前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案（大纲）非数学类

本文格式为Word版，下载可任意编辑——前三届全国大学生高等数学竞赛真题及答案（大纲）非数学类中国大学生数学竞赛竞赛大纲

为了进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，鼓舞大学生学习数学的兴趣，发现和选拔数学创新人才，更好地实现“中国大学生数学竞赛〞的目标，特制订本大纲。

一、竞赛的性质和参赛对象

“中国大学生数学竞赛〞的目的是：鼓舞大学生学习数学的兴趣，进一步推动高等学校数学课程的改革和建设，提高大学数学课程的教学水平，发现和选拔数学创新人才。“中国大学生数学竞赛〞的参赛对象为大学本科二年级及二年级以上的在校大学生。

二、竞赛的内容

“中国大学生数学竞赛〞分为数学专业类竞赛题和非数学专业类竞赛题。

中国大学生数学竞赛（非数学专业类）竞赛内容为大学本科理工科专业高等数学课程的教学内容，具体内容如下：

一、函数、极限、连续

1．函数的概念及表示法、简单应用问题的函数关系的建立.2．函数的性质：有界性、单调性、周期性和奇偶性.

3．复合函数、反函数、分段函数和隐函数、基本初等函数的性质及其图形、初等函数.4．数列极限与函数极限的定义及其性质、函数的左极限与右极限.5．无穷小和无穷大的概念及其关系、无穷小的性质及无穷小的比较.6．极限的四则运算、极限存在的单调有界准则和夹逼准则、两个重要极限.7．函数的连续性（含左连续与右连续）、函数休止点的类型.8．连续函数的性质和初等函数的连续性.

9．闭区间上连续函数的性质(有界性、最大值和最小值定理、介值定理).二、一元函数微分学

1.导数和微分的概念、导数的几何意义和物理意义、函数的可导性与连续性之间的关系、平面曲线的切线和法线.

2.基本初等函数的导数、导数和微分的四则运算、一阶微分形式的不变性.3.复合函数、反函数、隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法.4.高阶导数的概念、分段函数的二阶导数、某些简单函数的n阶导数.

5.微分中值定理，包括罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒定理.6.洛必达(L’Hospital)法则与求未定式极限.

7.函数的极值、函数单调性、函数图形的凹凸性、拐点及渐近线(水平、铅直和斜渐近线)、函数图形的描绘.

8.函数最大值和最小值及其简单应用.9.弧微分、曲率、曲率半径.三、一元函数积分学

1.原函数和不定积分的概念.

2.不定积分的基本性质、基本积分公式.

3.定积分的概念和基本性质、定积分中值定理、变上限定积分确定的函数及其导数、

牛顿-莱布尼茨(Newton-Leibniz)公式.4.不定积分和定积分的换元积分法与分部积分法.5.有理函数、三角函数的有理式和简单无理函数的积分.6.广义积分.

7.定积分的应用：平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行

截面面积为已知的立体体积、功、引力、压力及函数的平均值．四.常微分方程

1.常微分方程的基本概念：微分方程及其解、阶、通解、初始条件和特解等.2.变量可分开的微分方程、齐次微分方程、一阶线性微分方程、伯努利(Bernoulli)方

程、全微分方程.

3.可用简单的变量代换求解的某些微分方程、可降阶的高阶微分方程：y(n)?f(x),y???f(x,y?),y???f(y,y?).

4.线性微分方程解的性质及解的结构定理.

5.二阶常系数齐次线性微分方程、高于二阶的某些常系数齐次线性微分方程.6.简单的二阶常系数非齐次线性微分方程：自由项为多项式、指数函数、正弦函数、

余弦函数，以及它们的和与积7.欧拉(Euler)方程.8.微分方程的简单应用五、向量代数和空间解析几何

1.向量的概念、向量的线性运算、向量的数量积和向量积、向量的混合积.2.两向量垂直、平行的条件、两向量的夹角.

3.向量的坐标表达式及其运算、单位向量、方向数与方向余弦.4.曲面方程和空间曲线方程的概念、平面方程、直线方程.

5.平面与平面、平面与直线、直线与直线的夹角以及平行、垂直的条件、点到平面和

点到直线的距离.

6.球面、母线平行于坐标轴的柱面、旋转轴为坐标轴的旋转曲面的方程、常用的二次

曲面方程及其图形.

7.空间曲线的参数方程和一般方程、空间曲线在坐标面上的投影曲线方程.六、多元函数微分学

1.多元函数的概念、二元函数的几何意义.

2.二元函数的极限和连续的概念、有界闭区域上多元连续函数的性质.3.多元函数偏导数和全微分、全微分存在的必要条件和充分条件.4.多元复合函数、隐函数的求导法.5.二阶偏导数、方向导数和梯度.

6.空间曲线的切线和法平面、曲面的切平面和法线.7.二元函数的二阶泰勒公式.

8.多元函数极值和条件极值、拉格朗日乘数法、多元函数的最大值、最小值及其简

单应用.

七、多元函数积分学

1.二重积分和三重积分的概念及性质、二重积分的计算(直角坐标、极坐标)、三重积

分的计算(直角坐标、柱面坐标、球面坐标).

2.两类曲线积分的概念、性质及计算、两类曲线积分的关系.

3.格林(Green)公式、平面曲线积分与路径无关的条件、已知二元函数全微分求原函

数.

4.两类曲面积分的概念、性质及计算、两类曲面积分的关系.

5.高斯(Gauss)公式、斯托克斯(Stokes)公式、散度和旋度的概念及计算.

6.重积分、曲线积分和曲面积分的应用(平面图形的面积、立体图形的体积、曲面面

积、弧长、质量、质心、转动惯量、引力、功及流量等)八、无穷级数

1.常数项级数的收敛与发散、收敛级数的和、级数的基本性质与收敛的必要条件.2.几何级数与p级数及其收敛性、正项级数收敛性的判别法、交织级数与莱布尼茨

(Leibniz)判别法.

3.任意项级数的绝对收敛与条件收敛.4.函数项级数的收敛域与和函数的概念.

5.幂级数及其收敛半径、收敛区间（指开区间）、收敛域与和函数.

6.幂级数在其收敛区间内的基本性质(和函数的连续性、逐项求导和逐项积分)、简单

幂级数的和函数的求法.7.初等函数的幂级数展开式.

8.函数的傅里叶(Fourier)系数与傅里叶级数、狄利克雷(Dirichlei)定理、函数在[-l，

l]上的傅里叶级数、函数在[0,l]上的正弦级数和余弦级数

前三届高数竞赛预赛试题（非数学类）

（参与高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书

及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

2023年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷

一、填空题（每题5分，共20分）

y(x?y)ln(1?)xdxdy?____________，其中区域D由直线x?y?1与两1．计算??D1?x?y坐标轴所围成三角形区域.

解:令x?y?u,x?v，则x?v,y?u?v，dxdy?det??1??01??dudv?dudv，??1?y(x?y)ln(1?)ulnu?ulndxdy???D1?x?y??D1?ududv

uulnuuudv?lnvdv)du??0001?u1?u21ulnuu(ulnu?u)???du01?u1?u??(1??令t?1?u，则u?1?t2

10u2du（*）1?udu??2tdt，u2?1?2t2?t4，u(1?u)?t2(1?t)(1?t)，

(*)??2?(1?2t2?t4)dt10

1?2?1016?2315?(1?2t2?t4)dt?2?t?t?t??3515??02．设f(x)是连续函数，且满足f(x)?3x2?解:令A??20f(x)dx?2,则f(x)?____________.

?20f(x)dx，则f(x)?3x2?A?2，

A??20(3x2?A?2)dx?8?2(A?2)?4?2A,4102。因此f(x)?3x?。33解得A?x2?y2?2平行平面2x?2y?z?0的切平面方程是__________.3．曲面z?2x2?y2?2在解:因平面2x?2y?z?0的法向量为(2,2,?1)，而曲面z?2(x0,y0)处的法向量为

(zx(x0,y0),zy(x0,y0),?1)，故

(zx(x0,y0),zy(x0,y0),?1)与(2,2,?1)平行，因此，由zx?x，zy?2y知2?zx(x0,y0)?x0,2?zy(x0,y0)?2y0，

即x0?2,y0?1，又z(x0,y0)?z(2,1)?5，于是曲面2x?2y?z?0在

(x0,y0,z(x0,y0))处的切平面方程是2(x?2)?2(y?1)?(z?5)?0，即曲面

x2z??y2?2平行平面

22x?2y?z?0的切平面方程是2x?2y?z?1?0。

4．设函数y?y(x)由方程xef(y)?eyln29确定，其中f具有二阶导数，且f??1，则

d2y

?________________.2

dx

解:方程xef(y)?eyln29的两边对x求导，得

ef(y)?xf?(y)y?ef(y)?eyy?ln29

因eyln29?xef(y)，故

11?f?(y)y??y?，即y??，因此

?xx(1?f(y))d2y1f??(y)y????y???dx2x2(1?f?(y))x[1?f?(y)]2f??(y)1f??(y)?[1?f?(y)]2?2?2?323x[1?f?(y)]x(1?f?(y))x[1?f?(y)]ex?e2x???enxx二、（5分）求极限lim()，其中n是给定的正整数.

x?0n解:因

eex?e2x???enxxex?e2x???enx?nxlim()?lim(1?)x?0x?0nn故

eeex?e2x???enx?neA?limx?0nxx2xnxe?e???e?n?elimx?0nxex?2e2x???nenx1?2???nn?1?elim?e?e

x?0nn2因此

ex?e2x???enxxlim()?eA?ex?0n三、（15分）设函数f(x)连续，g(x)?并探讨g?(x)在x?0处的连续性.

en?1e2

?10且limf(xt)dt，

x?0f(x)?A，A为常数，求g?(x)x

解:由limx?0f(x)f(x)?A和函数f(x)连续知，f(0)?limf(x)?limxlim?0

x?0x?0x?0xx因g(x)??10f(xt)dt，故g(0)??10f(0)dt?f(0)?0，

因此，当x?0时，g(x)?1xf(u)du，故x?0?limg(x)?limx?0x?0x0f(u)dux?limx?0f(x)?f(0)?01当x?0时，

g?(x)??1x2?x0f(u)du?f(x)，xx1xf(t)dtf(t)dt?0?f(x)Ag(x)?g(0)0x?lim?g?(0)?lim?lim?lim2x?0x?0x?0x?02x2xxx1xf(x)f(x)1xAAlimg?(x)?lim[?2?f(u)du?]?lim?lim2?f(u)du?A??

0x?0x?0x?0x?0xx0xx22这说明g?(x)在x?0处连续.

四、（15分）已知平面区域D?{(x,y)|0?x??,0?y??}，L为D的正向边界，试证：

（1）xeL??Lsinydy?ye?sinxdx??xe?sinydy?yesinxdx；

L（2）xesinydy?ye?sinydx??2.

证:因被积函数的偏导数连续在D上连续，故由格林公式知（1）xeL52?siny????dy?ye?sinxdx????(xesiny)?(?ye?sinx)?dxdy

?x?y?D????(esiny?e?sinx)dxdy

D?sinysinxxedy?yedx?L????????(xe?siny)?(?yesinx)?dxdy

?x?y?D????(e?siny?esinx)dxdy

D而D关于x和y是对称的，即知

siny?sinx?sinysinx(e?e)dxdy?(e?e)dxdy????DD因此

siny?sinx?sinysinxxedy?yedx?xedy?yedx??LL（2）因

t2t4e?e?2(1????)?2(1?t2)

2!4!t?t故

esinx?e?sinx?2?sin2x?2?由

1?cos2x5?cos2x?22siny?sinysiny?sinx?sinysinxxedy?yedx?(e?e)dxdy?(e?e)dxdy?????LDD知

siny?siny?xedy?yedx?L11siny?sinx(e?e)dxdy?(e?siny?esinx)dxdy????2D2D?11siny?siny(e?e)dxdy?(e?sinx?esinx)dxdy???(e?sinx?esinx)dxdy????2D2DD??00???(e?sinx?esinx)dx???5?cos2x5dx??222即xesinydy?ye?sinydx??2

?L52五、（10分）已知y1?xe?e，y2?xe?e，y3?xex?e2x?e?x是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解，试求此微分方程.

解设y1?xex?e2x，y2?xex?e?x，y3?xex?e2x?e?x是二阶常系数线性非齐次微分方程

x2xx?xy???by??cy?f(x)

的三个解，则y2?y1?e?x?e2x和y3?y1?e?x都是二阶常系数线性齐次微分方程

y???by??cy?0

的解，因此y???by??cy?0的特征多项式是(??2)(??1)?0，而y???by??cy?0的特征多项式是

?2?b??c?0

???y1??2y1?f(x)和因此二阶常系数线性齐次微分方程为y???y??2y?0，由y1??ex?xex?2e2x，y1???2ex?xex?4e2xy1???y1??2y1?xex?2ex?4e2x?(xex?ex?2e2x)?2(xex?e2x)知，f(x)?y1?(1?2x)ex

二阶常系数线性非齐次微分方程为

y???y??2y?ex?2xex

2六、（10分）设抛物线y?ax?bx?2lnc过原点.当0?x?1时,y?0,又已知该抛物线

与x轴及直线x?1所围图形的面积为转体的体积最小.

1.试确定a,b,c,使此图形绕x轴旋转一周而成的旋3解因抛物线y?ax2?bx?2lnc过原点，故c?1，于是

112b?ab?a??(ax?bx)dt??x3?x2???302?032?3即

1b?2(1?a)311而此图形绕x轴旋转一周而成的旋转体的体积

V(a)???(ax2?bx)2dt???(ax2?002142(1?a)x)2dt3114432??a?xdt??a(1?a)?xdt??(1?a)?x2dt

00039114??a2??a(1?a)??(1?a)25327即

114V(a)??a2??a(1?a)??(1?a)2

5327令

V?(a)?得

218?a??(1?2a)??(1?a)?0，532754a?45?90a?40?40a?0

即

4a?5?0

因此

53a??,b?,c?1.

42

?(x)?un(x)?xn?1ex(n?1,2,?),且un(1)?七、（15分）已知un(x)满足un级数

e,求函数项n?un?1?n(x)之和.

解

?(x)?un(x)?xn?1ex，un即

y??y?xn?1ex

由一阶线性非齐次微分方程公式知

y?ex(C??xn?1dx)

即

xny?e(C?)

nx因此

xnun(x)?e(C?)

ne1由?un(1)?e(C?)知，C?0，nnx于是

xnexun(x)?

n下面求级数的和：

令

xnexS(x)??un(x)??

nn?1n?1??则

?xnexexn?1xS?(x)??(xe?)?S(x)??xe?S(x)?

n1?xn?1n?1?n?1x即

exS?(x)?S(x)?

1?x由一阶线性非齐次微分方程公式知

S(x)?ex(C??1dx)1?x令x?0，得0?S(0)?C，因此级数

?un?1?n(x)的和

S(x)??exln(1?x)

八、（10分）求x?1时,与

2??xn等价的无穷大量.

n?0

2?

2

tt解令f(t)?x，则因当0?x?1，t?(0,??)时，f?(t)?2txlnx?0，故

f(t)?xt?e??02?t2ln1x在(0,??)上严格单调减。因此

???f(t)dt???n?0?n?1nf(t)dt??f(n)?f(0)???n?0n?1nn?1f(t)dt?1????0f(t)dt

即

?又

???0f(t)dt??f(n)?1??n?0????0f(t)dt，

?f(n)??xn，

n?0n?0211?limx?limx?1x?11?xx?1?1ln???0f(t)dt??xdt??e00??t2???t2ln1xdt?1ln1?x??0e?tdt?21ln?12x，

所以，当x?1时,与

??x等价的无穷大量是

n?0

?

n2

1?。

21?x2023年其次届全国大学生数学竞赛预赛试卷

（参与高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书

及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）

一、（25分，每题5分）（1）设xn?(1?a)(1?a2)?(1?a2),其中|a|?1,求limxn.

n??n（2）求lime?x?1?x????1??。x?x2（3）设s?0，求I???0e?sxxndx(n?1,2,?)。

22?2g?2g?1?（4）设函数f(t)有二阶连续导数，r?x?y,g(x,y)?f??，求2?2。

?x?y?r?（5）求直线l1:??x?y?0x?2y?1z?3??与直线l2:的距离。4?2?1?z?022n22n解：（1）xn?(1?a)(1?a)?(1?a)=xn?(1?a)(1?a)(1?a)?(1?a)/(1?a)

2=(1?a)(1?a)?(1?a)/(1?a)=?=(1?a)/(1?a)

222nn?1?limxn?lim(1?a2)/(1?a)?1/(1?a)

n??n??n?111lne?x(1?)xx2ln(1?)?x1??x?xx(2)lime?1???lime?limex??x??x???x?2x2

令x=1/t,则

(ln(1?t)?t)原式=limet?0?t2?limet?0n1/(1?t)?12t?limet?0?12(1?t)?e

?121?n?sx1n?sx???sxnIn??exdx?(?)?xde?(?)[xe|0??edx]?00s0s（3）

n??sxn?1nn(n?1)n!n!exdx?In?1?In?2???nI0?n?1s?0ss2ss?sx二、（15分）设函数f(x)在(??,??)上具有二阶导数，并且

f??(x)?0,limf?(x)???0,limf?(x)???0,且存在一点x0，使得f(x0)?0。

x???x???证明：方程f(x)?0在(??,??)恰有两个实根。

解：二阶导数为正，则一阶导数单增，f(x)先减后增，由于f(x)有小于0的值，所以只需在两边找两大于0的值。将f(x)二阶泰勒展开：

f''(?)2f(x)?f(0)?f(0)x?x

2'由于二阶倒数大于0，所以

x???limf(x)???，limf(x)???

x???证明完成。

?x?2t?t2三、（15分）设函数y?f(x)由参数方程?(t??1)所确定，其中?(t)具有二阶

?y??(t)t3?u导数，曲线y??(t)与y??edu?在t?1出相切，求函数?(t)。

12e22t2d2y?3?u2解：（这儿少了一个条件2?）由y??(t)与y??edu?在t?1出相切得

12edx?(1)?32'，?(1)?2eedydy/dt?'(t)??dxdx/dt2?2td2yd(dy/dx)d(dy/dx)/dt?''(t)(2?2t)?2?'(t)???=。。。23dxdxdx/dt(2?2t)上式可以得到一个微分方程，求解即可。四、（15分）设an?0,Sn??a,证明：

kk?1n（1）当??1时，级数

an收敛；??n?1Snan发散。??Sn?1n????（2）当??1且sn??(n??)时，级数解：

（1）an>0,sn单调递增当

?an收敛时，?n?1??anananan，而收敛，所以收敛；?sn?s1?s1?sn?当

?an?1n发散时，limsn??

n??sndxsndxansn?sn?1???????sn?1s?sn?1x?snsn?nsndxana1?sndxa1?????所以，???????sn?1x?s1xsss1n?1nn?21?而

?sns1sn1???s11??a1s11??dxa1???lim????k，收敛于k。?n??xs11??s1??1所以，

an

收敛。??sn?1n

n???

（2）?limsn??

所以

?an?1?n发散，所以存在k1，使得

k1?an?2k1n?a1

ank1anan?1于是，?????2?

sk122sn2snk1依此类推，可得存在1?k1?k2?...

kNa1an1使得???成立，所以?n?N??s2s21kinnki?1当n??时，N??，所以

an

发散??n?1sn

?

五、（15分）设l是过原点、方向为(?,?,?)，（其中?2??2??2?1)的直线，均匀椭球

x2y2z2???1，其中（0?c?b?a,密度为1）绕l旋转。a2b2c2（1）求其转动惯量；

（2）求其转动惯量关于方向(?,?,?)的最大值和最小值。解：

（1）椭球上一点P(x,y,z)到直线的距离

d2?(1??2)x2?(1??2)y2?(1??2)z2?2??xy?2??yz?2??zx

????xydV????yzdV????zxdV?0

??????zdV???2c?czdzx22??1?2a2b2cy2??z224dxdy???ab(1?2)zdz??abc3

?cc15z2c由轮换对称性，

2x???dV??44?a3bc,???y2dV??ab3c1515?444?a3bc?(1??2)?ab3c?(1??2)?abc3151515I????d2dV?(1??2)?4?abc[(1??2)a2?(1??2)b2?(1??2)c2]15（2）?a?b?c

4?当??1时，Imax??abc(a2?b2)

154?abc(b2?c2)当??1时，Imin?15?六、(15分)设函数?(x)具有连续的导数，在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C上，曲

线积分

2xydx??(x)dy的值为常数。42??x?yc22（1）设L为正向闭曲线(x?2)?y?1,证明（2）求函数?(x)；

2xydx??(x)dy?0;42??x?yc2xydx??(x)dy。42??x?yc（3）设C是围绕原点的光滑简单正向闭曲线，求解：

（1）L不绕原点，在L上取两点A，B，将L分为两段L1，L2，再从A，B作一曲线L3，

使之包围原点。

则有

2xydx??(x)dy2xydx??(x)dy2xydx??(x)dy?????424242???x?yx?yx?yLL1?L3L??L23（2）令P?2xy?(x),Q?4242x?yx?y由（1）知

?Q?P??0，代入可得?x?y?'(x)(x4?y2)??(x)4x3?2x5?2xy2

上式将两边看做y的多项式，整理得

y2?'(x)??'(x)x4??(x)4x3?y2(?2x)?2x5

由此可得

?'(x)??2x

?'(x)x4??(x)4x3?2x5

解得：?(x)??x

（3）取L为x?y??，方向为顺时针

'2424??Q?P??0?x?y2xydx??(x)dy2xydx??(x)dy2xydx??(x)dy??????424242???x?yx?yx?y''?cc?LL?1

?4L'???2xydx?xdy??22023年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷

（参与高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识，适当看一些辅导书及相关题目，主要是一些各大高校的试题。）一．计算以下各题（此题共3小题，每题各5分，共15分）

（1）.求lim??sinx??x?0x??11?cosx11?cosx；

解：（用两个重要极限）：

?sinx?lim??x?0x???limex?0?sinx?x??lim?1??x?0x??sinx?xx?013x2limxsinx?x?sinx?xx?1?cosx?sinx?xx?1?cosx??e?ecosx?1x?032x2lim?e1?x2lim2x?032x2

?13?e

11??1??...?（2）.求lim??；n??n?1n?2n?n??111??...?解：(用欧拉公式）令xn?

n?1n?2n?n11由欧拉公式得1?????lnn=C+o（1），2n

1111则1?????????ln2n=C+o（1），2nn?12n其中，o?1?表示n??时的无穷小量，

?limx?ln2.?两式相减，得：xn-ln2?o（1）,n??n

2t?x?ln1?e??d2y?（3）已知?，求。

2tdx??y?t?arctaneet1?2tt2tdx2e2tdyetdye?e?11?e?,?1????解：2t2t2t2t2edt1?edt1?edx2e1?e2tdyd?dy?1e?21?e?2??????2t?2tdxdt?dx?dx2e2edt2t2t2tt1?ee????2?4e4t

二．（此题10分）求方程解：设P?2x??2x?y?4?dx??x?y?1?dy?0的通解。

y?4,Q?x?y?1，则Pdx?Qdy?0

?P?Q???1,?Pdx?Qdy?0是一个全微分方程，设dz?Pdx?Qdy

?y?xz??dz??Pdx?Qdy???x,y??0,0??2x?y?4?dx??x?y?1?dy

?P?Q??,?该曲线积分与路径无关

?y?x12?z???2x?4?dx???x?y?1?dy?x?4x?xy?y?y

002xy2三．（此题15分）设函数f(x)在x=0的某邻域内具有二阶连续导数，且

f?0?,f'?0?,f\?0?均不为

0，证明：存在唯一一组实数k1,k2,k3，使得

limh?0k1f?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0?h2?0。

?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0????0

即?k1?k2?k3?1?f?0??0，又f?0??0，?k1?k2?k3?1①

证明：由极限的存在性：lim?k1fh?0?由洛比达法则得

limh?0k1f?h??k2f?2h??k3f?3h??f?0?h2k1f'?h??2k2f'?2h??3k3f'?3h?

2h'''由极限的存在性得lim?k1f?h??2k2f?2h??3k3f?3h???0

??h?0h?0?lim?0即

?k1?2k2?3k3?f'?0??0，又f'?0??0，?k1?2k2?3k3?0②

再次使用洛比达法则得

limh?0k1f'?h??2k2f'?2h??3k3f'?3h?2hk1f\?h??4k2f\?2h??9k3f\?3h??0

2??k1?4k2?9k3?f\?0??0?f\?0??0h?0?lim?k1?4k2?9k3?0③

?k1?k2?k3?1?由①②③得k1,k2,k3是齐次线性方程组?k1?2k2?3k3?0的解

?k?4k?9k?023?1?111??k1??1???????设A?123,x?k2,b?0，则Ax?b，???????149??k??0????3???增

广

矩

阵

?1A*???1?1?1241??3????9???1?0?01?0?0??0，1?0?则013310R?A,b??R?A??3

所以，方程Ax且k1?b有唯一解，即存在唯一一组实数k1,k2,k3满足题意，

?3,k2??3,k3?1。

四．（此题17分）设

x2y2z2?1:2?2?2?1，其中a?b?c?0abc，

?2:z2?x2?y2，?为?1与?2的交线，求椭球面?1在?上各点的切平面到原点

距离的最大值和最小值。

x2y2z2?2?2?1，解：设?上任一点M?x,y,z?，令F?x,y,z??2abc2x'2y'2z'则Fx?2,Fy?2,Fz?2,?椭球面?1在?上点M处的法向量为：

abc??xyz?t??2,2,2?,??1在点M处的切平面为?：

?abc?xyzX?x??2?Y?y??2?Z?z??02?abc原

点

到

平

面

?的距离为

d?1x?4a2y?b42，

zc42令

G?x2,x,?y?za4G?y2?4bz21，?则4d,?cG?x,y,z?条件

现在求

x2y2z2,x,y??z4?4?4在,abcx2y2z2?2?2?12abc，

z2?x2?y2下的条件极值，

令

?x2y2z2?x2y2z2H?x,y,z??4?4?4??1?2?2?2?1???2?x2?y2?z2?abcbc?a?

则由拉格朗日乘数法得：

2x?'2xH???12?2?2x?0?xa4a??H'?2y??2y?2?y?0122?yb4b?2z?'2z?Hz?4??12?2?2z?0，

cc??x2y2z2?2?2?2?1?0bc?a?x2?y2?z2?0??22?x?0?2ac2??x?z?2222解得?或?，a?cbc22?y?z?2?b?c2?y?0?b4?c4a4?c4对应此时的G?x,y,z??或G?x,y,z??

22222222bc?b?c?ac?a?c?b2?c2此时的d1?bcb4?c4又由于aa2?c2或d2?aca4?c4?b?c?0，则d1?d2

?1在?上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为：

所以，椭球面

a2?c2d2?ac4a?c4b2?c2，d1?bcb4?c4

?x2?3y2?1五．（此题16分）已知S是空间曲线?绕y轴旋转形成的椭球面的上半部

?z?0分（z?0）取上侧，?是S在P?x,y,z?点处的切平面，??x,y,z?是原点到切

平面?的距离，?,?,?表示S的正法向的方向余弦。计算：

z（1）（2）z??x?3?y??z?dSdS；

??????x,y,z?SS

解：（1）由题意得：椭球面S的方程为x令F2?3y2?z2?1?z?0?

?x2?3y2?z2?1,则Fx'?2x,Fy'?6y,Fz'?2z，

?切平面?的法向量为n??x,3y,z?，

?的方程为x?X?x