《指数》教案与同步练习

《4.1指数》教案

第一课时n次方根与指数幂

【教材分析】

学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了正整

数指数幂、零指数幂、负整数指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则。有了

这些知识作储备，教科书通过实际问题引入分数指数幂，说明了扩张指数范围的

必要性。

【教学目标与核心素养】

课程目标

1.理解n次方根、根式的概念与指数幂的概念．

2.掌握指数幂和根式之间的互化、化简、求值；

3.掌握指数幂的运算性质。

数学学科素养

1.数学抽象：n次方根、根式的概念与指数幂的概念；

2.逻辑推理：指数幂和根式之间的互化；

3.数学运算：利用指数幂的运算性质化简求值；

4.数学建模：通过与初中所学的知识进行类比，得出指数幂的概念，和指数

幂的性质。

【教学重难点】

重点：（1）根式概念的理解；

（2）指数幂的理解；

（3）掌握并运用指数幂的运算性质.

难点：根式、指数幂概念的理解．

[教学方法]：

以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】

一、情景引入

关于根号的故事，最有价值和意义的当属2的发现，它导致了第一次数学

危机，并促使了逻辑学和几何学的发展．

公元前五世纪，古希腊有一个数学学派，名叫毕达哥拉斯学派，毕达哥拉斯

学派提出的著名命题“万物皆数”是该学派的哲学基石．而“一切数均可表示成

整数或整数之比”则是这一学派的数学信仰．

对于这一理论，其学派中的一个成员希帕索斯考虑了一个问题：边长为1

的正方形其对角线长度是多少呢？他发现这一长度既不能用整数，也不能用分数

表示，而只能用一个新数来表示．希帕索斯的发现导致了数学史上第一个无理数

2的诞生．小小2的出现，却在当时的数学界掀起了一场巨大的风暴．史称“第

一次数学危机”．希帕索斯也因发现了根号2，撼动了学派的基石而被扔进大海．

二、新知导学

1．n次方根

一般地，如果xn＝a，那么x叫做a的__n次方根__，其中n＞1，且n

定义

∈N*

a＞0x＞0

n是奇数n

a＜0x＜0x仅有一个值，记为a

个数

a＞0n

n是偶数x有两个值，且互为相反数，记为±a

a＜0x不存在

[归纳总结](1)任何实数均有奇次方根，仅有非负数才有偶次方根，负数

没有偶次方根．

n

(2)0＝0(n＞1，且n∈N*)．

2．根式

n

(1)定义：式子__a__叫做根式，这里n叫做__根指数__，

a叫做__被开方数__.

(2)性质：(n＞1，且n∈N*)

n

①(a)n＝a.

na，n为奇数，

②an＝

|a|，n为偶数.

三、课前小测

3

1.－8等于(B)

A．2B．－2

C．±2D．－8

33

[解析]－8＝－23＝－2.

2．下列各式正确的是(A)

34

A．(a)3＝aB．(7)4＝－7

56

C．(a)5＝|a|D．a6＝a

34

[解析](a)3＝a，(7)4＝7，

56aa≥0

(a)5＝a，a6＝|a|＝，

－aa<0

故选A．

3．以下说法正确的是(C)

A．正数的n次方根是正数

B．负数的n次方根是负数

C．0的n次方根是0(其中n>1且n∈N*)

D．负数没有n次方根

[解析]对于A，正数的偶次方根中有负数，∴A错误；

对于B，负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，

∴B错误；

对于C，当n>1且n∈N*时，0的n次方根是0，

∴C正确；

对于D，n为奇数时，负数的奇次方根是负数，∴D错误．

6

4．若6－x有意义，则实数x的取值范围为__(－∞，6]__.

6

[解析]要使式子6－x有意义，应满足6－x≥0，

∴x≤6.

四、互动探究

命题方向1⇨n次方根的概念

5

典例1(1)16的平方根为__±4__，－27的5次方根为__－27__；

7

(2)已知x7＝6，则x＝__6__；

4

(3)若x－2有意义，则实数x的取值范围是__[2，＋∞)__.

[思路分析]解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n

次方根的个数要求．

5

[解析](1)∵(±4)2＝16，∴16的平方根为±4.－27的5次方根为－27.

7

(2)∵x7＝6，∴x＝6.

4

(3)要使x－2有意义，则需x－2≥0,即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，

＋∞)．

『规律方法』(1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个

且互为相反数；

n

(2)(a)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性

决定．

〔跟踪练习1〕

计算下列各值：

(1)27的立方根是__3__；

(2)256的4次算术方根是__4__；

(3)32的5次方根是__2__.

[解析](1)∵33＝27，

∴27的立方根是3.

(2)∵(±4)4＝256，

∴256的4次算术方根为4.

(3)∵25＝32，

∴32的5次方根为2.

命题方向2⇨利用根式的性质化简或求值

典例2计算下列各式的值：

5

(1)－25；

6

(2)π－46；

4

(3)x＋24；

7

(4)x－77.

[思路分析]由题目可获得以下主要信息：

n

①所给形式均为an的形式；

n

②an形式中n分为奇数和偶数两种．

解答本题可依据根式的性质

n|a|n为大于1的偶数

an＝，完成化简．

an为大于1的奇数

5

[解析](1)－25＝－2.

66

(2)π－46＝4－π6＝4－π.

4x＋2x≥－2

(3)x＋24＝|x＋2|＝.

－x－2x<－2

7

(4)x－77＝x－7.

『规律方法』1.根式化简或求值的注意点

解决根式的化简或求值问题，首先要分清根式为奇次根式还是偶次根式，然

后运用根式的性质进行化简或求值．

nn

2．对an与(a)n的进一步认识

nn

(1)对(a)n的理解：当n为大于1的奇数时，(a)n对任意a∈R都有意义，

nnn

且(a)n＝a，当n为大于1的偶数时，(a)n只有当a≥0时才有意义，且(a)n

＝a(a≥0)．

nn

(2)对an的理解：对任意a∈R都有意义，且当n为奇数时，an＝a；当n

naa≥0

为偶数时，an＝|a|＝.

－aa＜0

(3)对于根式的运算还要注意变式，整体代换，以及平方差、立方差和完全

平方、完全立方公式的运用，做到化繁为简，必要时进行讨论．

〔跟踪练习2〕

(1)计算下列各式：

5

①－a5＝__－a__；

6

②3－π6＝__π－3__；

13331

③6－3－0.125＝____.

482

(2)化简下列各式：

4

①x－24；

5

②x－π5.

5

[解析](1)①－a5＝－a.

66

②3－π6＝π－36＝π－3.

1333

③6－3－0.125

48

53331

＝2－3－3

222

5311

＝－－＝.

2222

4x－2x≥2

(2)①x－24＝|x－2|＝.

－x＋2x<2

5

②x－π5＝x－π.

命题方向3有限制条件的根式化简

典例3若代数式2x－1＋2－x有意义，化简4x2－4x＋1＋

4

2x－24.

[思路分析]先借助代数式有意义确定出x的取值范围，再进行根式的化简．

2x－1≥0

[解析]由2x－1＋2－x有意义，得，

2－x≥0

44

故4x2－4x＋1＋2x－24＝2x－12＋2x－24

＝|2x－1|＋2|x－2|＝2x－1＋2(2－x)＝3.

『规律方法』有限制条件的根式化简的步骤

〔跟踪练习3〕

化简下列各式：

(1)x2－2x＋1－x2＋6x＋9(－3<x<3)；

3

(2)(a－1)2＋1－2a＋a2＋1－a3.

[解析](1)原式＝x－12－x＋32＝|x－1|－|x＋3|.

∵－3<x<3，∴当－3<x<1时，原式＝－(x－1)－(x＋3)＝－2x－2；

当1≤x<3时，原式＝(x－1)－(x＋3)＝－4.

－2x－2－3<x<1

∴原式＝.

－41≤x<3

(2)由a－1知a－1≥0，

∴原式＝a－1＋a－12＋1－a＝a－1.

n

没有正确理解an＝a成立的条件

典例4已知a，b∈R，下列各式总能成立的有__②__.

66n44

①(a－b)6＝a－b；②a2＋b2n＝a2＋b2；③a4－b4＝a－b；④

10

a＋b10＝a＋b.

[错解]②③④

由题意，得①显然不成立，②③④都成立．

n

[错因分析]该解法中忽略了an＝a成立的条件是只有当n为奇数，或者

当n为偶数且a>0时才成立．

n

[思路分析]要解决此类化简、求值题，关键是正确理解an＝a成立的条

件．

[正解]①显然不对，②中∵a2＋b2≥0，②一定成立；③和④中，∵a，b

4410

∈R，∴a4＝|a|，b4＝|b|，a＋b10＝|a＋b|，因此③④都错．

配方法与平方法的应用

具备二次三项式形式的数学表达式，常采用配方法探求解题思路；含根号的

数学表达式，常用平方法求解，平方前注意考虑表达式的符号．

典例5计算5－26＋5＋26.

[分析]注意a＋2b的配方或整体考虑运用方程思想．

[解析]解法一：原式＝2－32＋2＋32＝3－2＋3

＋2＝23.

解法二：设x＝5－26＋5＋26，则x>0.

平方得x2＝(5－26)＋(5＋26)＋25＋265－26，即x2＝12，

∵x>0，∴x＝23.∴原式＝23.

『规律方法』对形如a±2b的复合根式，在有些情况下是可能得到化

简的，但并非所有的这种类型都能化简，只要掌握其中较简单的基本类型即可．

将复合根式先化为a±2b(a>0，b>0)的形式．若有x＋x＝a，x·x＝b，

1212

其中x>0，x>0，x>x，则复合根式可写为

1212

x2±2x·x＋x2＝x±x2＝x±x，

11221212

也即若方程x2－ax＋b＝0有两个正的有理根，则复合根式a±2b可化简．

五、课堂作业

1．下列运算中计算结果正确的是(D)

A．a4·a3＝a12B．a6÷a3＝a2

C．(a3)2＝a5D．a3·b3＝(a·b)3

[解析]a4·a3＝a7，故A错；a6÷a3＝a3，故B错；(a3)2＝a6，故C错；a3·a3

＝a6，故D正确．

2．下列式子中正确的是(C)

634

A．－32＝－3B．a4＝a

63

C．22＝2D．a0＝1

663

[解析]－32＝32＝3，

4

a4＝|a|，a0＝1(a≠0)，

故A、B、D错误，选C．

4

3．若2＜a＜3，化简2－a2＋3－a4的结果是(C)

A．5－2aB．2a－5

C．1D．－1

[解析]由于2＜a＜3，所以2－a＜0,3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1，

故选C．

444

4．求值：－4＝____.

33

44444

[解析]－4＝4＝.

333

《第一课时n次方根与指数幂》同步练习

A级基础巩固

一、选择题

1．已知x5＝6，则x等于(B)

5

A．6B．6

55

C．－6D．±6

5

[解析]x为6的5次方根，所以x＝6.

5

2.a－b2＋a－b5的值是(C)

A．0B．2(a－b)

C．0或2(a－b)D．a－b

[解析]当a≥b时，原式＝a－b＋a－b＝2(a－b)，

当a<b时，原式＝b－a＋a－b＝0，故选C．

3．已知m10＝2，则m等于(D)

1010

A．2B．－2

10

C．210D．±2

[解析]∵m10＝2，∴m是2的10次方根．又∵10是偶数，∴2的10次方

10

根有两个，且互为相反数，∴m＝±2，故选D．

38

4.－的值是(B)

125

22

A．B．－

55

23

C．±D．－

55

38322

[解析]－＝－3＝－，故选B．

12555

3

5．化简x＋32－x－33得(C)

A．6B．2x

C．6或－2xD．－2x或6或2

6x≥－3

[解析]原式＝|x＋3|－(x－3)＝.

－2xx<－3

6．化简4－23－4＋23＝(D)

A．23B．2

C．－23D．－2

[解析]4－23＝3－23＋1＝3－12＝3－1，同理4＋23

＝3＋1，

∴4－23－4＋23＝－2，故选D．

二、填空题

7.2－π2＝__π－2__.

[解析]2－π2＝|2－π|＝π－2.

1

aaa

8．把－a根号外的移到根号内等于＝__－－__.

1

a

[解析]由题意，得－a>0，∴<0.

11

aa

∴－a＝－(－)－a

1

a2a

＝－－·－a＝－－.

三、解答题

9．化简下列各式．

43

(1)(7)4；(2)(－15)3；

54

(3)－125；(4)－104；

411

(5)2a－b4；(6)－.

2＋12－1

4

[解析](1)(7)4＝7.

3

(2)(－15)3＝－15.

5

(3)－125＝－12.

4

(4)－104＝|－10|＝10.

42a－b2a≥b

(5)2a－b4＝|2a－b|＝.

b－2a2a＜b

112－12＋1

(6)－＝－＝－2.

2＋12－12－12－1

B级素养提升

一、选择题

3

1．若x2为一个正数，则(C)

A．x≥0B．x>0

C．x≠0D．x<0

3

[解析]当x≠0时，x2>0，∴x2是一个正数，故选C．

－x3

2．化简x的结果是(A)

A．－－xB．x

C．－xD．－x

[解析]∵－x3有意义，∴x<0，

－x3－x3x3

∴＝＝－－＝－－x.

x－x2x2

2

3．化简(－b)2的结果是(A)

A．－bB．b

1

b

C．±D．b

[解析]由题意知，－b≥0，

2

∴(－b)2＝－b.

4．当2－x有意义时，化简x2－4x＋4－x2－6x＋9的结果是(C)

A．2x－5B．－2x－1

C．－1D．5－2x

[解析]∵2－x有意义，∴2－x≥0，即x≤2，所以原式＝x－22－

x－32＝(2－x)－(3－x)＝－1.

二、填空题

5.7－210＝__5－2__.

[解析]7－210＝5－22＝5－2.

5

6．函数f(x)＝x－12＋x＋15的值域为__[2，＋∞)__.

2x<1

[解析]f(x)＝|x－1|＋x＋1＝.

2xx≥1

当x≥1时，f(x)≥2，当x<1时，f(x)＝2，

∴f(x)的值域为[2，＋∞)．

三、解答题

a－b

7．已知a、b是方程x2－6x＋4＝0的两根，且a>b>0，求的值．

a＋b

[解析]∵a、b是方程x2－6x＋4＝0的两根，

a＋b＝6

∴，

ab＝4

a－ba＋b－2ab6－2421

∵a>b，()2＝＝＝＝.

a＋ba＋b＋2ab6＋24105

a－b15

∴＝＝.

a＋b55

8．已知4a＋12＝－4a－1，求实数a的取值范围．

[解析]∵4a＋12＝|4a＋1|＝－4a－1，

1

∴4a＋1≤0，∴a≤－.

4

1

∴a的取值范围是(－∞，－]．

4

2x－xy

9．若x>0，y>0，且x－xy－2y＝0，求的值．

y＋2xy

[解析]∵x－xy－2y＝0，x>0，y>0，

∴(x)2－xy－2(y)2＝0，

∴(x＋y)(x－2y)＝0，

由x>0，y>0得x＋y>0，

∴x－2y＝0，∴x＝4y，

2x－xy8y－2y6

∴＝＝.

y＋2xyy＋4y5

《第二课时分数指数幂及其运算性质》教案

【教材分析】

学生在初中学习了数的开平方、开立方以及二次根式的概念，又学习了分数

指数幂的概念，以及整数指数幂的运算法则.有了这些知识作储备，教科书通过

实际问题引入无理数指数幂，说明了扩张指数范围的必要性.

【教学目标与核心素养】

课程目标

1.理解分数指数幂的概念;

2.掌握实数指数幂和根式之间的互化、化简、求值；

3.掌握实数指数幂的运算性质；

4.能利用已知条件求值.

数学学科素养

1.数学抽象：分数指数幂的概念；

2.逻辑推理：实数指数幂和根式之间的互化；

3.数学运算：利用实数指数幂的运算性质化简求值；

4.数据分析：分析已知条件与所求式子之间的联系；

5.数学建模：通过与分数指数幂性质进行类比，得出分数指数幂的概念和性

质。

【教学重难点】

重点：①掌握并运用实数指数幂的运算性质；②能利用已知条件求值．

难点：能利用已知条件求值．

【教学方法】：以学生为主体，采用类比发现，诱思探究式教学，精讲多练。

【教学过程】

一、情景引入

牛顿是大家所熟悉的物理学家，你知道他在数学上的贡献吗？他在1676年

6月13日写给莱布尼茨的信里面说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa等写成a2，

13111

a3a4aa3aaa

，等，所以可将，，…写成2，2，…；将a，aa，aaa，…写成

－1，a－2，a－3，…”正是由于牛顿的这一发现，才使得正整数指数幂推广到了任

意实数指数幂．本节我们就一起来探究一下指数幂的扩充过程．

二、新知导学

1．分数指数幂的意义

正分数

mn

规定：a＝__am__(a>0，m，n∈N*，且n>1)

指数幂n

分

m

数11

a－

负分数规定：n＝m＝____

指n

anam

指数幂

数

(a>0，m，n∈N*，且n>1)

幂

0的分数0的正分数指数幂等于__0__，

指数幂0的负分数指数幂__不存在__

2.有理数指数幂的运算性质

(1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)．

(2)(ar)s＝__ars__(a>0，r，s∈Q)．

(3)(ab)r＝__arbr__(a>0，b>0，r∈Q)．

[知识点拨](1)分数指数幂的运算的其他性质．

①ar÷as＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；

aar

②()r＝(a>0，b>0，r∈Q)．

bbr

(2)指数幂的几个常见结论．

①当a>0时，ab>0；

②当a≠0时，a0＝1；而当a＝0时，a0无意义；

③若ar＝as(a≠0且a≠1)，则r＝s；

④乘法公式仍适用于分数指数幂，如：

111111

(a2＋b2)(a2－b2)＝(a2)2－(b2)2＝a－b(a>0，b>0)．

三、课前自测

3

1．4－2可化为(C)

4

A．8B．23

13

C．D．2

84

31111

[解析]4－2＝＝＝＝.

33238

42222

2．若a>0，n，m为实数，则下列各式中正确的是(D)

m

A．am÷an＝anB．an·am＝am·n

C．(an)m＝am＋nD．1÷an＝a0－n

[解析]由指数幂的运算法则知1÷an＝a0÷an＝a0－n正确，故选D．

1

3．化简[(－3)2]－2的结果是(C)

3

A．－B．3

3

3

C．D．－3

3

11113

[解析][(－3)2]－2＝32＝＝＝.

133

32

4．把根式aa化成分数指数幂是(D)

33

A．(－a)2B．－(－a)2

33

C．－a2D．a2

13

[解析]aa＝a·a2＝a2，故选D．

5．求值：

36

(1)23×1.5×12；

1

－401

(2)2－2＋＋－1－50.

22－1

1311

[解析](1)原式＝2×3×()×(22×3)

2236

11111

＝2×32×33×2－3×23×36

11111

＝21－3＋3×32＋3＋6＝21×31＝6.

112＋1

(2)原式＝＋＋－1

122－12＋1

22

11

＝＋＋2＋1－1

22

22

＝＋＋2＝22.

22

四、互动探究

命题方向1根式与分数指数幂的互化

典例1用分数指数幂表示下列各式：

3

(1)a3·a2；

b3a2

(2)·(a>0，b>0)；

ab6

3

(3)a－4b2ab2(a>0，b>0)．

[思路分析](1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂

的形式．(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．

32211

[解析](1)a3·a2＝a3·a3＝a3＋3＝a3.

11

b3a2

(2)∵a>0，b>0，∴·＝a－1b32·a2b－62＝

ab6

131313113

a－2b2·ab－3＝a2b－2＝(a2b－2)2＝a4b－4.

31211811

(3)∵a>0，b>0，∴a－4b2ab2＝a－4b2a3b3＝a－3·b3＝(a－3

81114

b3)2＝a－6b3.

mn

『规律方法』进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式an＝am

(a>0，m、n∈N)，同时应注意以下几点：

＋

(1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化

为根式；

(2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐

次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简．

〔跟踪练习1〕

21

(1)5－11化为根式形式为____；

11

25

421

(2)b－3(b>0)化为分数指数幂的形式为__b－6__；

13

(3)(x≠0)化为分数指数幂的形式为__x－5__.

3

5

xx22

111

[解析](1)原式＝＝＝.

21111

5115225

21211

(2)原式＝(b－3)4＝b－3×4＝b－6.

111115

(3)原式＝＝＝＝＝＝x－3.

333915

249x53x3

x·x52x·x5x5

命题方向2利用分数指数幂的运算性质化简求值

31116

典例2(1)计算：(2)0＋2－2·(2)－－(0.01)0.5＝____；

54215

3

7333

(2)化简：a2a－3÷a－8a15÷a－3a－1.

[思路分析]将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计

算．

141111116

[解析](1)原式＝1＋×()－()＝1＋－＝.

492100261015

372815321

(2)原式＝a2a－3÷a－3a3÷a－3a－2

373

＝a2÷a3÷a－2

2711

＝a3÷(a3)2÷(a－2)3

272

＝a3÷a6÷a－3

272121

＝a3－6÷a－3＝a－2＋3＝a6.

『规律方法』1.幂的运算的常规方法

(1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数；

(2)化根式为分数指数幂；

(3)化小数为分数．

2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求

利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的

形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同

时含有分母和负指数．

〔跟踪练习2〕

化简：

41

a3－8a3b3b3

÷(1－2)×a.

232a

4b3＋2ab＋a3

111

a3a－8ba3－2·b31

[解析]原式＝÷·a

211213

4b3＋2a3b3＋a3a3

1112112

a3a3－2b3a3＋2a3b3＋4b3

＝·

2112

4b3＋2a3b3＋a3

1

a31111

·a＝a·a·a＝a.

113333

a3－2b3

命题方向3指数幂运算中的条件求值

11

典例3已知a2＋a－2＝3，求下列各式的值．

33

a2－a－2

(1)a＋a－1；(2)a2＋a－2；(3).

11

a2－a－2

[思路分析]利用完全平方差公式求(1)(2)，利用立方差公式求(3)．

11

[解析](1)将a2＋a－2＝3两边平方，得a＋a－1＋2＝9，即a＋a－1＝7.

(2)将a＋a－1＝7两边平方，有a2＋a－2＋2＝49，∴a2＋a－2＝47.

33

3311a2－a－2

(3)由于a－a－＝(a)3－(a－)3，所以有

222211

a2－a－2

1111

a2－a－2a＋a－1＋a2·a－2

＝＝a＋a－1＋1＝7＋1＝8.

11

a2－a－2

『规律方法』(1)条件求值是代数式求值中的常见题型，一般要结合已知

条件先化简再求值，另外要特别注意条件的应用，如条件中的隐含条件，整体代

33

入等，可以简化解题过程．本题若通过a2－a－2＝3解出a的值代入求值，则

非常复杂．

(2)解决此类问题的一般步骤是

〔跟踪练习3〕

11

x2－y2

已知x＋y＝12，xy＝9，且x<y，求的值．

11

x2＋y2

11

x2－y2

[解析]∵

11

x2＋y2

11

x2－y22

＝

1111

x2＋y2x2－y2

1

x＋y－2xy2

＝，①

x－y

又∵x＋y＝12，xy＝9，②

∴(x－y)2＝(x＋y)2－4xy

＝122－4×9＝108.

∵x<y，∴x－y＝－63③，

将②③式代入①式得

111

x2－y212－2×92

＝

11－63

x2＋y2

3

＝－.

3

因忽视指数幂运算性质成立的条件而致误

11

典例4求值：[(－4)3]3＋[(－3)4]4.

11

[错解]原式＝(－4)3×3＋(－3)4×4＝(－4)＋(－3)＝－7.

[错因分析]本题的错解忽视了运算律(am)n＝amn中a>0这一约束条件．

11111

[正解][(－4)3]3＋[(－3)4]4＝(－43)3＋(34)4＝－(43)3＋(34)

1

4＝－4＋3＝－1.

[警示]1.对于指数幂的运算性质(am)n＝amn，要明确a，m，n的取值范围分

别为a>0，m∈R，n∈R；

2．遇到此类问题先要弄清a的正负，若a为负，则先将负号提出或去掉再

利用运算律处理．

数学运算能力

数学运算是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的过

程．主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算方向，选择运算方法，

设计运算程序，求得运算结果等．

数学运算是数学活动的基本形式，也是演绎推理的一种形式，是得到数学结

果的重要手段．数学运算是计算机解决问题的基础．

在数学运算核心素养的形成过程中，学生能够进一步发展数学运算能力；能

有效借助运算方法解决实际问题；能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化

思考问题的习惯；形成一丝不苟、严谨求实的科学精神．

数的计算能力(简便计算方法)、代数式的化简求解能力、方程不等式的求解

能力、数学公式、运算法则的应用能力等都是重要的运算能力．

1111

x3－x－3x3＋x－3

典例5函数f(x)＝，g(x)＝.

55

1

(1)求证：f(x)在(0，＋∞)上是增函数(已知y＝x3在R上是增函数)；

(2)分别计算f(4)－5f(2)g(2)和f(9)－5f(3)g(3)的值，由此概括出涉及函

数f(x)和g(x)对所有不等于零的实数x都成立的一个等式，并加以证明．

111

[解析](1)证明：设x>x>0，∵y＝x3在R上是增函数，∴x3>x3.

1212

11111111

又∵(xx)－3>0，∴f(x)－f(x)＝(x3－x－3－x3＋x－3)＝(x3－

12125112251

11

x3)[1＋(xx)－3]>0.

212

∴f(x)在(0，＋∞)上是增函数．

(2)经计算知f(4)－5f(2)g(2)＝0，f(9)－5f(3)·g(3)＝0，由此猜想：f(x2)

－5f(x)g(x)＝0.

证明如下：

122111111

f(x2)－5f(x)g(x)＝(x－x－)－(x＋x－)·(x－x－)＝

533533335

22122

(x－x－)－(x－x－)＝0.

33533

五、课堂达标

2

1．将33化为根式为(C)

A．2B．3

3

C．9D．9

233

[解析]33＝32＝9.

2．下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是(C)

A．x2＝x

61

B．y2＝y3

x5y

－5xy

C．(y)2＝x(、≠0)

1

D．x－＝－x

2

61

[解析]x2＝|x|，y2＝|y|3，

x5y5y

－5xy

(y)2＝(x)2＝x(、≠0)，

111

x－2＝＝，故只有C正确．

1x

x2

25

3．计算(2a－3b－3)·(－3a－1b)÷(4a－4b－3)得(A)

33

A．－b2B．b2

22

3737

C．－bD．b

2323

1

－6a－4b33

[解析]原式＝＝－b2.

52

4a－4b－3

111

4．化简a2a2a的结果等于__a2__.

11111

[解析]由条件知a≥0，则a2a2a＝a2a2＋2＝

1111

a2a＝a2·a2＝a＝a2.

5．化简下列各式(式中字母都是正数)

36

(1)2a÷4a·b×3b3；

3

733

(2)a2·a－3÷a－8·a15.

1113

[解析](1)原式＝2a3÷(4a6b6)×(3b2)

11113314

＝a－b－·3b＝ab.

23662263

73181

(2)原式＝(a·a－)÷(a－·a5)

22332

171271

＝(a2)3÷(a3)2＝a3÷a6＝a－2.

《第二课时分数指数幂及其运算性质》同步练习

A级基础巩固

一、选择题

1．下列各式既符合分数指数幂的定义，值又相等的是(C)

121

A．(－1)3和(－1)6B．0－2或02

1131

C．2和4D．4－和()－3

2422

12

[解析]选项A中，(－1)3和(－1)6均符合分数指数幂的定义，但(－

1326

1)3＝－1＝－1，(－1)6＝－12＝1，故A不满足题意；选项B中，0

31

的负分数指数幂没有意义，故B不满足题意；选项D中，4－和(