高级宏观经济学讲义

高级宏观经 月 》讲义 著 11月6日（周日在三教205 》的期中考试时间11月27日（周日）下午3：00— 》讲义 著 》讲义 著 个极限。这样(2.8)lims→∞ ∫se-R(t)[w(t)-c(t)]A(t)L(t)／H }≥ 》讲义 著 现在注意s期家庭的资本持有量为：K(s)／H,K(s)为s期全社会的资本量.现在(0期 未来(s期 》讲义 著 (Ct

未来某一时期0t

》讲义 著 K(s)／H=eR(s)[(2.9)]eR(s)K(0)／H+∫seR(s)-R(t)[w(t)-c(t)]A(t)L(t)／H ╰╮╭╯╰───╮╭───╯ 储蓄的价值t期的储蓄(它可能为负 的贡献从t期到s期 》讲义 著 为理解(2．10)，注意eR(s)K(0)／H为家庭持有 的贡献。家庭在t期的储为[w(t)c(t)]A(t)L(t)／H(它可能为负)；eR(sR(t)表明(2.9)=e-R(s)K(s)／H=e-R(s)×[(2.10)]≥ 》讲义 著 (2.9)=lims→∞e-R(s)K(s)／H≥ 》讲义 著 K(s)=•=k(s)A(0)egsL(0)e =k(s)A(0)L(0)eK(s)全社会资本k(s)每单位有效劳动K(s)／k(s)e(n+g)sA(0)L(0) 》讲义 著 由于K(s)与k(s)e(n+g)s成比把(2.11)lims→∞e-R(s)k(s)e(n+g)s≥ —— 博弈条(No-Ponzi-gamecondition 》讲义 著 (No-Ponzi-gamecondition 》讲义 著 1、家庭最大化问题的一阶 》讲义 著 U≡B∫t=0∞[

- ／(1-θ)]-1- 》讲义 著 约束条∞e-R(t)c(t)e(n+g)t≤k(0)+∫t=0∞

-

w(t)e(n+g)t

= [ - 1-∫∞e-R(t)e(n+g)tw(t)dt-∫∞e-R(t)e(n+g)tc(t)dt 》讲义 著

k(t)：状态变t：时间变 》讲义 著 L=Be-βtc(t)1-θ／(1-θ)λ[k(0)+e-R(t)e(n+g)tw(t)-e-R(t)e(n+g)tc(t)L／c=Be-βtc(t)-θ-λe-R(t)e(n+g)t= 》讲义 著 点的集合。家庭选择每一时点上的c；也就Be-βtc(t)-θ=λe-R(t)e(n+g)t 》讲义 著 lnB-βt–θlnc(t)=lnλ-R(t)+(n+ 》讲义 著 等。两边对t求导后，有-β–θ -r(t)+ 》讲义 著 其中我们用了R(t)R(t)=∫τ=tr(τ)0g(x)=∫f(x)dxg′(x) 》讲义 著 从(2.18)中求c˙(t)／c(t)， =[r(t)–n–g–β]／θ•={r(t)-n–g–[ρ-n-(1-θ)g]• [r(t)-ρ–θg] 》讲义 著 其中第二行用到了ββ≡ρ-n-(1- (2.15)中的阶为dt；也就是说，它们对该 》讲义 著 比如，我们可以认为家庭在[0，Δt]、Δt，2Δt、[2Δt，3Δt这一系列有限区间内选择于0时的极限，这也可得(2.16)。另法是应用方程(2.19c˙(t)／c(t)=r(tng称为该最大化问题的方程。 》讲义 著 2 》讲义 著 资于一个短期Δt(正规地应为无穷短期)，然后在时点t+Δt消费掉投资所得收益； 》讲义 著 t- +-ΔU +ΔU( 》讲义 著 假定在这样做t家庭是最优化的，则该变化对一生效用际影响必须为0-ΔU(c(t) =ΔU(c(t+Δt) 》讲义 著 现在(t 未来(t+Δt ΔU(c(t+Δt)e- e-β(t c(t+Δt Δc(t+Δte-[r(t)-n-g] e[r(t)-n- 》讲义 著 (1)ΔU(c(t))和ΔU(c(t+Δt))的表达由(2.14)可知c(t)ΔU(c(t))／Δc(t)=Be-βtc(t)-θ＞U与c同向变 》讲义 著 有一效用成ΔU(c(t))=Be-βtc(t)- 》讲义 著 资本持有 》讲义 著 0。ΔU(c(t))=Be-βtc(t)-ΔU(c(t+Δt))=Be-β(t+Δt)c(t+Δt)- 》讲义 著 (2)c(t+Δt)的计算的增长率增ctΔtc(t)e L˙(t)／L(t)= L(t)=L(0)e 》讲义 著 (3)Δc(t+Δt)∫∞e-R(t)c(t)e(n+g)t k(0)+∫∞e-R(t)w(t)e(n+g)t 》讲义 著 定式：R(t)= 后面经常在此变化R(t)是隐型函数，表明利率R是时间t的函 》讲义 著 e-R(t)+(n+g e-r(t)t+(n+g e-[r(t)-(n+g)] 》讲义 著 由于即 率为r(t)，所以时点上的消费可以增Δc(t+Δt)=e[r(t)-(n+g)]ΔtΔc(t) ΔU(c(t))=ΔU(c(t 》讲义 著 ΔU(c(t))=Be-βtc(t)-Be-βtc(t)-θΔc(t) Be-β(t+Δt)[c(t)e[c˙(t)／c(t)]Δt]–θe[r(t)-n- 》讲义 著 两边同除以Be–βtc(t)–θΔc(t)，得到两边取对–βΔt–θ[c˙(t)／c(t)]Δt+[r(t)–n–= 》讲义 著 最后，除以Δt并整理 方程(2.19)c˙(t)／c(t)=[r(t)–n–g– {r(t)–n–g–[ρ–n–(1–θ)g] [r(t)–ρ–θg 》讲义 著 其中第二行用到了ββ≡ρ-n-(1-θ) 等于c(t)A(t)，所以C的增长率等于c的增长 》讲义 著 C(t)= =c˙(t)／c(t)+ [r(t)– 》讲义 著 U= [ u(C(t))L(t)／H] (2 》讲义 著 率为r(tρ]／θ。因此，(2.19)表明：C˙(t)／C(t)＞C˙(t)／C(t)＜ 》讲义 著 出反应时，消费的变化率[C˙(t)／C(t)]越大。 》讲义 著 正规地说，(2.19)意味着c(t)=c(0)e[R(t)-(ρ+θg)t c(t) c(0)e[r(t)t-(ρ+θg)t] c(0)e[R(t)-(ρ+θg)t 》讲义 著 照R(t)-(n+g)t的贴现率这又意味着：e–R(t)+(n+g)tc(t)=c(0)e[R(t)–(θg+ρ)t =c(0)e[(1–θ)R(t)+(θn–ρ)t 》讲义 著 费的贴现c(0)∫ t=0∞[预算约束(2.7)可以重0c(0)∫t=∞e[0≤k(0)+

∞e–R(t)w(t)e(n+g)t 》讲义 著 直观地说， 方程描述了给c(0)的情况下，c如何随时间变动：如果下增加一生效 》讲义 著 上，费的现值等于初始加未来收入的现 》讲义 著 描述经济行为的最方便方式是依据c 》讲义 著 一、c 》讲义 著 均衡的定义之一：c˙(t) c=则：c˙(t)／c(t)= 》讲义 著 均衡的c˙(t)=

均衡的均衡的 ↓c的均衡点由c˙＞＝＜0↓什么因素的变化可以影响c˙=0 》讲义 著 c˙(t)=c(t)[r(t)–ρ–θgc(t)0时，c˙(t)r(t)–ρ–θg=即：r(t) 》讲义 著 c˙(t)／c(t)=[f′(k(t))–θg–ρ]方程(2.22)表明c(t)是k(t)的隐f′(k*θg+ρ时c˙(t)=令k*表示c˙0时k的水 》讲义 著 f′(k)等于θg+ρ为0。令k*表示c˙=0时k的水平。当k 时，f′(k)小于θg+ρ，因而c˙为负；当k小于k*时，c˙为正。 》讲义 著 ∵随着k∴k＜k*─→f′(k)＞θgc˙(t k= ─→f′(k)=θg─→c˙(t c(t)k＞k*─→f′(k)＜θg─→c˙(t0c(t) 》讲义 著 运动方向。这样，如果kk*，则c上升；如果kk*，则c下降。k=k*时的c˙0线表k=k*时c不变。 》讲义 著 c˙=

图 c的动态 》讲义 著 二、k 与在模型中一样，k˙等于实际投消费f(k)c，因此： 》讲义 著 均衡的定义之一：k˙(t) k K˙(t)／K(t)=n+———— 》讲义 著 均衡的˙k˙(t)=0or (t)=

均衡的均衡的均衡的 ↓k的均衡点由k˙＞＝＜0↓什么因素的变化可以影k˙=0 》讲义 著 c(t)=f(k)-s∴sf(k) f(k)- k˙(t) sf(k)-(n+g)k f(k)-c(t)-k˙(t)=f(k(t))-c(t)- sf(k(n+g)k时，k˙即：f(kc(t)c(t)f(k)-(n+g)k时，k˙ 》讲义 著 1、当c(t)f(k)(n+g)k时k˙0随着 》讲义 著 2c(tf(k)(n+g)kk˙0─→ 》讲义 著 dc／dk=f′(k)-随着 dc／dk=f′(k)-(n+g) 》讲义 著 (1)f′(k)(n+g)时，dc／dkck同向变(2)f′(k)(n+g)时，dc／dk= c达到最大值。此时的k水平称为黄金律的k水平，记为kGR。 》讲义 著 (3)当f′(k)(n+g)时，dc／dkc与k反向变d2c／ c(t)凹向 》讲义 著 f′(k)=n+g(黄金律资本水平)，然后随k递减。当ck˙=0时的水平时，k下降；当c低 》讲义 著 ck˙= 图 k的动态 》讲义 著 —c与k 现在表示c和k的运动方向。比如，在c˙=0线的左方和k˙=0线的上方，c˙为正，k˙为 》讲义 著 c˙=k˙=0图

ck 》讲义 著 而在c˙=0k˙=0线上，c和k中只有一个在k˙=0c˙=0线上，c不变k下降；00 》讲义 著 k=k˙=0c(00，带入c˙(t)=c(t)[f′(k(t))–θg–ρ]c˙=k˙= 》讲义 著 产量全被用于保持k不变，因此c=0f(k)=(n+g)k。由于使消费从0改变至任意正数，家c˙=k˙=0。不过，我们不久就会看到，经济永 》讲义 著 k ，k˙=0，c0k˙(t)=f(k(t))-c(t)- f(k(t))=c ,带入c˙(t) c(t)[f′(k(t))–θg–ρ]

c˙=k˙= 》讲义 著 c˙=k˙=

图 c和k的动态 》讲义 著 c˙=k˙=

图 c和k的动态 》讲义 著 图2.3中的k*(c˙=0时的k值)小于黄金律k值(与k˙=0曲线的最高点对应的k值)。为明白这一点，回忆一下：k*由f′k*θgρ定义。而黄金律k值kGRf′kGR)=(n+g由于f″(k)0，即：[f′(k)]0随着k↑f(k)f′(k)k与

》讲义 著 f′(k*)与f′(kGR)谁大,取决于θg+ρ和n+g谁ρn(1θ)g0成立，以使家 ρ–n–g+θg＞ ─→ρ+θg＞ f′(k*)＞f′(kGR

＜kGR，因此 处于k˙=0曲线最高kGR 》讲义 著 四、c图2.3所示为给定c和k 初初值是给定

》讲义

必须被确定。 小于k*。该图给出了c的初始值c(0)处于不同位置时，可能存在以下五种情况，c和k1、A 》讲义 著 c˙=Ak˙=0图

c不同的初始值下，c和k 》讲义 著 2、B 直移；随后c˙为正，k˙济又是向上、向左移 》讲义 著 c˙=A k˙=0图

c不同的初始值下，c和k 》讲义 著 3、C 如果经济开始时稍微低于k˙=0线(如点C)，k˙0线，k˙就变 》讲义 著 c˙=A k˙=C0图

c不同的初始值下，c和k 》讲义 著 4、D 最初均为正。由(2.22)可知，c˙与c成比例；如果c小，则c˙也小。因此c一直较低，从而经济最终穿过c˙0线。在穿过时的交点处，c˙变为负，而k˙ 》讲义 著 c˙=A k˙=CD 图 c不同的初始值下，c和k的动态 》讲义 著 5、Fc˙和k˙为c和k的连续函数。因此在点C和点D图中的点F——使得当c(0)处于该临界点时，经济向稳定点(thestablepoint)点E收敛。c(0)低于该临界点时点，则经济收敛于c和k都不变的那一点 》讲义 著 c˙=AEB

k˙=k图 c不同的初始值下，c和k的动态 》讲义 著 所有这些轨迹均满足方程(2.22)和 》讲义 著 c˙=AEBCFD

k˙=k图 c不同的初始值下，c和k的动态 》讲义 著 了A、B、C点。 如果经济开始时处于高于F的一点，k˙0，随着c的上升，k在不断下降，k必然最终为负，以 》讲义 著 c˙=Ek˙=FD 图 c不同的初始值下，c和k的动态 》讲义 著 ∞e-R(t)c(t)e(n+g)t

-R(t)w(t)e(n+g)t

lims→∞e–R(s)k(s)e(n+g) ≥