2021高三统考数学一轮学案：第9章第6讲双曲线含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2021高三统考北师大版数学一轮学案：第9章第6讲双曲线含解析第6讲双曲线基础知识整合1．双曲线的概念平面内与两个定点F1，F2（｜F1F2|＝2c〉0）的距离的差的绝对值为常数(小于|F1F2|且不等于零)的点的轨迹叫做eq\x(\s\up1(01）)双曲线.这两个定点叫做双曲线的eq\x（\s\up1(02))焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的eq\x(\s\up1（03）)焦距。集合P＝{M||｜MF1|－|MF2|｜＝2a｝，|F1F2|＝2c，其中a,c为常数且a(1）当eq\x（\s\up1(04）)a〈c时,M点的轨迹是双曲线；(2)当eq\x（\s\up1（05）)a＝c时,M点的轨迹是两条eq\x(\s\up1(06)）射线;（3)当eq\x（\s\up1(07)）a>c时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程eq\f(x2,a2）－eq\f(y2，b2）＝1(a〉0,b〉0）eq\f(y2,a2）－eq\f（x2,b2)＝1（a>0,b>0）图形性质范围x≥eq\x（\s\up1（08)）a或x≤eq\x(\s\up1（09））－a，y∈Rx∈R，y≤eq\x(\s\up1（10)）－a或y≥eq\x（\s\up1(11））a对称性对称轴:坐标轴对称中心:原点顶点A1（－a，0),A2(a,0）A1（0,－a）,A2(0，a）焦点F1（－c,0），F2（c,0)F1(0,－c）,F2(0，c)渐近线eq\x（\s\up1(12))y＝±eq\f(b，a)xeq\x(\s\up1(13））y＝±eq\f(a，b）x离心率e＝eq\f（c，a），e∈eq\x(\s\up1（14）)(1，＋∞)，其中c＝eq\r（a2＋b2）实虚轴线段A1A2叫做双曲线的eq\x(\s\up1（15))实轴，它的长|A1A2|＝eq\x（\s\up1（16)）2a；线段B1B2叫做双曲线的eq\x（\s\up1(17))虚轴,它的长|B1B2｜＝eq\x(\s\up1（18))2b;a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a，b，c的关系eq\x(\s\up1(19））c2＝a2＋b2（c〉a〉0，c>b〉0）1．双曲线的焦点到其渐近线的距离为b.2．若P是双曲线右支上一点,F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，则｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2|min＝c－a.3．同支的焦点弦中最短的为通径(过焦点且垂直于长轴的弦），其长为eq\f（2b2,a)；异支的弦中最短的为实轴，其长为2a.4．若P是双曲线上不同于实轴两端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点,则S△PF1F2＝eq\f(b2,tan\f（θ，2)），其中θ为∠F1PF2。5．若P是双曲线eq\f（x2,a2)－eq\f(y2，b2）＝1（a>0，b〉0）右支上不同于实轴端点的任意一点，F1，F2分别为双曲线的左、右焦点，I为△PF1F2内切圆的圆心，则圆心I的横坐标为定值a。6．等轴双曲线(1)定义：实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．（2）性质：①a＝b；②e＝eq\r(2）；③渐近线互相垂直;④等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项．1．（2019·浙江高考)渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是(）A．eq\f(\r（2),2） B．1C．eq\r（2） D．2答案C解析由题意可得eq\f(b,a)＝1，∴e＝eq\r(1＋\f(b2,a2）)＝eq\r（1＋12）＝eq\r(2)。故选C．2．（2019·北京高考）已知双曲线eq\f（x2,a2)－y2＝1（a>0)的离心率是eq\r（5),则a＝（)A．eq\r(6) B．4C．2 D．eq\f（1，2）答案D解析由双曲线方程eq\f(x2,a2）－y2＝1，得b2＝1，∴c2＝a2＋1.∴5＝e2＝eq\f(c2，a2)＝eq\f(a2＋1,a2)＝1＋eq\f(1,a2）.结合a〉0，解得a＝eq\f(1，2）.故选D．3．(2019·宁夏模拟）设P是双曲线eq\f（x2，16）－eq\f（y2,20）＝1上一点，F1，F2分别是双曲线的左、右焦点，若|PF1｜＝9，则｜PF2|等于（)A．1 B．17C．1或17 D．以上均不对答案B解析根据双曲线的定义得｜｜PF1|－|PF2｜｜＝8⇒|PF2｜＝1或17.又｜PF2|≥c－a＝2,故|PF2｜＝17，故选B．4．（2019·湖北荆州模拟）若双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f（y2,b2)＝1（a>0,b>0）的一条渐近线经过点（3，－4），则此双曲线的离心率为()A．eq\f(\r（7）,3） B．eq\f(5，4）C．eq\f(4,3) D．eq\f（5,3）答案D解析由已知可得双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f（b，a)x,点（3,－4）在渐近线上，∴eq\f（b,a)＝eq\f（4,3)，又a2＋b2＝c2，∴c2＝a2＋eq\f（16，9)a2＝eq\f(25，9)a2，∴e＝eq\f（c，a）＝eq\f（5，3).故选D．5．(2019·江苏高考）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2－eq\f（y2，b2）＝1（b>0）经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是________。答案y＝±eq\r(2)x解析因为双曲线x2－eq\f(y2,b2）＝1(b>0)经过点(3，4)，所以9－eq\f（16,b2)＝1(b>0），解得b＝eq\r(2)，即双曲线方程为x2－eq\f（y2,2）＝1，其渐近线方程为y＝±eq\r(2)x.6．已知曲线方程eq\f（x2，λ＋2)－eq\f(y2，λ＋1)＝1,若方程表示双曲线,则λ的取值范围是________．答案λ〈－2或λ〉－1解析∵方程eq\f(x2,λ＋2)－eq\f（y2,λ＋1)＝1表示双曲线，∴（λ＋2）(λ＋1）〉0，解得λ<－2或λ>－1.核心考向突破考向一双曲线的定义例1（1)（2019·山西太原模拟)已知双曲线C:eq\f（x2,a2）－eq\f(y2,4）＝1（a>0)的一条渐近线方程为2x＋3y＝0，F1，F2分别是双曲线C的左、右焦点，点P在双曲线C上，且｜PF1|＝2，则｜PF2｜＝()A．4 B．6C．8 D．10答案C解析由题意得eq\f(2,a)＝eq\f（2,3），解得a＝3。因为|PF1|＝2，所以点P在双曲线的左支上．所以|PF2|－｜PF1｜＝2a，解得｜PF2|＝8。故选C．（2)（2019·河南濮阳模拟)已知双曲线x2－y2＝4，F1是左焦点，P1，P2是右支上的两个动点，则|F1P1｜＋｜F1P2｜－｜P1P2|的最小值是（)A．4 B．6C．8 D．16答案C解析设双曲线的右焦点为F2，∵|F1P1|＝2a＋|F2P1|，｜F1P2｜＝2a＋｜F2P2｜,∴|F1P1｜＋｜F1P2|－|P1P2｜＝2a＋|F2P1｜＋2a＋｜F2P2｜－|P1P2|＝8＋（｜F2P1｜＋｜F2P2｜－｜P1P2|)≥8（当且仅当P1,P2,F2三点共线时，取等号），∴|F1P1|＋|F1P2|－｜P(1)①抓住“焦点三角形PF1F2"(2）利用双曲线定义求方程，要注意三点：①距离之差的绝对值；②2a〈｜F1F2|；［即时训练]1。已知动点M(x，y)满足eq\r（x＋22＋y2）－eq\r（x－22＋y2)＝4，则动点M的轨迹是（）A．射线 B．直线C．椭圆 D．双曲线的一支答案A解析设F1(－2，0）,F2（2，0)，由题意知动点M满足｜MF1|－|MF2｜＝4＝|F1F2|，故动点M2．已知F是双曲线eq\f（x2，4)－eq\f（y2,12）＝1的左焦点，A(1，4），P是双曲线右支上的动点，则|PF｜＋｜PA｜的最小值为________.答案9解析设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义，可知|PF|＝4＋｜PF1|，所以当｜PF1｜＋｜PA|最小时满足｜PF｜＋|PA｜最小．由双曲线的图象，可知当点A，P，F1共线时，满足｜PF1|＋｜PA｜最小，|AF1｜即｜PF1｜＋|PA|的最小值．又｜AF1｜＝5,故所求的最小值为9.考向二双曲线的标准方程例2(1）已知圆C1：(x＋3）2＋y2＝1和圆C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为(）A．x2－eq\f（y2，8)＝1 B.eq\f(x2，8）－y2＝1C．x2－eq\f(y2,8)＝1(x≥1） D．x2－eq\f(y2，8）＝1(x≤－1)答案D解析如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于点A和B。根据两圆外切的条件，得|MC1｜－|AC1｜＝|MA|,|MC2|－｜BC2｜＝|MB｜，因为|MA|＝｜MB|，所以|MC1｜－|AC1｜＝｜MC2|－｜BC2｜，即|MC2｜－｜MC1｜＝|BC2｜－|AC1｜＝2,所以点M到两定点C2,C1的距离的差是常数且小于｜C1C2|。又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支（点M到C2的距离大,到C1的距离小），其中a＝1，c＝3,则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－eq\f(y2，8)＝1（x≤－1）．(2）（2020·河北石家庄毕业班摸底)已知双曲线过点（2,3)，渐近线方程为y＝±eq\r（3)x，则该双曲线的标准方程是()A.eq\f(7x2,16）－eq\f(y2,12)＝1 B。eq\f(y2，3)－eq\f（x2，2）＝1C．x2－eq\f(y2，3）＝1 D.eq\f（3y2,23）－eq\f(x2,23)＝1答案C解析因为双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r（3）x，所以可设双曲线的方程为x2－eq\f（y2,3）＝λ(λ≠0），将点（2,3)代入其中，得λ＝1,所以该双曲线的标准方程为x2－eq\f（y2，3）＝1，故选C.求双曲线的标准方程的方法（1）定义法:由题目条件判断出动点的轨迹是双曲线,由双曲线定义,确定2a，2b或2c,从而求出a2，b(2）待定系数法：先确定焦点是在x轴还是在y轴，设出标准方程，再由条件确定a2,b2的值，即“先定型，再定量”,如果焦点位置不好确定，可将双曲线方程设为eq\f(x2,m2）－eq\f(y2，n2）＝λ(λ≠0)，再根据条件求λ的值．注意:①双曲线与椭圆标准方程均可设为mx2＋ny2＝1(mn≠0)，其中m>0且n>0，且m≠n时表示椭圆；mn<0时表示双曲线，合理使用这种形式可避免讨论．②常见双曲线设法：(ⅰ)已知a＝b的双曲线，可设为x2－y2＝λ（λ≠0)；（ⅱ)已知过两点的双曲线，可设为Ax2－By2＝1(AB〉0）；（ⅲ)已知渐近线为eq\f（x，m)±eq\f(y，n)＝0的双曲线，可设为eq\f（x2,m2）－eq\f（y2，n2）＝λ（λ≠0)．③双曲线的焦点位置仅靠渐近线是确定不了的，必须结合其他已知条件综合判断．④判断清楚所求轨迹是双曲线，还是双曲线的一支．若是双曲线的一支，则需确定是哪一支．[即时训练］3。(2018·天津高考)已知双曲线eq\f（x2，a2)－eq\f（y2,b2）＝1（a〉0，b〉0）的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A,B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2,且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为()A．eq\f（x2，4)－eq\f(y2,12）＝1 B．eq\f（x2，12）－eq\f（y2,4)＝1C．eq\f（x2,3)－eq\f(y2,9)＝1 D．eq\f（x2,9）－eq\f(y2，3）＝1答案C解析∵双曲线eq\f(x2，a2)－eq\f（y2，b2)＝1(a〉0，b〉0）的离心率为2，∴e2＝1＋eq\f（b2,a2）＝4，∴eq\f（b2,a2）＝3，即b2＝3a2,∴c2＝a2＋b2＝4a2由题意可设A（2a,3a），B（2a∵eq\f（b2,a2）＝3,∴渐近线方程为y＝±eq\r(3)x,则点A与点B到直线eq\r(3)x－y＝0的距离分别为d1＝eq\f（|2\r（3）a－3a|，2)＝eq\f（2\r(3）－3,2)a，d2＝eq\f（|2\r（3）a＋3a｜,2)＝eq\f(2\r(3）＋3,2）a,又d1＋d2＝6，∴eq\f(2\r(3)－3，2)a＋eq\f（2\r(3)＋3，2)a＝6，解得a＝eq\r(3），∴b2＝9。∴双曲线的方程为eq\f(x2，3）－eq\f(y2,9)＝1，故选C．4．已知圆C：（x－3）2＋y2＝4，定点A（－3，0）,则过定点A且和圆C外切的动圆圆心M的轨迹方程为__________.答案x2－eq\f（y2，8）＝1(x≤－1）解析设动圆M的半径为R,则｜MC|＝2＋R，|MA|＝R，所以|MC|－|MA｜＝2，由双曲线的定义知，M点的轨迹是以A，C为焦点的双曲线的左支，且a＝1，c＝3,所以b2＝8,则动圆圆心M的轨迹方程为x2－eq\f（y2,8)＝1（x≤－1)．精准设计考向，多角度探究突破考向三双曲线的几何性质角度1双曲线离心率问题例3（1）（2019·全国卷Ⅲ）设F为双曲线C：eq\f(x2,a2）－eq\f（y2,b2)＝1（a〉0，b>0）的右焦点,O为坐标原点，以OF为直径的圆与圆x2＋y2＝a2交于P，Q两点．若|PQ|＝|OF|,则C的离心率为（）A．eq\r(2） B．eq\r(3）C．2 D．eq\r（5）答案A解析令双曲线C：eq\f(x2，a2)－eq\f（y2，b2)＝1(a>0，b〉0）的右焦点F的坐标为（c，0），则c＝eq\r(a2＋b2）.如图所示,由圆的对称性及条件｜PQ｜＝｜OF|可知，PQ是以OF为直径的圆的直径，且PQ⊥OF。设垂足为M，连接OP，则|OP｜＝a，|OM｜＝|MP|＝eq\f(c,2）,由|OM｜2＋|MP|2＝｜OP|2,得eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f（c，2）)）2＋eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（c，2)）)2＝a2，∴eq\f(c,a）＝eq\r（2）,即离心率e＝eq\r（2).故选A．（2）若斜率为eq\r（2）的直线与双曲线eq\f(x2，a2）－eq\f（y2，b2)＝1恒有两个公共点，则双曲线离心率的取值范围是(）A．（1，2) B．(2，＋∞)C．（1,eq\r（3)) D．(eq\r(3)，＋∞)答案D解析因为斜率为eq\r（2）的直线与双曲线eq\f(x2,a2)－eq\f(y2，b2）＝1恒有两个公共点,所以eq\f(b，a)〉eq\r（2），则e＝eq\f(c,a)＝eq\r（1＋\f（b2,a2)）〉eq\r（1＋2）＝eq\r(3)，所以双曲线离心率的取值范围是（eq\r(3),＋∞），故选D．求双曲线的离心率时，将提供的双曲线的几何关系转化为关于双曲线基本量a，b，c的方程或不等式,利用b2＝c2－a2和e＝eq\f(c,a)转化为关于e的方程或不等式,通过解方程或不等式求得离心率的值或取值范围．［即时训练］5。双曲线eq\f(x2，a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b〉0)的左、右焦点分别是F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF2⊥x轴，则双曲线的离心率为（)A．eq\r(6） B．eq\r(3)C．eq\r（2） D．eq\f（\r(3),3)答案B解析如图所示，在Rt△MF1F2中，∠MF1F2＝30°，｜F1F2｜＝2c,∴|MF1｜＝eq\f（2c，cos30°）＝eq\f（4\r(3），3）c，｜MF2｜＝2c·tan30°＝eq\f（2\r（3),3）c，∴2a＝|MF1|－｜MF2｜＝eq\f(4\r(3），3)c－eq\f(2\r（3)，3）c＝eq\f(2\r（3),3）c⇒e＝eq\f（c,a）＝eq\r（3).6．已知点F1,F2分别是双曲线eq\f(x2，a2)－eq\f（y2，b2）＝1（a>0,b〉0)的左、右焦点，过点F1且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABF2是锐角三角形，则该双曲线离心率的取值范围是(）A．（1，eq\r（3)） B．(eq\r(3)，2eq\r（2）)C．（1＋eq\r（2)，＋∞） D．(1，1＋eq\r(2)）答案D解析依题意，0〈∠AF2F1〈eq\f(π,4)，故0<tan∠AF2F1〈1，则eq\f（\f(b2，a),2c)＝eq\f（c2－a2,2ac）<1，即e－eq\f(1，e）〈2，e2－2e－1〈0，（e－1)2〈2，所以1<e<1＋eq\r(2），故选D．角度2双曲线的渐近线问题例4(1)(2020·贵州综合测试一)若双曲线C：eq\f（x2，a2)－eq\f（y2，b2）＝1(a〉0,b〉0）的渐近线与圆(x－2）2＋y2＝1相切,则双曲线C的渐近线方程为()A．y＝±eq\f(1，3）x B．y＝±eq\f（\r（3),3)xC．y＝±3x D．y＝±eq\r（3）x答案B解析由题可知双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(b，a)x,圆心为（2,0),半径为1,易知圆心到渐近线的距离d＝eq\f(2b,\r(a2＋b2））＝1，故4b2＝a2＋b2，即3b2＝a2，则eq\f(b，a)＝eq\f(\r(3),3)，故双曲线C的渐近线方程为y＝±eq\f(\r（3）,3)x,选B．（2）（2019·全国卷Ⅰ）双曲线C：eq\f（x2,a2）－eq\f(y2，b2）＝1（a>0，b>0）的一条渐近线的倾斜角为130°,则C的离心率为（)A．2sin40° B．2cos40°C．eq\f(1，sin50°） D．eq\f(1,cos50°)答案D解析由题意可得－eq\f(b,a)＝tan130°，所以e＝eq\r（1＋\f(b2，a2))＝eq\r(1＋tan2130°)＝eq\r(1＋\f（sin2130°，cos2130°））＝eq\f（1,|cos130°|）＝eq\f(1,cos50°)。故选D．(1）渐近线的求法：求双曲线eq\f(x2，a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a〉0，b>0)的渐近线的方法是令eq\f(x2，a2）－eq\f(y2，b2)＝0,即得两渐近线方程eq\f（x,a）±eq\f（y,b)＝0eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（y＝±\f（b，a)x)).(2）双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线eq\f（x2,a2)－eq\f(y2，b2）＝1（a>0，b〉0)中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±eq\f(b，a)满足关系式e2＝1＋k2。［即时训练]7.(2018·全国卷Ⅱ）双曲线eq\f(x2，a2)－eq\f(y2,b2)＝1（a〉0,b>0)的离心率为eq\r（3），则其渐近线方程为()A．y＝±eq\r（2)x B．y＝±eq\r(3）xC．y＝±eq\f(\r（2）,2)x D．y＝±eq\f（\r(3),2)x答案A解析∵e＝eq\f(c,a)＝eq\r（3）,∴eq\f（b2,a2)＝eq\f(c2－a2,a2）＝e2－1＝3－1＝2，∴eq\f(b,a）＝eq\r(2）。因为该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\f（b,a）x，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±eq\r(2)x，故选A．8．（2019·全国卷Ⅲ)双曲线C:eq\f（x2，4）－eq\f(y2，2)＝1的右焦点为F，点P在C的一条渐近线上，O为坐标原点,若|PO｜＝｜PF|，则△PFO的面积为（）A．eq\f（3\r（2)，4） B．eq\f(3\r（2）,2)C．2eq\r（2) D．3eq\r（2)答案A解析双曲线eq\f(x2，4)－eq\f(y2,2）＝1的右焦点坐标为（eq\r（6)，0），一条渐近线的方程为y＝eq\f(\r(2），2)x，不妨设点P在第一象限,由于｜PO｜＝|PF｜,则点P的横坐标为eq\f（\r（6），2)，纵坐标为eq\f（\r(2）,2）×eq\f(\r（6)，2）＝eq\f(\r(3）,2)，即△PFO的底边长为eq\r（6)，高为eq\f(\r（3），2）,所以它的面积为eq\f（1,2）×eq\r（6）×eq\f(\r(3),2)＝eq\f（3\r(2），4）.故选A．考向四直线与双曲线的位置关系例5已知双曲线Γ：eq\f(x2,a2）－eq\f(y2，b2)＝1（a>0，b>0）经过点P(2，1），且其中一焦点F到一条渐近线的距离为1。(1）求双曲线Γ的方程；(2）过点P作两条相互垂直的直线PA，PB分别交双曲线Γ于A，B两点，求点P到直线AB距离的最大值．解（1)∵双曲线eq\f(x2，a2)－eq\f(y2,b2）＝1过点（2,1)，∴eq\f（4,a2)－eq\f(1,b2）＝1。不妨设F为右焦点，则F(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离d＝eq\f（｜bc｜,\r(a2＋b2））＝b，∴b＝1，a2＝2，∴所求双曲线的方程为eq\f（x2，2）－y2＝1。（2)当直线AB的斜率不存在时，设A（x0，y0)(y0〉0)，则B（x0，－y0），eq\o(PA，\s\up6（→））＝(x0－2,y0－1），eq\o（PB，\s\up6(→))＝（x0－2,－y0－1）,∵eq\o(PA,\s\up6(→)）·eq\o(PB,\s\up6（→))＝0,∴(x0－2）2－(y0－1)(y0＋1）＝0,由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x\o\al(2,0）－4x0－y\o\al（2,0)＋5＝0，,\f（x\o\al（2，0)，2）－y\o\al(2,0)＝1，)）得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（x0＝6，，y0＝\r(17)）)或eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝2，，y0＝1））（舍去)，即A（6，eq\r（17)），B(6，－eq\r（17）)，此时点P到AB的距离为6－2＝4。当直线AB的斜率存在时,设A(x1，y1），B(x2，y2)，直线AB的方程为y＝kx＋m。将y＝kx＋m代入x2－2y2＝2中，整理得（2k2－1)x2＋4kmx＋2m∴x1＋x2＝eq\f（－4km,2k2－1)，①x1x2＝eq\f（2m2＋2，2k2－1）。②∵eq\o(PA,\s\up6(→）)·eq\o(PB,\s\up6（→))＝0，∴(x1－2,y1－1）·(x2－2，y2－1）＝0，∴（x1－2）（x2－2）＋（kx1＋m－1）（kx2＋m－1）＝0,∴（k2＋1）x1x2＋（km－k－2)(x1＋x2）＋m2－2m＋5＝0.将①②代入③,得m2＋8km＋12k2＋2∴（m＋2k－1）(m＋6k＋3)＝0.而P∉AB,∴m＝－6k－3，从而直线AB的方程为y＝kx－6k－3。将y＝kx－6k－3代入x2－2y2－2＝0中，得(1－2k2)x2＋（24k2＋12k）x－72k2－72k－20＝0，判别式Δ＝16(17k2＋18k＋5)>0恒成立,∴y＝kx－6k－3即为所求直线．∴P到AB的距离d＝eq\f(｜2k－6k－3－1｜,\r(1＋k2））＝eq\f（4|k＋1｜,\r（k2＋1））.∵eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1(\f(d，4））)2＝eq\f（k2＋1＋2k,k2＋1）＝1＋eq\f（2k,k2＋1)≤2.∴d≤4eq\r（2)，即此时点P到直线AB距离的最大值为4eq\r（2)。∵4eq\r（2）〉4，故点P到直线AB距离的最大值为4eq\r(2）.求解双曲线综合问题的主要方法双曲线的综合问题主要为直线与双曲线的位置关系．解决这类问题的常用方法是：（1)设出直线方程或双曲线方程，然后把直线方程和双曲线方程组成方程组，消元后转化成关于x（或y)的一元二次方程,利用根与系数的关系及整体代入的思想解题．（2)利用点差法．［即时训练]9。设双曲线C:eq\f（x2,a2）－y2＝1（a〉0)与直线l:x＋y＝1相交于两个不同点A，B．(1）求双曲线C的离心率e的取值范围;(2)设直线l与y轴的交点为P，取eq\o(PA，\s\up6（→））＝eq\f(5,12)eq\o（PB，\s\up6(→))，求a的值．解(1)将y＝－x＋1代入双曲线eq\f(x2,a2）－y2＝1(a>0)中,得(1－a2）x2＋2a2x－2a2＝0.所以eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1－a2≠0，,4a4＋8a21－a2>0,）)解得0<a〈eq\r（2)且a≠1.又双曲线的离心率e＝eq\f（\r(1＋a2），a)＝eq\r(\f（1，a2）＋1），所以e>eq\f(\r（6）,2)且e≠eq\r（2)，即e∈eq\b\lc\（\rc\)(\a\vs4\al\co1（\f（\r(6),2），\r（2)）)∪(eq\r(2),＋∞）．（2）设A(x1,y1），B(x2,y2)，P（0，1),因为eq\o（PA，\s\up6(→))＝eq\f（5，12)eq\o（PB，\s\up6（→）)，所以(x1，y1－1)＝eq\f（5,12）(x2,y2－1),由此得x1＝eq\f（5，12）x2。由于x1,x2是方程(1－a2）x2＋2a2x－2a2＝0的两根，且1－a2≠0，所以x1＋x2＝eq\f（17,12)x2＝－eq\f（2a2,1－a2),x1x2＝eq\f(5，12)xeq\o\al（2，2）＝－eq\f(2a2,1－a2)，消去x2得－eq\f（2a2,1－a2)＝eq\f(289，60）,由a〉0,解得a＝eq\f（17，13）。直线l:y＝kx＋1与双曲线C:2x2－y2＝1的右支交于不同的两点A，B。（1)求实数k的取值范围;（2）是否存在实数k，使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F？若存在，求出k的值；若不存在,说明理由．解(1)将直线l的方