2020-2021学年数学第1章 阶段综合提升 第1课立体几何初步含解析

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精2020-2021学年北师大版数学必修2教师用书：第1章阶段综合提升第1课立体几何初步含解析第1课立体几何初步[巩固层·知识整合][提升层·题型探究]由三视图求几何体的表面积与体积【例1】某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为（）A．1B.eq\r(2)C.eq\r（3）D．2C[根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥V­ABCD,其中VB⊥平面ABCD，且底面ABCD是边长为1的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为VD.连接BD，易知BD＝eq\r（2)，在Rt△VBD中,VD＝eq\r(VB2＋BD2）＝eq\r（3).］1．以三视图为载体的几何体的表面积问题,关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．2．多面体的表面积是各个面的面积之和,组合体的表面积问题要注意衔接部分的处理．3．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．eq\O(［跟进训练])1．一个几何体的三视图如图所示，其中左视图与俯视图均为半径是2的圆，则这个几何体的体积是________．8π[由三视图知该几何体是半径为2的球被截去四分之一后剩下的几何体，则该几何体的体积V＝eq\f(4,3）×π×23×eq\f（3，4）＝8π。]c【例2】如图所示,斜三棱柱ABC­A1B1C1中,点D,D1分别为AC，A1C(1)当eq\f(A1D1，D1C1)等于何值时，BC1∥平面AB1D1?(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求eq\f(AD,DC）的值．［解](1）如图所示，取D1为线段A1C1的中点,此时eq\f（A1D1,D1C1）＝1。连接A1B，交AB1于点O,连接OD1。由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，所以OD1∥BC1.又因为OD1平面AB1D1，BC1平面AB1D1，所以BC1∥平面AB1D1，所以当eq\f（A1D1,D1C1）＝1时，BC1∥平面AB1D1.（2）由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1,平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，得BC1∥D1O，所以eq\f（A1D1,D1C1）＝eq\f（A1O，OB），又由题可知eq\f（A1D1,D1C1）＝eq\f（DC，AD），eq\f(A1O，OB）＝1，所以eq\f(DC,AD）＝1，即eq\f（AD，DC）＝1.1．证明线线平行的依据（1)平面几何法（常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行）；（2)公理4；(3）线面平行的性质定理；（4)面面平行的性质定理；（5)线面垂直的性质定理．2．证明线面平行的依据（1)定义;（2）线面平行的判定定理;（3)面面平行的性质定理．3．证明面面平行的依据(1）定义;(2)面面平行的判定定理;(3）线面垂直的性质定理;(4）面面平行的传递性．eq\O（[跟进训练］）2.如图,在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形,AB＝2EF，EF∥AB，H为BC的中点，求证：FH∥平面EDB.[证明］连接AC交BD于点G，则G为AC的中点．连接EG，GH，∵H为BC的中点，∴GH綊eq\f（1,2)AB.又EF綊eq\f（1,2）AB，∴EF綊GH，∴四边形EFHG为平行四边形，∴EG∥FH，∵EG平面EDB，FH平面EDB，∴FH∥平面EDB.垂直关系的判定和性质【例3】如图，在四棱锥P。ABCD中,AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分别是CD和PC的中点．求证：（1)PA⊥底面ABCD;（2）BE∥平面PAD；（3)平面BEF⊥平面PCD。［证明］（1）因为平面PAD⊥底面ABCD，且PA⊥AD，所以PA⊥底面ABCD.(2）因为AB∥CD，CD＝2AB，E为CD的中点，所以AB∥DE，且AB＝DE，所以四边形ABED为平行四边形，所以BE∥AD。又因为BE平面PAD，AD平面PAD，所以BE∥平面PAD。（3）因为AB⊥AD，而且ABED为平行四边形，所以BE⊥CD,AD⊥CD.由（1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.又AD∩PA＝A,所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD。因为E和F分别是CD和PC的中点,所以PD∥EF，所以CD⊥EF。又EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.又CD平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD。1．两条异面直线相互垂直的证明方法（1)定义；(2）线面垂直的性质定理．2．直线和平面垂直的证明方法（1)线面垂直的判定定理；(2）面面垂直的性质定理．3．平面和平面相互垂直的证明方法（1）定义；（2）面面垂直的判定定理．eq\O([跟进训练]）3．如图，直三棱柱ABC­A1B1C1中（侧棱与底面垂直的棱柱），AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，AA1＝eq\r(2)，D是A1B1的中点．（1）求证：C1D⊥平面AA1B1B；(2）若点F为BB1上的动点，则当点F在BB1上的什么位置时，会使得AB1⊥平面C1DF?并证明你的结论．［解］(1）证明:由题意知,A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90°。∵D是A1B1的中点,∴C1D⊥A1∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1∴AA1⊥C1D.∵AA1∩A1B1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B.（2）点F为BB1的中点时，AB1⊥平面C1DF。证明如下．∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1。易知A1B1＝eq\r（2)，∵AA1＝eq\r(2），∴四边形AA1B1B为正方形．又D为A1B1的中点,F为BB1的中点，∴AB1⊥DF，又DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF。截面问题【例4】如图，已知正三棱锥S­ABC，过B和侧棱SA,SC的中点E，F作一截面，若这个截面与侧面SAC垂直，求此三棱锥的侧面积与底面积之比．［思路探究]构建截面，利用几何知识巧妙判断各棱之间的关系．［解］取AC的中点M，连接SM，设SM∩EF＝D。如图．在△SAC中，E,F分别为SA，SC的中点,所以EF∥AC，所以eq\f(SF,FC)＝eq\f(SD，DM），而SF＝FC，所以SD＝DM，所以D为SM的中点．连接BD，BM.因为S.ABC为正三棱锥，所以SM⊥AC.而AC∥EF，所以SM⊥EF，又截面BEF⊥平面SAC,所以SM⊥BD。又SD＝DM，所以△SBM为等腰三角形，SB＝BM.设正三棱锥S。ABC的底面边长为a，则BM＝eq\f（\r（3）,2)a,从而SA＝SB＝SC＝BM＝eq\f(\r（3),2）a，又SM＝eq\r（SC2－CM2）＝eq\r（\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f(\r（3）,2)a））2－\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a,2)））2)＝eq\f（\r(2），2）a,所以S侧＝3×eq\f（1，2)×a×eq\f(\r（2）,2)a＝eq\f（3\r（2)，4）a2,S底＝eq\f(\r(3），4）a2,所以S侧∶S底＝eq\r(6)∶1.在中学数学中，有关截面的问题主要有面积、距离和角的计算问题以及与截面的位置、形状、数量有关的证明和判定问题。在解有关截面问题时要注意：1截面的位置;2截面的形状及有关性质；3截面的元素及其相互关系;4截面的有关数量.eq\O(［跟进训练])4．一个圆锥底面半径为R，高为eq\r(3）R,求此圆锥的内接正四棱柱表面积的最大值．［解］如图,△SAB为圆锥SO的一个轴截面，且该轴截面经过正四棱柱的对角面，DF为棱柱的底面对角线，要求棱柱的表面积，只要求出底面正方形边长及棱柱的高即可．设正四棱柱高为h，底面正方形边长为a，则DE＝eq\f（\r（2)，2）a。∵△SDE∽△SAO，∴eq\f(DE,AO）＝eq\f（SE,SO)。∵AO＝R,SO＝eq\r（3）R，∴eq\f（\f（\r(2）,2）a，R）＝eq\f(\r（3)R－h，\r(3）R），∴h＝eq\r（3)R－eq\f（\r（6），2）a。∴S表＝2a2＋4ah＝2a2＋4aeq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(\r（3)R－\f（\r(6），2)a)).整理得S表＝（2－2eq\r（6))eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（a－\f(\r(3)R，\r(6）－1）））2＋eq\f(6R2，\r（6)－1），0＜a＜eq\r（2)R。∵2－2eq\r（6)＜0，eq\f（\r（3）R，\r（6)－1）＜eq\r（2）R，∴当a＝eq\f（\r(3)R，\r（6）－1)时，S表有最大值eq\f（6R2，\r(6）－1)＝eq\f(6\r(6）＋1R2,5）.即圆锥的内接正四棱柱表面积最大值是eq\f(6\r（6）＋1，5)R2.折叠问题【例5】在矩形ABCD中，已知AB＝eq\f（1,2)AD，E是AD的中点,沿BE将△ABE折起至△A′BE的位置，使A′C＝A′D，求证：平面A′BE⊥平面BCDE.［思路探究]运用线线垂直证明线面垂直，运用线面垂直证明面面垂直．［证明]如图所示,取CD的中点M，BE的中点N，连接A′M，A′N,MN，则MN∥BC。∵AB＝eq\f(1,2）AD，E是AD的中点,∴A′B＝A′E，∴A′N⊥BE。∵A′C＝A′D，∴A′M⊥CD。在矩形ABCD中，DC⊥MN，又MN∩A′M＝M，∴DC⊥平面A′MN，∴CD⊥A′N.∵ED∥BC，且ED≠BC，∴BE必与CD相交，∴A′N⊥平面BCDE.又A′N平面A′BE，∴平面A′BE⊥平面BCDE.把一个平面图形按某种要求折起，转化为空间图形,进而研究图形在位置关系和数量关系上的变化，这就是折叠问题.求解折叠问题的两个关键点:1画好两个图——折叠前的平面图和折叠后的立体图；2分析好两者之间的关系——折叠前后哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化.eq\O(［跟进训练]）5．如图（1）所示，梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，将平面CDFE沿EF翻折起来,使CD到C′D′的位置，如图(2）所示,G，H分别为AD′，BC′的中点，求证：四边形EFGH为平行四边形．[证明］梯形ABCD中，AB∥CD，E,F分别