高数上复习3.1微分三、公式和运算法则

第三章微分学的基本定理第一节微分三、微 和运算法 一、线性yf(x)x0可导f(x)limf(x)f(x0 x

x由极限基本定f(x)f(x0)f(x),

limx

xf(x)f(x0)f(x0)(xx0)o(xx0Previous f(x)f(x0)f(x0)(xx0)o(xx0记yLxfx0fx0xx0则L(x(x0f(x0处的切线进而xx0时，f(x)L(x)f(x0)f(x0)(xx0L(xyf(x在点x0近的线性(即在点x0附近以直代曲Previous yyf注♣线性近似的几何Osin290的近似值

y 解取f(x)=sinx x300π x29029 则x π 利用线性近f(x)f(x0)f(x0)(xx0有sin290sinπcosπ

π)

Previous 二、引例 S表示边长为x0的正方形的面x0

s边长改变量sS(xx)2x

x 02x0

PreviousNext引例

y

当

变化到x0xy(xx)3x

x的线性函

x的高阶无穷小问题是否所有的函数改变量都有这样的线性函数？PreviousNext设函yf(x在点x0的某邻域内有如果增yf(x0xf(x0可以表示yAxo(x)则称f(x)在点x0处可微,Ax为函yf(x在点x0处对自变量x的微分dy,即dyPreviousNext注(1)dy是x的线性函y的线性主部(x0)(微分的实ydyo(x)为x的高阶无穷A0时limy

ylimAxo(x)x0 x0 x0时y

Ax无关x0有关PreviousNext定(可微与可导之间的关系函数yf(x在点x0处可yf(x在点x0处可导dyf(x0证yf(x在点x0处可yAx yAo(x) limyAf(xx0 dyfx0PreviousNext yf(x在点x0处可limyf(xx0 f(x0),

lim yf(x0)x (x由微分定义f(xx0点可微，dyfx0x.PreviousNext注f(xx,dx称x为自变量的微分从而dyfx0♣yf(x在任意x的微分称为函数的微分记作dy或df

dyf(f(x)导数也称

同样

dx f(x)

反函数求导PreviousNextyTNPyTNPyf(Mox0xy是曲线纵坐标的dy是切线纵坐标的|x 很小时在点M附近直线段MP可近似代替曲线段局部“以直代曲PreviousNext三、微 和运算法微分的四则运算du(x)v(x)du(x)dv(dCu(x)Cdu(du(x)v(x)v(x)du(x)u(x)dv(d

u(x)

v(x)du(x)u(x)dv(

(v(x)v(x)

v2(PreviousNext复合函数的微

yf(uug(x都可微则复合yfg(x的微dy而fgxx

f(ugx dyf(u)g(x)dx f即dy不论考虑自变量x的变化还是中间变量u的变PreviousNextx例yx

求dy与

x11xx解d1xx

(一阶微分形式不变性2x 2x1

dx

x(1 x(1

14PreviousNext例求由方

x3y2sinxy 所确定的隐解

方程两边取,d(x3)d(y2sinx)dy则3x2dxy2cosxdxsinx2ydydy解得dy

3x2y2cosxdx12ysinx另解利用隐函数求导法则求出 则dyf(x)dx.PreviousNext例设曲线既可用参xx(tyy(t表示,又可用极(表示,求证：(dx)2(dy)2(d)2(dx(解

y(dxcosd()()sin取微

dysind()()cos(dx)2(dy)2(cosdsind(sindcosd)2(d)2(d)2PreviousNext微分在误差估计yf(x

x0是测量值 x是真实,绝对误

x0xx

则fx0fdx yf(x)f(x0相对误

x x

f(x)f(x)f(x0若dyy,则绝对误差ydy,相对误 注：绝对误差有量纲，相对误差没有量纲PreviousNext例测得一球体的D=20(cm已知它的绝对D0.05(cm)