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第六节

直接证明和间接证明

[知识能否忆起]

一、直接证明内容综合法分析法从要证明的结论出发，逐步寻求使它成利用已知条件和某些数学定义、公理、定义定理等，经过一系列的推理论证，最终推导出所要证明的结论成立立的充分条件，直到最终，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止．实质框图表示文字语言由因导果(顺推证法)P?Q1Q1?Q2?Qn?Q由于?所以?或由?得?执果索因Q?P1P1?P2?得到一个明显成立的条件要证?只需证?即证?二、间接证明反证法：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最终得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明白原命题成立，这样的证明方法叫反证法．

[小题能否全取]

1．(教材习题改编)用反证法证明命题“三角形三个内角至少有一个不大于60°〞时，应假设()

A．三个内角都不大于60°B．三个内角都大于60°C．三个内角至多有一个大于60°D．三个内角至多有两个大于60°

解析：选B假设为“三个内角都大于60°〞．

2．设a＝lg2＋lg5，b＝ex(x＜0)，则a与b大小关系为()A．a＞bC．a＝b

B．a＜b

D．a≤b

.,中小学直线提分，就选福州五佳教育

解析：选Aa＝lg2＋lg5＝lg10＝1，b＝ex＜1，则a＞b.

3．命题“对于任意角θ，cos4θ－sin4θ＝cos2θ〞的证明：“cos4θ－sin4θ＝(cos2θ－sin2θ)(cos2θ＋sin2θ)＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ〞过程应用了()

A．分析法

B．综合法D．间接证明法

C．综合法、分析法综合使用

解析：选B由于证明过程是“从左往右〞，即由条件?结论．

334．用反证法证明命题“假使a＞b，那么a＞b〞时，假设的内容是________．3333解析：“假使a>b，那么a>b〞若用反证法证明，其假设为a≤b.33答案：a≤b

5．假使aa＋bb＞ab＋ba，则a、b应满足的条件是________．

解析：∵aa＋bb＞ab＋ba?(a－b)2(a＋b)＞0?a≥0，b≥0且a≠b.答案：a≥0，b≥0且a≠b1.证明方法的合理选择

(1)当题目条件较多，且都很明确时，由因导果较简单，一般用综合法．

(2)当题目条件较少，可逆向思考时，执果索因，使用分析法解决．但在证明过程中，注意文字语言的确凿表述．

2．使用反证法的注意点

(1)用反证法证明问题的第一步是“反设〞，这一步一定要确凿，否则后面的部分毫无意义；

(2)应用反证法证明问题时必需导出矛盾．

典题导入

11

[例1](2023·大纲全国卷)设数列{an}满足

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