微分几何曲面论曲面的第二基本形式

微分几何曲面论曲面的第二基本形式第1页/共69页§3曲面的第二基本形式主要内容1.曲面的第二基本形式；2.曲面上曲线的曲率；3.Dupin指标线；4.曲面的渐近方向和共轭方向；5.曲面的主方向和曲率线；6.曲面的主曲率、Gauss曲率和平均曲率；7.曲面在一点邻近的结构；8.Gauss曲率的几何意义.第2页/共69页3.1曲面的第二基本形式1.切平面到曲面上点的无穷小有向距离第3页/共69页第4页/共69页2.曲面的第二基本形式定义注计算公式：第5页/共69页第6页/共69页第7页/共69页例1解：第8页/共69页第9页/共69页例2解：第10页/共69页3.2曲面上曲线的曲率1.曲面上曲线的曲率第11页/共69页2.法截线、法曲率第12页/共69页定义第13页/共69页定理第14页/共69页例3解：第15页/共69页例4证：第16页/共69页3.3杜邦(Dupin)指标线定义方程第17页/共69页注第18页/共69页形状第19页/共69页曲面上点的分类第20页/共69页3.4曲面的渐近方向和共轭方向复习二次曲线1.渐近方向定义：曲线的分类：叫做二次曲线的渐近方向.2.

中心定义：如果点C是二次曲线的通过它的所有弦的中点那么点C叫做二次曲线的中心.第21页/共69页求法：曲线的分类：第22页/共69页3.

直径定义：

也叫做共轭于平行弦方向的直径.二次曲线的平行弦中点轨迹叫做二次曲线的直径，4.

共轭方向定义：求法：5.

主直径与主方向定义：

主直径的方向与垂直于主直径的方向都叫做二次曲线的主方向．二次曲线的垂直于其共轭弦的直径叫做二次曲线的主直径，第23页/共69页1.曲面的渐近方向定义注第24页/共69页定义命题1证:注第25页/共69页命题2证:第26页/共69页定理注定义注第27页/共69页命题3证:第28页/共69页2.共轭方向定义定理第29页/共69页定义命题证：第30页/共69页命题4第31页/共69页3.5曲面的主方向和曲率线1.主方向定义问题：第32页/共69页第33页/共69页第34页/共69页定义注第35页/共69页例5证：例6证：第36页/共69页第37页/共69页主方向的判别定理证：第38页/共69页注第39页/共69页2.曲率线与曲率线网定义方程命题证：第40页/共69页第41页/共69页注命题5例7解：第42页/共69页3.6曲面的主曲率、高斯曲率和平均曲率1.主曲率定义第43页/共69页第44页/共69页注第45页/共69页命题6证：第46页/共69页主曲率的计算公式第47页/共69页第48页/共69页2.高斯曲率和平均曲率定义第49页/共69页第50页/共69页例8解：xyzo第51页/共69页第52页/共69页xyzo第53页/共69页例9注：解：第54页/共69页第55页/共69页第56页/共69页3.7曲面在一点邻近的结构曲面上点的分类第57页/共69页P第58页/共69页︷︸第59页/共69页第60页/共69页第61页/共69页3.8高斯曲率的几何意义1.曲面的球面表示、曲面的第三基本形式定义注第62页/共69页定义命题证：第63页/共69页第64页/共69页命题