第20届“希望杯”全国数学邀请赛初2第2试

第2试一、选择题（以下每题的四个选项中，仅有一个是正确的，请将表示正确答案的英文字母写在每题后面的圆括号内．）1．篆刻是中国独特的传统艺术，篆刻出来的艺术品叫印章，印章的文字刻成凸状的称为“阳文”，刻成凹状的称为“阴文”．如图1的“希望”即为阳文印章在纸上盖出的效果，此印章是下列选项中的（阴影表示印章中的实体部分，白色表示印章中镂空的部分）A。B。C。D。1，那么代数式y1y的值是（2．如果xy）x1xA．0B．正数C．负数D．非负数图13．将x的整数部分记为x，的小数部分记为x，易知xxx0x1．若xx3535，那么x等于（）A．-24．某种产品B．-1丙三种元件构成．根据图2，为使生产效率最高，在表示工人分配的扇形图中，大小依次是（）C．0D．1由甲、乙、生产甲、乙、丙元件的工人的数量所对应的扇形的圆心角的数量505040302020甲乙丙种类1名工人1小时生产某种元件的数量组装一件成品需要的元件的数量A．120，180，60C．90，180，905．面积是A．20B．108，144，108D．72，216，7248的矩形的边长和对角线的长都是整数，则它的周长等于（）B．28C．36D．406．Intherectangularcoordinates，abscissaandordinateoftheintersectionpointofthelinesyxkandykx2areintegersforintegerk，thenthenumberofthepossiblevaluesofkis（）A．4B．5C．6D．7（英汉词典：abscissa横坐标，ordinate纵坐标，intersectionpoint交点，integer整数）7．将一张四边形纸片沿两组对边的中点连线剪开，得到四张小纸片，如图3所示．用这四张小纸片一定可拼成一个（）图3A．梯形B．矩形C．菱形D．平行四边形x4mx10，8．若不等式组x1m的解集是4，则（）xA．m≤9B．m≤5A42D9mD．5mC．21090，ABC60，4所示，四边形中，ABCDAC9．如图AD4，CD10，则的长等于（）BDBCA．413C．12B．83D．103图4（拟题：窦桐生吉林省磐石市明城中学132301）10．任何一个正整数n都可以写成两个正整数相乘的形式，对于两个乘数的差的绝对值最小的一种分pnpqpq)可称为正整数n的最佳分解，F(n)q解(≤并规定.如：12=112=26=34，则3F(12)．4则以下结论①F(2)1；2②F(24)3；8③若是一个nFn完全平方数，则()1；④若是一个n完全立方数，即na3（a是正整数），则F(n)1．中，正确的结论有（）aA．4个B．3个C．2个D．1个11．将一根钢筋锯成段，需要b分钟，按此速度将同样的钢筋锯成段（a，b，c都是大于1的自然ac数），需要__________________分钟．（用二、填空题a，b，c表示）12．给机器人下一个指令s，As≥0，0≤A≤180，它将完成下列动作：①先在原地向左旋转角度A；②再朝它面对的方沿向直线行现以机器人站立的位置为坐标原点，想让机器人移动到点（-5，5）处，应下指令：___________________．走s个单位长度的距离．取它面对的方为向x轴的正方，向取它的左侧为y轴的正方．向要xx1y2z3yzxyzxyz，，，则xyz=_________________或13．已知实数满足3______________．4，并且x，y满足2x3yx≥0，y≤1，则的xy_________________．15．汽车燃油价税费改革从2009年元旦起实施：取消养路费，同时0．8元．若某车一年的养路费是1440元，百千8升，在行驶里程的关系分14．已知实数年支出/元最大值是_____________，最小值是l2l1汽油消费税每升提高米耗油“费改税”前后该车的年支出与年1440别如图5中的、所示，则与l的交点的横坐标lll1122m___________．（不考虑除养路费和燃油费以外的其他费用）Om年行驶里程/千米图516．Givenf(x)ax3bx2cxd，ifwhenxtakesthevalueofitsinversenumber，thecorrespondingvalueoff(x)isalsotheinversenumber，andf(2)=0，thencdab_______________．（英汉词典：inversenumber相反数）17．8人参加象棋循环赛，规定胜1局得2分，平1局得1分，败者不得分，比赛结果是第二名的得分后4名的那么第二名得__________________分．与最得分之和相同，=2009成立，则abab118．若正整数，使等式aab2Aa____________，_____________．19．如图6所示，长为2的三条线段AA'，BB'，CC'交于O点，并且bC'S1S2B'OAC'OBA'OC60，则三个三角形的面积的和BB'OSSS_______________3．（填“”、“=”或“”）312S3A'20．已知正整数x，y满足249y2，则x_____________，Cx图6y=________________．三、解答题（每题都要写出推算过程．）21．在分母小于15的最简分数中，求不等于2但与2最接近的那个分数．5522．如图7哀兵必胜示，一次函数y3x3的图像与x轴、y轴分象限内作Rt△ABC，且y别交于点A，B，以线段为直角边在第一使ABBABC30．⑴求△ABC的面积；30°PC3Pm⑵如果在第二象限内有一点，，OAx2图7试用含m的代数式表示四边形AOPB的面积，并求当△APB与△ABC面积相等时的值；m⑶是否存在使△QAB是等腰三角形并且在坐标轴上的点Q？若存在，请写出点Q所有可能的坐标；若不存在，请说明理由．k3，4，5的直角三角形，如果点在反比例函数Cyx23．点A(4，0)，B(0，3)与点构成边长分别是C的图像上，求可能取的一切值．k答·提示一、选择题题号1答案D2345678910CABBADCAC提示1．印章在纸上盖出的效果与印章的图形成镜面对称，如图8所示，右侧的印章图形沿轴翻转180后，将与左侧的效果重合．故选D．xy1，x0，x10，xy0，2．因为所以y1yxyxxyyxy则x(x1)0，x1xx(x1)即该代数式的值是负数，选C．5123．因为3562551，22251512所以所以x21.41，222x2，选A．4．为使生产效率最高，在相同的时间内生产甲、乙、两两件的数量之比是5：4：2，而1名工人在单542位时间内生产这三种元件的数量之比是5：3：2，所以生产甲、乙、丙元件的工人数量之比是::，5324即1::1，也即1443：4：3，在扇形图中对应的扇形的圆心角依次是108，，108．故选B．35．5．设矩形的边长分别是a，b，对角线的长是，则ca2bc22ab48324，a，b都是整数，不妨设已知矩形的面积是a≤b，则a，b可能是（1，48），（2，24），（3，16），（4，12），（6，8），入ab2c2，只有当a6，b8时，分别代2是才整数10，其他情况得到的的值都不是整数．cc所以，矩形的边长分别是6，8，周长是6．译文：在直角坐标系中，对于整数k，直线yxk与ykx2的交点的横坐标、纵坐标都是整数，则k的可能值的个数是A．4B．528，选B．（）C．6D．7yxk，联立程①②解ykx2.2．将①代入②得(1)xkkk2131k0，于是有xk显然1，1k1k3或时，的值是整数，此时的值也是整数．1xy则当k，，，2时，满足条件，选A．即当4207．如图9所示，因为原四边形的内角和是360，所以通过旋转，可以将原四边形的四个顶点拼在一个点上，四张小纸片等长的边拼接在一起，恰可拼成一个新的四边形．因为原四边形的两组对边的13124中点连线互相平分（顺次连接各边中点，由中位线定理可知，所得34到的四边形是平行四边形，它的对角线互相平分），所以新四边形图9的两组对边分别相等，新四边形是一个平行四边形．故选D．8．解不等式组中的两个不等式：xmx10，得x2m5解4解1m，得xm1．x因为不等式组的解集是4，x2m5≤4，成立且其中至少有一个等号成立．所以必须是m1≤4若2m54，则m9，m9且使得1≤4成立；m22若m14，则m，m55当时，2m5≤4不成立，所以5不适合原不等式组．m9综上得，当时，原不等式组的解集是4，选C．mx29．如图10所示，延长交的延长线于．BCADEA4D在Rt△ABE中，E90ABC30，所以BE2AB．10BEAB22AB2AB2242，解得AB192．22B在Rt△AEB中，CE图10在Rt△ADB中，BDAB2AD2=19242413，选A．110．因为2=12，所以F(2)，①正确；2因为241242123846，42，②错误；F所以(24)63若n是一个完全平方数，设na2，则aF(n)1，③正确；a1若是一个完全立方数，可能不等于，n题号答案F(n)a11121314151617181920如64=488，3bc154；23F(64)1，④错52，135-3；022500-41256；75；9a1误．故选C．二、填空题提示ba111．将钢筋锯成a段，要锯a1次，锯1次所用的时间是分钟．现将钢筋锯成c段，要锯c1次，需要bc1分钟．a112．如图11所示，设点的坐标是（-5，5），连接，从PPOPy点分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M，N．因为OM5，ON5，NP5所以OPOM2ON252，且xOP135，M给机器人下的指令是因此，，．52135-5Ox5xa1y2z3yzt，则13．设1t，y12tt，z1tt3t，x6t1txyz，又xyz3t，即xyz3t，所以16tt3t，61t整理得t30，61t则t0或30即t0或t1，所以xyz0或xyz3．14．因为2x3y412所以xy4y由此式可知，当y变大，xy随之变大．155因为y最大是1，于是最大是，则xy的最大值是，4y2227此时，符合题意．2x又x≥0，2x43y，44所以当时，的值最小，的最小值是，此时，取得最小值．xyx0yyy3315．若1年养路费是1440元，那么，“费改税”后，相当于1年省出了1440元，按照1升油增加消费14400.81800（升）．若百行米耗油8升，于消费汽油相当于一年行驶了0．8元计算，就相当1800810022500（千米）所以图中l和l的交点的横坐标是．m225001216．译文：已知f(x)ax3bx2cxd，如果当取x相反数时，f(x)对应的值也是相反数，并且f(2)0，则cd______________．abx解x的相反数是，由题目的条件得axbxcxd32=-ax3bx2cxd，得到2bx22d0．分别取0和1，得到x2d0，2b2d0，bd0．解得由f(2)0，得8a2c0．4，cd4．所以caab17．因为是和都是2分，即最后4名棋手得分的和至少是12分，所以他不能全胜得14分，否则他是第一名，同样他也不能得13分，否则他的成绩是6胜1平，其循环赛，所以最后4名棋手相互之间要赛6场，不论胜负情况如何，每场比赛两人得分的第二名至少得12分．又第二名要进行7场比赛，中平局一定是与第一名对阵的结果，这样他们两个将并列第一名，不是第二名．综上可得第二名只能得12分．18．由题设等式，得abab12009a2009，①2另外，由于b≥1，可得2009aabab1abab1ab22=abab1②2由①和②，知abab1abab1200922设abk，k≥2，k也是正整数，则上式即kk119532009k(k1)2016，22所以取，则ab63a2009636222009195356，b63567．19．如图12所示，将△沿方向平移2到△的位C'OBBB'RPB'Q置，再将△沿方向平移2到△的位置，则△CA'OA'AQRAOQP恰好是一个等边三角形，且边长为2．A为C'因RSSSS，△△S2SS1△AB'O△BC'O△CA'OOQPARB'BOPB'33，2并且S24S3△OQPA'C所以SSS3．△CA'O△AB'O△BC'O图1220．因为x，y是正整数，是偶数，2x由xx49y2知y2是奇数，所以y一定是奇数，又2xy249y7y7，所以与都是2的整数次幂，y7y7令y72k，y72m，则两式相加得2y2k2m2k12，mk则y2k112mk因为y是奇数，所以只能是k10，即k1，y2k79，代入249y2得x5．x三、解答题21．设所求的最简分数是m，(m，n)1，n0mn，n15，则m25m2n，n55n因为m2，且m，n是正整数，n5所以5m2n≥1．⑴当5m2n1时，有，m25m2n1当时n5m2或5m2n1当时，n52n1．m或52n15所以mm2n1由是整数，知或2n1(n15)是5的倍数．要使m21最小，则应最大．nn55n2n1(n15)是5的倍数，知由或2n1nm5最大取13，对应的，此时m21．n565（2）当5m2n1时n15m，n因为，是正整数，所以m25m2n≥n55n1．514356521m2综上可知，的最小n51m5，n13，故5是最接近2，但分母小于15的最135值是，此时对应的65简分数．22．⑴依题意，函数y3x3的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，当时，；当时，y3，y0x1x0所以点的坐标是A(1，0)，点的坐标是（0，3），B于是ABOA2OB22．Rt△ABC中，，AB2．ABC30设ABx，则BC2x，由勾股定理，得，x2x22x2423得x2，x33所以AC23，S1ABAC23．3△23ABC3（2）点P在第二象限内，且，，则Pm2m0，S四边形AOPBSS△AOB△BOP=121313m23．21m=又SSS△APB四边形AOPB△AOP32113==1m223，12m4由△与△的面积相等，得APBABC312m23，325.6解得m⑶这样的点存在，一共有6个，分别是：(1，0)或0，3；3以为底边的等腰三角形有两个，这时点的坐标是ABQ