2023年重庆一中高2023级高三下期第一次月考理科数学

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2023年重庆一中高2023级高三下期第一次月考

数学试题（理科）2023.3

特别提醒：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

一．选择题（本大题共10小题，每题5分，共50分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的）

z?2i（1）已知复数

1?i（i是虚数单位），则复数z的虚部为（）

（A）i（B）1（C）?i（D）?1

（2）已知条件p：?是两条直线的夹角，条件q：?是第一象限的角。则“条件p〞是“条件q〞的（）

（A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件

（C）充要条件（D）既不充分也不必要条件（3）（原创）以下茎叶图记录了甲、乙两组各6名

学生在一次数学测试中的成绩（单位：分）。已知甲组乙组甲组数据的众数为124，乙组数据的平均数即为甲291166xyxy8的值分别为（）4125组数据的中位数，则、74134（A）4、5（B）5、4（C）4、4（D）5、5

（4）（原创）已知实数x,y满足x?4y?1，则xy的值域为（）

?1?（A）??0,1??16??（B）???116,1?16???（C）????,16???（D）????,1?8??

（5）某几何体的三视图如右图所示，则它的表面积为（）（A）45?（B）54?（C）63?（D）69?

（6）已知一个周边体的一条棱长为6，其余棱长均为2，则这个周边体的体积为（）

4（A）1（B）3（C）22（D）3

（7）已知函数

f?x??x3?3x?c的图像与x轴恰好有三个不同的公共点，则实数c的取值

范围是（）（A）

??1,1?（B）??1,1?（C）??2,2?（D）??2,2?

（8）执行如右图所示的程序框图，则输出的s的值等于（）（A）13（B）15（C）36（D）49

3?sin700?tan80?4cos10??2?cos2100?（9）（）

00（A）3（B）2（C）23（D）4

（10）（原创）已知D,E,F分别是?ABC的三边BC,CA,AB上的点，

AF?且

满

足

2AB3AE?，

3AC4，

??ABACAD????????R??|AB|cosB|AC|cosC?，

DE?DA?DE?DC，

?BDsinBADcosB?DF????????R?|AD|??|BD|。则|EF|:|BC|?（）

3211（A）3（B）2（C）3（D）2

二．填空题（本大题共6小题，考生作答5小题，每题5分，共25分，把答案写在答题卡相应位置上）（11）正项等比数列（12）已知集合

?an?中，a12a13?9，则log9a1?log9a2?A??x?R|x2?2x?3?0?，集合

?log9a24?。

，则集合

B??x?R||x|?2?AB?。

（13）（原创）小钟和小薛相约周末去爬尖刀山，他们约定周日早上8点至9点之间（假定他们在这一时间段内任一时刻等可能的到达）在华岩寺正大门前集中前往，则他们中先到者等待的时间不超过15分钟的概率是（用数字作答）。特别提醒：（14）、（15）、（16）三题为选做题，请从中任选两题作答，若三题全做，则按前两题给分。

（14）（原创）如图，在?ABC中，AB?3，BC?4，CA?5，D是BC的中点，BE?AC于E，BE的延长线交?DEC的外接圆于

F，则EF的长为。

（15）在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴非负半轴为极轴建立

极坐标系。已知点

P??1,0???6cos??6sin??，若极坐标方程为

9?的曲线与直线

?x??1?4t??y??3t（t为参数）相交于A、B两点，则|PA|?|PB|?。

（16）若关于实数x的不等式|1?5x|?|1?3x|?a|x|无解，则实数a的取值范围是。

三．解答题（本大题共6小题，共75分，解允许写出文字说明，证明过程和演算步骤）（17）（本小题总分值13分，⑴小问6分，⑵小问7分）设

f?x??ex?ax2?7x?13?，其中

a?R，曲线y?f?x?在点?1,f?1??处的切线与直线l：2ex?y?e?0平行。⑴确定a的

值；⑵求函数

f?x?的单调区间。

（18）（本小题总分值13分，⑴小问5分，⑵小问8分）（原创）小张有4张VCD光盘和3张DVD光盘，小王有2张VCD光盘和1张DVD光盘，所有10张光盘都各不一致。现小张和小王各拿一张光盘相互交换，求：⑴小张恰有4张VCD光盘的概率；⑵小张的DVD光盘张数X的分布列与期望。

（19）（本小题总分值13分，⑴小问5分，⑵小问8分）（原创）如图，在周边体A?BCD中，

AD?平面BCD，BC?CD，CD?2，AD?4。M是AD的中点，P是BM的中点，

点Q在线段AC上，且AQ?3QC。⑴证明:PQ//平面BCD；⑵若异面直线PQ与CD所

0成的角为45，二面角C?BM?D的大小为?，求cos?的值。

AMPBQCD

（20）（本小题总分值12分，⑴小问5分，⑵小问7分）（原创）在?ABC中，内角A、B、

C的对边分别是a、b、c，且bsinB?asinA?c?3asinC。⑴求角B的大小；⑵

设

??b2?4bcos?A?C??4?0，求?ABC的面积S。

（21）（本小题总分值12分，⑴小问5分，⑵小问7分）（原创）如下图，椭圆?：

x2y2?2?1?a?b?0?2F,FF,Fab的左右焦点分别为12，椭圆?上的点到12的距离之差的最

2Fe4x?8x?3?0的根。大值为2，且其离心率是方程⑴求椭圆?的方程；⑵过左焦点1的

|AB|222x?y?aA,Bl?直线与椭圆相交于两点，与圆相交于C,D两点，求|CD|的最小值，

以及取得最小值时直线l的方程。

（22）（本小题总分值12分，⑴小问3分，⑵小问4分，⑶小问5分）（原创）在数列

?an?中，

已知

a1?1，a2?3，其前n项和Sn满足aSn?n?a1?an??n?N??a,a,a2。⑴求345的值；

aaan??2n?1?n?12⑵求n的表达式；⑶对于任意的正整数n?2，求证：12

。

yDBF1CAOF2x

2023年重庆一中高2023级高三下期第一次月考数学答案（理科）2023.3一．选择题：BDACBACDCD

714?x|?1?x?2?；13．16；14．15；15．2；16．???,8?

二．填空题：11．12；12．

17．解：⑴由题故

2f??x??ex?ax2?7x?13??ex?2ax?7??ex?ax??2a?7?x?6???，

f??1??e?3a?1?。因直线l的斜率为2e，故

e?3a?1??2e，由

，从而a?1；

得x?2或x?3，由

⑵

f??x??ex?x2?5x?6??ex?x?2??x?3?f??x??0f??x??0f?x????,2?和?3,???，单减区间为?2,3?。

得2?x?3。故的单增区间为

18．解：⑴记事件A为“小张和小王各拿一张VCD光盘交换〞，事件B为“小张和小

王各拿一张DCD光盘交换〞，则A,B互斥，且

P?A??4?28?7?321，

X234P?B??3?13?7?321，故所求概率为

PP?AB??P?A??P?B??1121；

P?X?2??112217421⑵X所有可能取值为2,3,4，且

3?224?2?3?111?P?X?3???7?37，7?321，

P?X?4??4?14?7?321。故X的分布列如右表，X的

A211461EX?2??3??4??7212121。期望

19．法一：⑴如图，连AP并延长交BD于E，连

NRBFPQECMCE，过M作MN//BD交AP于N，则AN?NE，NP?PE。故AP?3PE，从而PQ//CE。因PQ?D

平面BCD，CE?平面BCD，故PQ//平面BCD；

⑵过C作CF?BD于F，作CR?BM于R，连FR。因AD?平面BCD，故平面ABD?平面BCD，故CF?平面ABD，因此CF?BM，从而BM?平面RCF，所以?CRF??0即为二面角C?BM?D的平面角。因PQ//CE，故?DCE?45，因此CE即为?BCD的角平分线。由⑴易知DE?2MN?2EB，故DC?2BC，从而BC?1，

CF?1?212?22?25。由题易知BC?平面ACD，

zA故

BC?CM。由题CM?22，故

MCR?31?2222CF?sin???3。所以1?810，从CR110?10。10PyQBCDxcos??而

法二：如图建立空间直角坐标系，则

C?0,0,0?，

D?2,0,0?，

A?2,0,4?，

M?2,0,2?，

Q?12,0,1?⑴设

。，则

B?0,y,0?P?1,y2,1?，因此

QP??12,y2,0?。显然

DA??0,0,4?是平面BCD的一个法向量，且QP?DA?0，所以PQ//平面BCD；

QP?CD1y2cos450?|QP|??|QP||CD|得y?1，44，|CD|?2，故由⑵由⑴QP?CD?1，

因此

B?0,1,0?，从而

BD??2,?1,0?BM??2,?1,2?，

。设

m??x1,y1,z1?是平面