卡尔曼滤波对测量数据处理的程序实现方法

1自从1960年卡尔曼滤波提出以来，它已成为控制，信号算方法和工具之一，并已成功的应用到航空，航天，工业过程及社会经济等不同领域，比如，雷达中，人们感兴趣的是跟踪目标，但目标的位置、速度、加速度的测量值往往在任何时候都有这个估计可以是对当前目标位置的估计(滤波),也可以是对于将来位置估计(预测),也可以是计算效率、实用性和有效性的要求越来越高，随着微型计算机时的能力，滤波大量复杂的计算在计算机种只需要几分钟就能算出，为此本文将对卡尔曼滤波进行1.2研究的意义卡尔曼滤波(Kalman,1960)是当前应用最广的一种动态数据处理方法，它具有最小无偏方差性.把变形体视为一个动态系统,将一组观测值作为系统的输出，可以用卡尔曼滤波模型来描述系统的状态.动态系统由状态方程和观测方程描述,以监测点的位置、速率和加速率参数为状态向量，可构造一个典型的运动模型.状态方程中要加进系统的动态噪声.其滤波方程是一组递推计算公式，计算过程是一个不断预测、修正的过程，在求解时，优点是不需保留用过的观测值序列，并且当得到新的观测数据时，可随时计算新的滤波值，便于实时处理观测成果，把参数估计和预报有机地结合起来.卡尔曼滤波特别适合变形监测数据的动态处理.1.3研究的方法1.4课题的主要内容本文先从现代测量误差处理理论基础开始讲解，细致的写出现代测量误差都有那些函数，并详细分析讲解这些函数，在继续讲解最小二乘与卡尔曼滤波的关系，如量测值越多，只要处理得若量测值数量十分庞大，则计算机必须具备巨大的存储容量，估计从每次获得的最小量测值中提取出被估计量信息，用于修正次数越多，修正的次数也越多，估计的精读也越高。这和卡尔曼滤波原理非常相似，本文在详细黑龙江工程学院本科生毕业论文2在测量、通信和控制等学科中，为了求得某些未知参数，常常要进行一系列的观测.由于测量上的局限性，往往只能观测未知量的某些函数，且观测值中必然含有误差(或称为噪声).这就产生了根据含有误差的观测值求定未知参数估值的问题.下面举几个例子.(1)为了确定平面或三维控制网中各点的坐标，对控制网的边长和方向(或坐标差)进行了观测，当然，观测值包含有误差.设各点的坐标为未知参数向量x,而包括边长和方向的观测值向量为L,则L和x之间有函数关系式中△表示误差向量.通过含有误差△的观测向量L来求定待定点坐标的最佳估值，就是一个估计问题.在测量中，就是一个平差问题.(2)通信理论中的一个重要问题是从接收到的信号中，提取被发送的信号设被发送的信息调制成信号S(t),而接收到的信号也就是信号的观测值L(t),由于大气噪声和电路噪声的干扰，因此有其中n(t)是噪声，t表示时间.通信中的主要问题就是从L(t)中将有用的信号S(t)分离出来，也就是由L(t)求定S(t)的最佳估值.信号S(t)也是一种未知参数.(3)生产过程的自动化可以达到高效率和高精度在实现生产过程的控制中，需要通过对生产系统进行状态的不断测量，得到与系统运行状态有关的观测值；然后对观测值进行分析处理得到控制信号，实时地控制生产系统按要求运行.但由于观测值中存在误差，所以，为了得到控制信号，就要求由观测值来估计系统的运行状态(4)卫星(或其他运动体)的轨道往往可以由如下微分方程确定式中f表示时间；x(t)表示卫星的轨道参数，在此处称为状态向量；U(t)为控制向量；力(t)是随机的状态噪声.为了精确估计或预测卫星的轨道，就需要对卫星进行观测，从而得到大量的观测数据L(t),然后实时地由含有误差的观测值L(t)来估计卫星的轨道，即估计卫星的轨道参数.以上例中所述的信号或状态都可以说是一种未知参数.在测量平差中，通常称非随机的未知参数向量为参数，而称随机参数向量为信号，而称随时间t变化的动态系统中的未知参数向量为状态向量，或筒称为状态.可以看到，在上面的例子中，都存在一个对未知参数进行估计的问题.一般说来，若设x为t阶未知参数向量(简称为参数),L为n阶观测向量(或称观测值),△表示n维误差(或噪声)向量.那么，所谓估计问题，就是根据含有误差△的观测值L,构造一个函数X(L),使X(L)成为未知参数向量x的最佳估计量，其具体数值称为最佳估值(以后一般不区分其含义).通常将X(L)简记为X,并记黑龙江工程学院本科生毕业论文3数，所以习惯上都用估值(平差值)的方差衡量精度.知道，最优估计量主要应具有以下几个性质：(1)一致性.由观测值得到的估值X(L)通常与其真值是不同的，我们希望当观测值个数n增加时，估计量变得更好些；当n无限增大时，估计量向被估计的参数趋近的概率等于1.即如果对于任意ε>0,有则称此估计量是均方一致的.估计量的一致性是从它的极限性质来看的.如果丑是非随机量，上式即为以不同的准则来求定未知参数的最佳估值，可得到不同的估计方法.估计方法主要有极大似然估计，最小二乘估计，极大验后估计，最小方差估计和线性最小方差估计等；经典的测量平差法都是以最小二乘估计或极大似然估计为根据导出的；而滤波、配置和动态系统的卡尔曼滤波等，最初是以极大验后估计或最小方差估计为根据导出的.因此，概率统计中的估计理论是广义测量平差的理论基础.黑龙江工程学院本科生毕业论文42.2多维正态分布正态分布是测量平差理论中最常用的误差分布，是最小二乘平差误差理论的基础.本节在已学过的一元正态分布的基础上，对多维正态分布做全面阐述.广义测量平差理论中还涉及其他分布，则将分别在相应章节中一一介绍.已知随机变量X的正态分布概率密度为的有限个线性函数为n维正态随机向量.此时，X的数学期望和方差阵为X～N,(μ,Dx).黑龙江工程学院本科生毕业论文5则2.2.2多维正态分布则它的概设有n维正态随机向量X—N。(p。,Dx),其中方差阵D,为可逆阵，即det(Dx)≠0,则它的概率密度为则由(1-2-3)式可得其概率密度为因相关系数,所以上式可写为这就是二维正态随机向量概率密度.6图1-1可将(1-2-7)和(1-2-8)两式分别写为黑龙江工程学院本科生毕业论文7利用(1-2-10)、(1-2-9)式和(1-2-13)式，可将概率密度(1-2-6)式改写为或其中其中黑龙江工程学院本科生毕业论文8又由条件概率密度公式知而将(1-2-14)和(1-2-17)两式代人(1-2-19)式，得而将(1-2-15)和(1-2-18)两式代人(1-2-20)式，即得显然，上两式仍然是正态概率密度，根据条件期望和条件方差的定义和正态概率密度的性质可得因此，(1-2-21)和(1-2-22)式又可写为正态分布的条件期望具有以下性质：也是正态随机向量.(2)设X和Y,为正态随机向量，且设则X是与Z互相独立的随机向量.这是因为由协方差传播律可得9(3)设X~N(μx,Dx),Y～N(μ,D₁),Y₂~N(μ₂,D₂),且cov(Y,Y₂)=0,而证因为黑龙江工程学院本科生毕业论文2.2.4矩阵反演公式由于正定矩阵的逆阵唯一，故由(1-2-7)、(1-2-8)两式直接可得：由此可知，对于任意矩阵A、B和任意可逆阵C、D,只要在下式中它们可以相乘，就有上两式关系，一般形式为通常称(1-2-32)、(1-2-33)两式为矩阵反演公式，是两个非常重要的关系式，在测量平差推导公式时常要用到.矩阵反演公式也可直接证明.令H=(D+ABC)',则有黑龙江工程学院本科生毕业论文将上式左乘B,得此即(1-2-33)式，代入(1-2-34)式，即得(1-2-32)式.2.3极大似然估计设有参数向量,它可以是未知的非随机量，也可以是随机向量，为了估计X,进行了n次观测.得到了观测向量的观测,又假定对X的所有可能取值为x,在X=x的条件下得到的这就是说，极大似然估计是以为准则求最佳估值x的方法.显然，它满足于于如果参数X是非随机量，则而(1-3-1)式变为此时，f(l,x)是L的概率密度，其中的x只是表示函数与参数X有关.黑龙江工程学院本科生毕业论文2.4最小二乘估计设被估计量是t维未知的参数向量X,为△,观测方程观测向量为)其观测误差(或称为噪声)向量所谓最小二乘估计，就是要求估计值x使下列二次型达到最小值，即转置后，得解得又因为X)达到极小值.最小二乘估计量x的估计误差为由此式按协方差传播律可得X的误差方差阵为黑龙江工程学院本科生毕业论文即可以看到，最小二乘估计具有如下性质：所以黑龙江工程学院本科生毕业论文上面是不考虑概率分布，直接将(1-4-3)式作为一种估计准则.当观测误差和参数X是正态随机向量时，这种最小二乘估计准则还可以从极大似然估计导出.而在X=x条件下的条件概率密度为将(1-4-13)式代人上式得：由于似然方程等价于所以也等价于考虑到则(1-4-14)式也就是最小二乘估计的准则(1-4-10).这就由极大似然估计导出了最小二乘估计.从上述讨论看到，在由极大似然估计导出最小二乘估计的过程中，虽然将参数X作为随机向上可以说，最小二乘估计实际上并没有考虑参数的随机性质.正因为如此，当不知道参数的先验期望和先验方差，或者参数是非随机量时，可以应用上述最小二乘估计求其估值.本节是以间接平差的函数模型为例，说明了最小二乘估计的准则.至于其他的各种经典平差法(如条件平差、附有参数的条件平差、附有限制条件的间接平差),尽管它们各具自己的函数模黑龙江工程学院本科生毕业论文型，但它们所依据的估计准则不变，其差别仅在于：在不同的函数模型下，它们的具体求解方法2.5极大验后估计“f(x/1)=max”在观测向量的条件下的条件概率密度1仍然表示L的观测值.这个准则的含义在直观上是较明显的.它的含义是：给定了L的一组子样此方程称为验后方程.因为将上式对x求导，则有由此可知，极大验后估计的准则(1-5-1)式等价于2.6最小方差估计最小方差估计是一种以估计误差的方差为最小作为准则的估计方法，即根据观测向量L求得参数X的估值，如果它的误差方差比任何其他估值的方差小，就认为这个估值是最优估值.记X的最小方差估值为X或Xm(L).黑龙江工程学院本科生毕业论文因为所以黑龙江工程学院本科生毕业论文欲使ψ取得最小值，就应使上式取等号，此时应使即得参数的最小方差估值为即它是估计误差的最小方差阵.又因为考虑到即得2.7线性最小方差估计前面所述的极大似然估计、极大验后估计和最小方差估计，均要求知道观测向量L和未知参数向量X的条件概率密度或联合概率密度。它们所得到的估计量X可以是L的任意函数.而最小二乘估计可以不需要知道任何统计性质，所得到的估计量x。是王的线性函数，所以说最小二乘估计是一种线性估计.本节的线性最小方差估计则是放宽对概率密度的要求，只要求已知L和X的数学期望和方差、协方差，以及限定所求的估计量是观测向量L的线性函数，再以估计量的均方误差达到极小为求最优估计量的准则.这样得到的估计量称为线性最小方差估计量，并记为以黑龙江工程学院本科生毕业论文将上式配方，则有上式右边第一、二项都是非负定阵，而第三、四项均与α,β无关.显然，为使(1-7-5)式中的将(1-7-6)和(1-7-7)两式代入(1-7-3)式可得：再将(1-7-7)和(1-7-8)两式代入(1-7-1)式，即得线性最小方差估计量即所以也可得此即(1-7-7)、(1-7-8)式，由此可知，这种以方差阵之迹达到最小的准则，与前面以方差阵达到最小的准则所得到的结果完全相同。有时也称这种以方差阵之迹达到最小为准则的估计方法称之为最小方差迹估计不难看到，线性最小方差估计量童。具有以下性质：(1)由(1-7-9)式可得：黑龙江工程学院本科生毕业论文(4)当X,L的联合概率密度是正态时，因为2.8贝叶斯估计在1-5节和1-6节中介绍的极大验后估计和最小方差估计，可以说是贝叶斯(Bayes)估计的两种形式，因此有必要介绍一些关于贝叶斯估计的概念.如果它具有性质：黑龙江工程学院本科生毕业论文可以看到，选择不同形式的损失函数，就可得到不同的贝叶斯估计方法和结果.下面来说明极大验后估计和最小方差估计是贝叶斯估计的两种形式2.8.1极大验后估计设选择的损失函数是上式可写为等价于黑龙江工程学院本科生毕业论文当ε足够小(ε>0)时，这又等价于时，贝叶斯估计就是极大验后估计.2.8.2最小方差估计设选择的损失函数是式中S为任意对称非负定阵，(1-8-7)式的损失函数称为二次型损失函数.此时X的贝叶斯风险为不难看到，上式也可写为矩阵迹的形式，即有式中的积分就是童的误差方差阵),当取S=E时，选择二次型损失函数的贝叶斯估计，是以估计量的误差方差阵之迹达到最小为准则来求X的方法因此，可以说，它就是最小方差估计.如果将(1-8-8)式写为则它也等价于由于S是非负定阵，因此下式成立：黑龙江工程学院本科生毕业论文亦即2.9广义测量平差原理测量平差的主要任务，是根据含有随机误差的观测值来确定被观测量及其函数的平差值，也就是求定未知参数的最佳估值.前面所讨论的各种估计方法也就是广义测量平差的理论基础.为了进一步说明广义测量平差原理，下面先讨论在正态分布的情况下，上述估计方法的关系.从前面的叙述可以看到，对于正态分布来说，极大验后估计所得到的结果，与最小方差估计、线性最小方差估计相同；而在一定的情况下，可以由极大似然估计导出最小二乘估计因此，本节主要说明极大似然估计、最小二乘估计与极大验后估计之间的关系.若未知参数为X～N(μx,Dx),观测误差△~N(0,D₂),D(X,△)=0,并有观测方程再记则由1-4节知，似然方程等价于最小二乘估计准则根据贝叶斯公式可得黑龙江工程学院本科生毕业论文因此于下面根据(1-9-5)和(1-9-7)式来进行讨论此式也就是误差方程.于是，(1-9-7)式可写为差.如果在未知参数中除包含随机参数X外，还包含非随机参数Y,则有若记黑龙江工程学院本科生毕业论文则(1-9-17)式即为显然，(1-9-17)和(1-9-19)式与(1-9-6)式等价.也就是说，按照(1-9-17)或(1-9-19)式求得的估就变成为(1-9-14)式的广义最小二乘原理.综合本章所述，可以认为，广义测量平差主要包含以下内容：(1)广义平差问题包含三类：第一类是经典的平差问题，其特点是将未知参数都当作非随机参数；第二类是将所有的未知参数都看作是正态随机参数，我们将这类问题的平差方法称为“滤波”;第三类是一、二类问题的综合，即包含有随机参数，又包含有非随机参数，通常将这类问题的平差方法称为“配置”,或者叫做“拟合推估”.(2)作为广义平差的理论基础的估计方法可分为两类，一类是对非随机参数进行估计的最小二乘估计和极大似然估计(或者说不考虑参数的先验统计性质);另一类是对随机参数进行估计的极大验后估计或最小方差估计，线性最小方差估计.由这两类估计方法可以得到各种不同的平差方(3)当未知参数x是正态随机向量时，可以将它的先验期望当作虚拟观测值，按广义最小二乘原理求参数的估值X,其结果与极大验后估值x相同.因此，广义最小二乘原理是广义测量平差求平差值的基本准则.第3章广义最小二乘与卡尔曼滤波关系3.1递推最小二乘估计从上述诸例可看出，量测值越多，只要处理得合适，最小二乘估计的均方误差就越小。采用批处理实现的最小二乘算法，需存储所有的量测值。若量测值数量十分庞大，则计算机必须具备巨大的存储容量，这显然是不经济的。递推最小二乘估计从每次获得的最小量测值中提取出被估计量信息，用于修正上一步所得的估计。获得量测的次数越多，修正的次数也越多，估计的精读也越高。下面详细介绍该算法。黑龙江工程学院本科生毕业论文Z,为第i次测量，量测方程为则前k+1次量测为式中Z.为第k+1次量测，量测方程为根据式(2-1-10),由前k次量测确定的加权最小二乘估计为-1H/w.ZX.=(H'W.B.式中令-1P.=H{W.H.则由前k+1次量测确定的加权最小二乘估计为式中黑龙江工程学院本科生毕业论文由矩阵反演公式再考察式(2-1-21)中的第一项，由式(2-1-20)式和(2-1-22)式，得所以该项为因此式(2-1-21)成__式(2-1-24)和(2-1-25)即为递推最小二乘估计的全套算法。式(2-1-25)说明，k+1时刻的估计由对k时刻的估计作修正而获得，修正量由对k+1时刻的量测的估计误差z…=ZM-HX,经增益阵加权后确定，其中P.由式_(2-1-24)确定。的正数。由于初值选取盲目，所以递推过程中，刚开始计算时，估计误差跳跃剧烈，随着量测次数的增加，初值影响逐渐消失，估计值逐渐趋于稳定而逼近估计量。最小二乘估计的最大优点是算法简单，特别是一般最小二乘估计，根本不必知道量测误差的统计信息。但正是这种优点又引起了使用上的局限性，主要体现在如下两点上：(1)最小二乘算法只能估计确定性的常值向量，而无法估计随机向量的时间过程。(2)最小二乘的最优指标只保证了量测的估计均方误差之和最小，而并未确保被估计量的估计误差达到最佳，所以估计精度不高。第4章卡尔曼滤波误差处理思想4.1连续线性系统的数学模型4.1.1连续线性系统的状态方程和观测方程为了说明动态系统的数学模型，我们首先举一个例子.卫星在空间飞行，在地球各地的卫星观测站对卫星的瞬时位置——角位置偏差进行观测，可以通过这些观测值来求定和预报卫星飞行轨道的偏差.由于卫星在飞行过程中受大气阻力的影响，要产生阻力加速度，其主要影响是改变卫星沿轨道切线方向的运动，使卫星轨道产生偏差，而不能按标称轨道运行.设在1时刻大气阻令又设角位置偏差的观测值为L(t),相应的观测噪声为△(t),则观测值L(t)与X(t)有关系因此，求定和预报卫星轨道偏差的问题，也就是由上面的方程(4-1-1)和(4-1-2)估计随时间不断变化的随机向量X(t).通常称要估计的随时间不断变化的随机向量X(t)为动态系统在t时刻的“状态”向量.严格地说，动态系统的“状态”是指全面确定动态系统运动状况的最少的一组参数.一个动态系统的状态是遵循一定的物理规律而变化的，因而不同时刻对状态所作的观测也是立相联系的，对于连观测向量L(t)与状态向量X(f)之间一般也存在某种函数关系，仍称为观测方程，也称为输出方程.如(4-1-2)式.黑龙江工程学院本科生毕业论文n维观测噪声(或输出噪声)向量.状态方程和观测方程也可以称为动态系统的函数型.通常考虑函数f、g分别是X(1)、U(t)、Ω(t)和X(t)U(t)的线性函数，并且观测噪声△(t)是一种可加噪声.此时可得到函数模型.式中)都是随时间连续变化的系数矩阵.一般称由(4-1-3)式表示的动态系统为连续线性系统.如果不考虑系统的确定性输入U(t),即当C(t)=0和G(t)=0时，(4-1-3)式可简化为(4-1-3)式和(4-1-4)式中的系数矩阵均与时间图t无关时，则变为称它们为常系数系统的函数模型.4.1.2状态方程的解状态方程(4-1-3)是线性微分方程，它的一般解等于它所对应的齐次方程的通解和非齐次方程的通解和非齐次方程的特解之和，为此，先求齐次状态方程设X(t。)为任意m阶向量(t≥t。),并设解的形式是将上两式代人(4-1-7)式，得因为X(t。)是任意向量，所以对所有的t≥t₀,仅当X(t)满足微分方程或写为即有显然，(4-1-12)式是(4-1-11)的初始条件.因此，齐次方程(4-1-7)的通解可写为式中X(t)应满足(4-1-10)和(4-1-12)两式.上式也就是(4-1-8)式.下面求(4-1-3)式的特解.设求得的特解为式中)是未知的m维向量.对上式求导得将上两式代人(4-1-3)式，有顾及(4-1-11)式，上式可化为将(4-1-17)式代入(4-1-13)式，则得(4-1-3)式特解为将(4-1-8)与(4-1-18)式合并后，可得到一般解为为●由状态转移矩阵的定义(4-1-20)式，还可得出它的两个重要性质：般连续线性系统.如果动态噪声或观测噪声是有色噪声，即不同时刻的动态噪声或观测噪声是相关的，则称这种系统为有色噪声情况下的连续线性系统·黑龙江工程学院本科生毕业论文对于(4-1-4)式表示的线性系统，将状态方程之解(4-1-22)的两边取数学期望，并考虑数学期望的运算和积分运算可以交换，则状态向量的均值函数满足以下方程上式就是在(4-1-22)式中用均值函数代替状态向量的结果状态向量的自协方差函数由下式确定所以此时，(4-1-41)式可改写为4.2离散线性系统的数学模型4.2.1离散线性系统的状态方程和观测方程如果仅在确定的瞬间t₁(i=0,1,2,…)来研究系统的性能，则把这样的系统叫做离散时间系统.一般来说，它包括两种情况：(1)系统本身就是一个离散系统，对于这种系统.只能在离散的瞬间来研究系统的状态，而在这些时刻之间，系统的状态是没有意义的.(2)本身是连续系统，但为了研究方便，仅在离散时间内研究其性能一个离散线性系统，通常是用一个具有随机初始状态，并带有动态噪声的线性差分方程和离散观测方程来描述.对于上述第二种情况，可以由相应的连续线性系统的状态方程和观测方程离黑龙江工程学院本科生毕业论文X(t)=A(t)X(t)+C(t)U(t)+F由状态方程之解(4-1-21)可得对于观测方程，设以上两式就是离散线性系统的状态方程和观测方程.对于常系数线性系统，则有4.2.2离散线性系统的随机模型完全不相关的白噪声情况下的离散线性系统具有以下随机模型：(1)动态噪声和观测噪声是零均值白噪声或高斯白噪声序列，即有改为容易证明，对于常见的白噪声情况下的离散线性系统，即具有(4-2-11)～(4-2-14)诸式的随机模型的离散线性系统，还具有性质：对于一切j≥k≥0,有对于一切j≥k≥0,若cov(X,2)=0,对于一切j≥k≥0,有有下面讨论状态向量X,(k>0)的均值和自协方差函数.由状态方程(4-2-6)可写出黑龙江工程学院本科生毕业论文且由状态转移矩阵的性质知所以若取j=0,则对于白噪声情况下的离散线性系统，因为U,(k≥0)播律可得状态向量的自协方差函数为是非随机项，故由(4-2-21)式按协方差传显然，协方差函数可表示为此外，由(4-2-6)式按协方差传播律得Dx(k+1)=φ+Dx(k)φ+LDIK4.3离散线性系统的卡尔曼滤波本节讨论由(4-2-6)、(4-2-7)式所表示的线性系统的状态估计问题，通常称为离散线性系统的卡尔曼(Kalman)滤波.离散线性系统的状态方程和观测方程为其中动态噪声和观测噪声都是零均值白噪声序列，且它们之间在任何时刻都不相关，因而将对上述模型的卡尔曼滤波，称为完全不相关的白噪声作用下的卡尔曼滤波.黑龙江工程学院本科生毕业论文于是，(4-3-1)式可写为根据广义最小二乘原理，应将随机参数瓦的先验期望看成是虚拟观测值。则可以由(4-3-6)式和(4-3-9)式写出误差方程这就是说，根据广义最小二乘原理，可以将上述动态系统的状态估计问题变换为一个最小二乘平再将它代入(4-3-11)的第二式，又可得黑龙江工程学院本科生毕业论文其法方程为其方差阵为利用矩阵反演公式可将以上二式变换为(4-3-19)D₄(l1)=D₄(1/0)+D₄(1/0)BT[BD₃(1/0)B⁷+D₂(1)]'BD₄(1/0)将上式与第一式平差时的误差方程(4-3-10)式中的第一、二式比较可知，两式的形式相同，仅相是2m个，因此，可以类似地得到上式与(4-3-14)式的形式相同，仅相应的序号增加1,因此，可类似解得黑龙江工程学院本科生毕业论文X(2/2)=[D'(2/)+B₂D'(2)B.J'[D:(2/1)x(2/1)+B₂D²(2其方差阵为由矩阵反演公式也可得到(5)依此类推，就可得到递推计算公式，即卡尔曼滤波方程.由(4-3-21)式、(4-3-22)式和(4-3式可得其形式为.J:[L-Z₄-B₂×(k/k-1)修正一步预测值由(4-3-24)、(4-3-25)式还可得卡尔曼滤波方程的另一种形式为可以看到，这种滤波递推公式与逐次平差的计算公式的形式相同.当动态方程和观测方程(4-3-1)、(4-3-2)中的非随机控制项为零，即Ux=0,Zx=0其中时，卡尔黑龙江工程学院本科生毕业论文以及2.卡尔曼滤波的特点不需要储存大量的观测数据，并且当得到新的观测数据时，可随机算得新的滤波值，便于实时处理观测成果.卡尔曼滤波还具有以下特点：4.4动态测量系统的卡尔曼滤波为说明卡尔曼滤波方法在测量中的应用，本节讨论动态测量系统卡尔曼滤波的基本模型并举例说明实用模型的建立方法.动态测量系统一般是由处于运动之中的一组地面点或空问点所构成这些点的位置可看做时间t的函数.高程监测网是一维网，点的位置是高程；平面监测网是二维网，点的位置是平面坐标；三维地面网点或卫星的位置可以是空间坐标或大地坐标(大地经纬度和大地高),为了估计动态测量系统的运动状态，通常是以点的位置和它们的运动速率为状态向量.设点i在时刻t的位置向黑龙江工程学院本科生毕业论文量为5(t),其瞬时速率为λ(t),而将瞬时加速率2,(t)看做是一种随机干扰，即视Ω,(t)为动态式中d表示网的维数，q为全网的待定点数.类似地记则(4-4-2)式可写为全网的状态方程为式中0是d阶零矩阵，E是d阶单位阵.状态方程(4-4-2)是一个微分方程.为了将其化为离散形式，需要求此微分方程的解.可以看到，当d=1时，(4-4-2)式与[例4-1-1]中的状态方程相同，因此可以按比例的结果直接写出状态方程的解为即由(4-2-4)式知所以，(4-4-2)式离散化的状态方程为黑龙江工程学院本科生毕业论文做是随机干扰，记i点的状态向量为则状态方程为以上讨论的状态方程是在假定地面上各点的动态变化彼此不相关的情况下得到的.可以说，这是一种基本的函数模型.为不同目的建立的各种动态测量系统，其动态过程都受到不