+(-11，-2，10)=(-1，-7，20)。=+=(-11，-2，10)+(-2，-14，-5)=(-13，-16，5)=+=(-2，-14，-5)+(10，-5，10)=(8，-19，5)=++=(10，-5，10)+(-11，-2，10)+(-2，-14，-5)=(-3，-21，15)。 ∴正方体的其它几个顶点的坐标分别为D(-1，-7，20)，E(-13，-16，5)，F(8，