将军饮马系列-最值问题解析

1.两点之间，线段最短.2.点到直线的距离，垂线段最短.3.三角形两边之和大于第三边，两边之差小鱼第三边.4.A、B分别为同一圆心O半径不等的两个圆上的一点，R-r≤AB≤R+r当且仅当A、B、O三点共线时能取等号.古希腊亚里山大里亚城有一位久负盛名的学者，名叫海伦.有一天，有位将军不远千里专程前来向海伦求教一个百思不得其解的问题：如图，将军从A出发到河边饮马，然后再到B地军营视察，显然有许多走法.问怎样走路线最短呢?精通数理的海伦稍加思索，便作了完善的回答.这个问题后来被人们称作“将军饮马”问题.下面我们来看看数学家是怎样解决的.海伦发现这是一个求折线和最短的数学问题.根据公理：连接两点的所有线中，线段最短.若A、B在河流的异侧，直接连接AB,AB与l的交点即为所求.若A、B在河流的同侧，根据两点间线段最短，那么显然要把折线变成直线再解.形.这条直线就是它的对称轴.这时我们就说这个图形关于这条直线(或轴)对称.如等腰△ABC是轴对称图形.直线对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点.如下图，△ABC与△A'B'C'关于直线1对称，l叫做对称轴.A和A',B和B',C和C'是对称点①关于某条直线对称的两个图形是全等形；②对称轴是任何一对对应点所连线的垂直平分线；③两个图形关于某条直线对称，如果他们的对应线段或延长线相交，那么交点在对称轴上.CC(3)周长最短类型—类型二类型—使的直线1为∠APB的角平分线类型一(5)线段和最小(6)在直角坐标系里的运用类型二F【变式练习】已知：如图，∠ABC及两点M所在的直线的距离相等.求作：点P,使得PM=PN,且P点到∠ABC两边上运动时，点P与A、B两点的距离总相等，如果存在，请作出定点B;若不存在，请说明理【例3】如图，在公路a的同旁有两个仓库A、B,现需要建一货物中转站，要求到A、B两仓库的距.a长最短.【例4】如图，∠AOB=45°,角内有点P,在角的两边有两点Q、R(均不同于O点),求作Q、R,使从A点到M点及N点的距离和为最小；在直线OQ上也取B点，使从B点到M点和N点【例6】已知如图，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P,使点P到点M的距离与点P到OA的边的距离和最小.BB.IN是AC上的一动点.求(1)DN+MN的最小值与最大值。(2)|DN-MN|的最小值与最大值.【例8】如图△ABC,D、E、F分别是AB、BC、AC边上的点(均不与点A、B、C重合),记△DEF的周长为P,请作出周长最小的△DEF.一点P使得PC+PE长度之和最小.同步课程·“将军饮马”系列最值问题的BC上一点，满足BE=2,在斜边AB上求作【习题2】如图，菱形ABCD的两条对角线分别长6和8,点M、N分别是变AB、BC的中点，在对角线AC求作一点P使得PM+PN的值最小.BB【习题3】如图，在锐角△ABC中，AB=4√2,∠BAC=4BAC的平分线交BC于点D,M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是【习题4】已知⊙O的直径CD为4,∠AOD的度数为60°,点B是的中点，在直径CD上找一点P,使BP+AP的值最小，并求BP+AP的最小值.【习题5】如图所示，正方形ABCD的面积为12,△ABE是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对角线AC上有一点P,使PD+PE的和最小，则这个最小值为()【习题6】如图，在平面直角坐标系中，直线1是第一、三象限的角平分线.'的坐标为(2,0),请在图中分别标(2)结合图形观察以上三组点