复杂网络上传染病动力学概述张海峰

复杂网络上传染病动力学概述张海峰第1页，共46页，2023年，2月20日，星期四提纲传染病动力学基本概念复杂网络上传染病动力学的基本结果与推广个体、社会行为反应对传播行为的影响总结与展望第2页，共46页，2023年，2月20日，星期四一、基本概念第3页，共46页，2023年，2月20日，星期四专业名词S-susceptible（易感染者，健康者）;I-infected（感染者）;R-recovery/removed（恢复者、移除者）;V-vaccinated(接种者）;E-exposed（暴露但不具有感染性，或称潜伏）。

SIS模型：易染个体被感染后，可以被治愈但无免疫力（还可以再被感染）（感冒等）SIR模型：易染个体被感染后，可以被治愈且有免疫力（不会被感染，也不会感染其它节点，相当于已经从传播网络中被清除了）（天花等）SI模型：易染个体被感染后，不能被治愈（艾滋病等）SIRS模型：易染个体被感染后，可以被治愈且有免疫力，但免疫期是有限的，还会再次回到易染状态。（乙肝？）第4页，共46页，2023年，2月20日，星期四基本微分方程SIR的微分方程SIS的微分方程更一般的模型，可以考虑人口数量变化的、传播率变化的、多种群的、时间滞后的、加入媒介的、加入接种措施的，等等。第5页，共46页，2023年，2月20日，星期四二、复杂网络上的疾病传播第6页，共46页，2023年，2月20日，星期四①感染密度（感染水平或者波及范围）ρ(t)

ρ(t)：传播过程中,感染节点总数占总节点数的比例。ρ：传播到稳态时（）感染密度的值,称为稳态感染密度。②有效传播率λ(=/)

λ非常小（很小，很大），传播达稳态时，所有节点都会变成健康节点，这种情况下就认为疾病没有在网络上传播开来，并记该疾病的稳态感染密度ρ

=0。反之，当λ足够大时，疾病将一直在网络中存在而不会完全消失，只是染病节点的数目有时多有时少，这时稳态感染水平（波及范围）

ρ

0。把稳态感染密度从零向正实数变化的那个点所对应的有效传播率称作传播阈值（临界值）λc。它是衡量网络上的传播行为最重要的参量之一。复杂网络上研究的主要参量第7页，共46页，2023年，2月20日，星期四均匀网络中的SIS模型Ⅰ.均匀网络：

Ⅱ.解析模型三个假设：①均匀混合假设：感染强度和感染个体密度成比例。即：

和为常数（均匀混合）。不失一般性，可假设=1，因为这只影响疾病传播的时间尺度；②均匀性假设：均匀网络中，每个节点的度都等于网络的平均度<k>；③规模不变假设：不考虑个体的出生和自然死亡

第8页，共46页，2023年，2月20日，星期四运用平均场的方法可得：被感染个体密度ρ(t)的变化率被感染节点以单位速率恢复健康单个感染节点产生的新感染节点的平均速度，它与有效传播率、节点的平均度〈k〉，健康节点相连概率1-ρ(t)成比例，（其他的高阶校正项忽略了）。第9页，共46页，2023年，2月20日，星期四当传播达到稳态时，变化率为0，所以令上式右端为0；

即：-ρ+<k>ρ[1-ρ]=0ρ（1-λ<k>+λ<k>ρ）=0；

ρ（ρ-）=0；当λ<时，ρ-必大于0，所以ρ=0；当λ

时，ρ=；所以，即为临界传播值，记=。第10页，共46页，2023年，2月20日，星期四结论：在均匀网络中存在一个有限的正的传播临界值λc。如果有效传播率λλc，则病毒可以在网络中传播开来，并最终稳定于,此时称网络处于激活相态；如果有效传播率λ<λc，病毒感染个体数呈指数衰减，无法大范围传播，最终将不能传播,此时网络称为吸收相态。第11页，共46页，2023年，2月20日，星期四无标度网络中的疾病传播Ⅰ.

无标度网络：具有幂律度分布的网络，即：；

网络中节点的度没有明显的特征长度Ⅱ.解析模型无标度网络的度分布是呈幂律分布，因而度具有很大的波动性，定义一个相对感染密度：度数为k的感染节点数占总节点数的比例。当t趋于无穷大时，相对稳态感染密度记为。平均感染密度：稳态平均感染密度：∝第12页，共46页，2023年，2月20日，星期四同样我们能采用MF理论来求的变化率得:度为k的节点相对感染密度的变化方程为：

：任意一条给定的边与一个被感染节点相连的概率任意一条给定边指向度为k的节点的概率为（与度为k节点关联的边数与总边数的比值）则任意一条给定边指向度为k的感染节点的概率为从而，

第13页，共46页，2023年，2月20日，星期四根据稳态条件，可得：把（1）代人（2）可以得到如下自洽方程有一个平凡解如果该方程要存在一个非零稳定解，需要满足如下条件：第14页，共46页，2023年，2月20日，星期四结论：对于SF（无标度）网络，节点度数具有很大的浮动性，当,导致，从而特别地，作为SF网络的一个典型例子，考虑BA无标度网络。第15页，共46页，2023年，2月20日，星期四BA无标度网络的传播临界值BA无标度网络：(1)增长特性，(2)优先连接特性（富者更富，或马太效应）度分布，平均度其中m是网络最小度

将平均度，度分布，以及带入

，可得：

第16页，共46页，2023年，2月20日，星期四第17页，共46页，2023年，2月20日，星期四又因为第18页，共46页，2023年，2月20日，星期四化简后得：当λ=0时，有当λ>0时，有结论：

BA无标度网络在SIS模型下的只要有效传播率λ>0，病毒就能传播开来，并将达到一个稳定感染水平，这反映了无标度网络对抵抗病毒的脆弱性第19页，共46页，2023年，2月20日，星期四WS网络与BA网络的比较第20页，共46页，2023年，2月20日，星期四总结1.

SIS模型在均匀网络中，存在一个传播临界值。当时，疾病在时间演化过程中逐渐衰减，最终被灭；当时，疾病在时间演化过程中传播开来，并稳定于某一值（稳态感染密度）：

2.

SIS模型在SF网络中，传播临界值：只要有效传播率λ>0，病毒就能传播开来，并将达到一稳定感染水平值：，这反映了无标度网络对抵抗病毒的脆弱性。

第21页，共46页，2023年，2月20日，星期四均匀网络中的SIR模型对自洽方程求导结论：疾病阈值也是最终感染范围为：第22页，共46页，2023年，2月20日，星期四无标度网络中的SIR模型其中辅助函数：第23页，共46页，2023年，2月20日，星期四对于SIR模型，最终感染比例为0！所以根据恒等式：可以得到以下关系式，因此由得到第24页，共46页，2023年，2月20日，星期四类似求SIS中的方法，有结论类似的方法同样可以发现，无标度网络上最终感染范围也是：结论：无标度上的SIR模型和SIS模型具有相同的爆发阈值，以及同等规模的感染范围！第25页，共46页，2023年，2月20日，星期四1.随机免疫：随机选一部分人进行免疫2.目标免疫：免疫度大的结点3.熟人免疫：随机找一个结点，再随机选一个邻居进行免疫4.环状接种：隔离或免疫染病个体的所有(距离为k)邻居5.接触追踪：对与有传染性个体的接触者进行跟踪，然后以一定的概率进行免疫免疫策略第26页，共46页，2023年，2月20日，星期四结论：

在均匀网络中：只要，就可保证疾病不在网络中传播开来；SF网络中：免疫临界值约为１，即任给定一λ值，都需要对网络中的所有个体进行免疫才能使疾病不传播开来。说明随机免疫只对均匀网络有效（有较小的),而对SF网络效果很差（=1）。原因：这是由于SF网络是异质网络，节点度呈两极分化，采用随机免疫，哪些最容易传播病毒的节点（度大的节点）不一定获得免疫。所以，如果对SF网络采取随机免疫的策略，需要对网络中几乎所有的节点都实施免疫才能保证最终消灭病毒传染。因此对SF网络这样的异质网络，普遍认为：随机免疫策略对于无标度网络是无效的！第27页，共46页，2023年，2月20日，星期四其他网络结构对传播行为的影响加权网络：YanGang等，CPL,Vol.22,No.2(2005)510社团网络：刘宗华等，EPL,72,315,2006层状网络：郑大昉等，PhysicaA,352,659,2006具有地理效应的网络：许新建等，PRE,Phys.Rev.E,76,056109,2007第28页，共46页，2023年，2月20日，星期四其他方面网络与传播共同演化T.Gross,C.J.D.D'Lima,B.Blasius,Phys.Rev.Lett.,96,208701,2006.;T.Gross,B.Blasius,Adaptivecoevolutionarynetworks:areview,J.R.Soc.Interface,5,259-271,2008;T.Gross,I.G.Kevrekidis,Europhys.Lett.82,38004,2008;S.Risau-Gusmsán,D.H.Zanette,J.Theor.Biol.,257,52-60,2009;D.H.Zanette,S.Risau-Gusmsán,J.Biol.Phys.,34,135-148,2008;L.B.ShawandI.B.Schwartz,Phys.Rev.E,77,066101,2008.L.B.ShawandI.B.Schwartz,Phys.Rev.E,81,046120,2010.人口移动：V.Colizza,A.Vespignani,Phys.Rev.Lett.,99,148701,2007.V.Colizza,R.Pastor-Satorras,A.Vespignani,NaturePhysics3,276-282,2007.V.Colizza,A.Barrat,M.Barthelemy,A.Vespignani,InternationalJournalofBif.andChaos.17,2491-2500,2007.M.Tang,Z.H.Liu,andB.W.Li,Europhys.Lett.,87,18005,2009.S.Meloni,A.Arenas,Y.Moreno,Proc.NatlAcad.Sci.USA,106,16897,2009.S.J.Ni，W.G.Weng,Phys.Rev.E,79,016111,2009.VitalyBeliketal,PRX1,011001(2011)第29页，共46页，2023年，2月20日，星期四三、个体、社会行为反应对传播行为的影响第30页，共46页，2023年，2月20日，星期四动力学与个体行为、政府决策的相互关系示意图用来刻画传染病动力学与个体行为，政府决策等因素之间的相互影响第31页，共46页，2023年，2月20日，星期四1.Groupinterestversusself-interestinsmallpoxvaccinationpolicy,PNAS,100(2003)1564模型：由于接种天花存在着一个困境，预防面临代价，不预防也有被感染的风险；另外由于(herdimmunity）群体免疫的作用，如果别人采取了免疫那么我被感染的风险减小，我可以不免疫，但是别人也有这样的想法，所以这是一个预防困境问题。用博弈中的收益（payoff)来描述接种的收益和暂时不接种的收益：第32页，共46页，2023年，2月20日，星期四模型假设每个个体采取接种的概率为p,在群体中就有p比例的人选择接种，此时对应个体而言，个体的平衡点为：对于整个集体的最优为,代价C(p):最小。第33页，共46页，2023年，2月20日，星期四主要结果（个体最优和全局最优的差距）第34页，共46页，2023年，2月20日，星期四2.CanInfluenzaepidemicsbepreventedbyvoluntaryvaccination,PLoScomputationalbiology,3(5)(2007)e85模型：流感疫苗的有效期是有限的（比如一年，一个季度），但是流感又是不断发的，因此对于理性个体就要不断做决定是否采取接种疫苗，那么他/她就会根据当前的爆发范围、接种疫苗的范围、以及以前的成败史来判断当前是否采取接种。思想：a,上个季节采取接种，但是总的接种范围超过“需要接种范围”，则下个季节接种意愿减小！b,上个季节采取接种，但是总的接种范围低于“需要接种范围”，则下个季节接种意愿增加！c,上个季节没有采取接种，但是没有被感染，则下个季节接种意愿减小！d,上个季节没有采取接种，但是被感染，则下个季节接种意愿增加！第35页，共46页，2023年，2月20日，星期四模型示意图第36页，共46页，2023年，2月20日，星期四主要结果两种不同的政府补贴引起的不同效果免疫比例p(black)和感染比例f(red)的时间演化图第37页，共46页，2023年，2月20日，星期四3，F.Fu,D.I.Rosenbloom,L.Wang,M.A.Nowak,Imitationdynamicsofvaccinationbehavioronsocialnetworks,Proc.R.Soc.B,278,42-49,2011.模型：在流感爆发爆发季节之前，每个个体要选择是否接种流感疫苗：(a),接种，在接下来的季节不会被感染，但是要付出V的代价;(b),如果不接种，可能面临两种不同的结果：被感染，付出1的代价；没有被感染付出代价为0！模型示意图：第38页，共46页，2023年，2月2