点集拓扑学期末考试练习题(含答案)95633

#5、已知，下列集族中,① ②5、已知，下列集族中,① ②③ ④6、设，下列集族中,(① ②③ ④7、已知,拓扑，则=(①“② ③已知，拓扑,则=(①“② ③已知，拓扑，则=(③10、已知，拓扑，则=(③11、已知,拓扑,则=(③12、已知，拓扑，则=13、设，拓扑①1 ②2答案：④答案:④答案：②答案：④点集拓扑学期末考试一、单项选择题(每题1分)1、已知，下列集族中，()是上的拓扑。TOC\o"1-5"\h\z① ②③ ④答案：③2、设，下列集族中，()是上的拓扑.① ②③ ④ 答案:②3、已知，下列集族中，()是上的拓扑.① ②③ ④ 答案：①4、设，下列集族中，()是上的拓扑.① ②③④ 答案：②()是上的拓扑.答案：④)是上的拓扑.答案:③)④)④)④)④)④ 答案：②( )③ ④答案:④则的既开又闭的非空真子集个数(③3 ④4答案：②14、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为(①1 ②2 ③3 ④4答案：②15、设，拓扑,则的既开又闭的非空真子集的个数为(①0 ②1 ③2 ④3 答案：①16、设，拓扑，则的既开又闭的子集的个数为( )①0 ②1 ③2 ④3答案：③17、设，拓扑,则的既开又闭的子集的个数为( )①1 ②2 ③3 ④4答案：④18、设，拓扑,的既开又闭的非空真子集个数()

③3 ④4答案：②19、①20、19、①20、①21、①22、①23、①24、①25、①②Q③R-Q ④R答案：①在实数空间中，有理数集的边界是（）②Q③R-Q ④R 答案：④在实数空间中，整数集的内部是（）② ③R—Z ④R 答案：①在实数空间中，整数集的边界是（）② ③R-Z ④R答案:②在实数空间中，区间的边界是（）② ③ ④ 答案：③在实数空间中，区间的边界是（）② ③ ④ 答案:③在实数空间中,区间的内部是（）② ③ ④ 答案：④TOC\o"1-5"\h\z26、设是一个拓扑空间，A,B是的子集，则下列关系中错误的是（ ）① ②③ ④ 答案:③27、设是一个拓扑空间，A,B是的子集，则下列关系中正确的是（ ）① ②③ ④ 答案：①28、设是一个拓扑空间，A,B是的子集，则下列关系中正确的是（ ）① ②③ ④答案:④29、已知是一个离散拓扑空间，A是的子集，则下列结论中正确的是（ ）① ②③ ④ 答案：①30、已知是一个平庸拓扑空间,A是的子集,则下列结论中不正确的是（ ）①若，则 ②若，则③若A={}，则④若，则 答案：④31、已知是一个平庸拓扑空间，A是的子集，则下列结论中正确的是（ ）①若,则 ②若，则③若A={},则④若，则 答案:①32、设,令，则由产生的上的拓扑是（）①{,,{c},{d},{c,d},{a,b,c}} ②{,,{c},{d},{c,d}}③{,,{c},{a,b,c}} ④{,,{d},{b,c},{b,d},{b,c,d}}答案:①33、设是至少含有两个元素的集合，,是的拓扑，则（）是的基。① ②③ ④答案：③设，则下列的拓扑中（）以为子基.①{,，{a}，{a,c}} ②{,，{a}}③{,,{a},{b},{a,b}}④{,}答案：②35、离散空间的任一子集为（）④非开非闭答案：③①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：③36、平庸空间的任一非空真子集为（）①开集②闭集③即开又闭④非开非闭答案：④37、实数空间中的任一单点集是（ ）①开集②闭集③既开又闭④非开非闭答案：②38、实数空间R的子集A={1,,,,……}，则=（）①“ ②R③AU{0} ④A 答案：③39、在实数空间R中，下列集合是闭集的是（ ）①整数集② ③有理数集④无理数集 答案：①40、在实数空间R中，下列集合是开集的是（）①整数集Z②有理数集③无理数集④整数集Z的补集答案:④41、已知上的拓扑，则点1的邻域个数是（）①1 ②2 ③3 ④4 答案：④42、已知,则上的所有可能的拓扑有（）①1个②2个③3个④4个 答案：④43、已知={a,b，c}，则上的含有4个元素的拓扑有（ ）个①3 ②5 ③7 ④9 答案：④44、设为拓扑空间，则下列叙述正确的为（ ）③当时， ④当时， 答案：③45、在实数下限拓扑空间中，区间是（）答案：③①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭答案：③46、设是一个拓扑空间，，且满足，则是（）①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭47、设，是的拓扑，,则的子空间的拓扑为（③ ④答案：③48、设,是的拓扑，，则的子空间的拓扑为（①开集②闭集③既是开集又是闭集④非开非闭47、设，是的拓扑，,则的子空间的拓扑为（③ ④答案：③48、设,是的拓扑，，则的子空间的拓扑为（③ ④ 答案：②49、设，是的拓扑,,则的子空间的拓扑为（③ ④ 答案：②50、设，是的拓扑，，则的子空间的拓扑为（③ ④ 答案：①51、设，是的拓扑，，则的子空间的拓扑为（③ ④ 答案：②52、设,是的拓扑，,则的子空间的拓扑为（答案：②②②②②②答案：④53、设是实数空间，是整数集,则的子空间的拓扑为（）① ② ③ ④答案：②54、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ）①单射续的单射③满的连续闭映射 ④满的连续开映射 答案：④55、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（）①单射连续的单射③满的连续闭映射 ④满的连续开映射答案:④56、设是拓扑空间的积空间.是到的投射，则是（ ）①单射续的单射③满的连续闭映射 ④满的连续开映射 答案：④57、设是拓扑空间的积空间。是到的投射,则是（）①单射连续的单射③满的连续闭映射 ④满的连续开映射 答案:④58、设是拓扑空间的积空间。是到的投射，则是（）①单射 ②连续的单射③满的连续闭映射 ④满的连续开映射 答案：④59、设是拓扑空间的积空间。是到的投射，则是（ ）①单射连续的单射③满的连续闭映射 ④满的连续开映射 答案:④60、设和是两个拓扑空间，是它们的积空间,，,则有（）①②③④答案：②61、有理数集是实数空间的一个（）不连通子集 ②连通子集③开集 ④以上都不对 答案：①62、整数集是实数空间的一个（）不连通子集 ②连通子集开集 ④以上都不对答案:①63、无理数集是实数空间的一个（）①不连通子集 ②连通子集③开集 ④以上都不对答案：①64、设y为拓扑空间X的连通子集，Z为X的子集，若， 则Z为（）①不连通子集②连通子集③闭集④开集答案：②65、设是平庸空间，则积空间是（）①离散空间 ②不一定是平庸空间③平庸空间 ④不连通空间答案:③66、设是离散空间，则积空间是（）①离散空间 ②不一定是离散空间③平庸空间 ④连通空间答案：①67、设是连通空间，则积空间是（）①离散空间 ②不一定是连通空间③平庸空间④连通空间答案：④68、实数空间R中的连通子集E为（①开区间②闭区间③区间④以上都不对答案：④69、实数空间R中的不少于两点的连通子集E为（ ）①开区间②闭区间区间④以上都不对①开区间②闭区间区间④以上都不对答案:③区间④区间或一点答案：④70、实数空间R中的连通子集£为（区间④区间或一点答案：④①开区间②闭区间71、下列叙述中正确的个数为（）（I）单位圆周是连通的；（II）是连通的（III）是连通的 （W）和同胚①1 ②2 ③3 ④4答案：②二、填空题（每题1分）1、设，则的平庸拓扑为；答案：2、设，则的离散拓扑为;答案：3、同胚的拓扑空间所共有的性质叫;答案：拓扑不变性质4、在实数空间R中，有理数集Q的导集是.答案：R5、当且仅当对于的每一邻域有答案：6、设是有限补空间中的一个无限子集，则=；答案：7、设是有限补空间中的一个无限子集，则=;答案：8、设是可数补空间中的一个不可数子集，则=；答案：9、设是可数补空间中的一个不可数子集，则=；答案：10、设,的拓扑，则的子集的内部为;答案：{2}11、设，的拓扑，则的子集的内部为；答案：{1}12、设,的拓扑，则的子集的内部为答案：{1}13、设，的拓扑，则的子集的内部为；答案：14、设，则的平庸拓扑为;答案：15、设，则的离散拓扑为答案：16、设，的拓扑，则的子集的内部为;答案：⑶17、设,的拓扑，则的子集的内部为;答案：{1}18、是拓扑空间到的一个映射，若它是一个单射，并且是从到它的象集的一个同胚，则称映射是一个。答案：嵌入19、是拓扑空间到的一个映射，如果它是一个满射，并且的拓扑是对于映射而言的商拓扑，则称是一个;答案:商映射20、设是两个拓扑空间，是一个映射，若中任何一个开集的象集是中的一个开集，则称映射是一个答案：开映射21、设是两个拓扑空间，是一个映射,若中任何一个闭集的象集是中的一个闭集，则称映射是一个答案:闭映射22、若拓扑空间存在两个非空的闭子集，使得，则是一个；答案：不连通空间23、若拓扑空间存在两个非空的开子集，使得，则是一个；答案：不连通空间24、若拓扑空间存在着一个既开又闭的非空真子集，则是一个 答案：不连通空间25、设是拓扑空间的一个连通子集，满足，则也是的一个 ;答案：连通子集26、拓扑空间的某种性质,如果为一个拓扑空间所具有也必然为它在任何一个连续映射下的象所具有，则称这个性质是一个；答案:在连续映射下保持不变的性质27、拓扑空间的某种性质，如果为一个拓扑空间所具有也必然为它的任何一个商空间所具有,则称这个性质是一个；答案:可商性质28、若任意个拓扑空间,都具有性质，则积空间也具有性质，则性质称为;答案:有限可积性质29、设是一个拓扑空间，如果中有两个非空的隔离子集,使得，则称是一个；答案:不连通空间.三.判断（每题4分，判断1分，理由3分）1、.从离散空间到拓扑空间的任何映射都是连续映射（ ）答案：J理由：设是离散空间，是拓扑空间，是连续映射，因为对任意，都有，由于中的任何一个子集都是开集，从而是中的开集，所以是连续的.2、设是集合的两个拓扑，则不一定是集合的拓扑（）答案：义理由：因为⑴是的拓扑，故%T^，从而；（2）对任意的T1巴，则有T1且巴，由于T1,T2是的拓扑，故T1且%,从而T1巴；（3）对任意的，则，由于T1,T2是的拓扑，从而UTUT1,UJT2,故UTUT1巴；综上有T1%也是的拓扑.3、从拓扑空间到平庸空间的任何映射都是连续映射（ ）答案：J理由：设是任一满足条件的映射，由于是平庸空间,它中的开集只有,易知它们在下的原象分别是,均为中的开集，从而连续.4、设为离散拓扑空间的任意子集，则（ ）答案：J理由：设为中的任何一点,因为离散空间中每个子集都是开集，所以是的开子集，且有，即,从而.5、设为平庸空间（多于一点）的一个单点集，则（ ）答案：义理由:设,则对于任意,有唯一的一个邻域,且有,从而，因此是的一个凝聚点，但对于的唯一的邻域,有，所以有。6、设为平庸空间的任何一个多于两点的子集，则（ ）答案：J理由：对于任意因为包含多于一点，从而对于的唯一的邻域,且有，因此是的一个凝聚点,即，所以有。7、设是一个不连通空间，则中存在两个非空的闭子集，使得（ ）答案：J理由:设是一个不连通空间，设是的两个非空的隔离子集使得,显然，并且这时有：从而是的一个闭子集，同理可证是的一个闭子集,这就证明了满足.8、若拓扑空间中存在一个既开又闭的非空真子集，则是一个不连通空间（ ）J理由：这是因为若设是中的一个既开又闭的非空真子集，令，则都是中的非空闭子集，它们满足，易见是隔离子集，所以拓扑空间是一个不连通空。五．简答题（每题4分）1、设是一个拓扑空间,是的子集，且。试说明.答案：对于任意,设是的任何一个邻域，则有,由于，从而，因此，故。2、设都是拓扑空间.，都是连续映射,试说明也是连续映射.答案:设是的任意一个开集,由于是一个连续映射，从而是的一个开集，由是连续映射，故是的一开集，因此是的开集，所以是连续映射。3、设是一个拓扑空间，.试说明：若是一个闭集，则的补集是一个开集.答案：对于,则，由于是一个闭集,从而有一个邻域使得,因此，即，所以对任何,是的一个邻域，这说明是一个开集.4、设是一个拓扑空间，.试说明：若的补集是一个开集，则是一个闭集.答案：设，则,由于是一个开集，所以是的一个邻域，且满足，因此，从而,即有，这说明是一个闭集。5、在实数空间R中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集，试写出的商拓扑及答案：6、在实数空间R中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集，试写出的商拓扑夕。答案:7、在实数空间R中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集，试写出的商拓扑女答案：8、在实数空间R中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集，试写出的商拓扑及答案:9、在实数空间R中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集，试写出的商拓扑夕。答案:10、在实数空间R中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集，试写出的商拓扑夕。答案：11、在实数空间R中给定如下等价关系：或者或者设在这个等价关系下得到的商集，试写出的商拓扑夕。答案：六、证明题（每题8分）1、设是从连通空间到拓扑空间的一个连续映射.则是的一个连通子集。证明：如果是的一个不连通子集,则存在的非空隔离子集使得……………3分于是是的非空子集，并且:所以是的非空隔离子集此外，，这说明不连通，矛盾。从而是的一个连通子集。…………8分2、设是拓扑空间的一个连通子集,证明：如果和是的两个无交的开集使得,则或者,或者.证明：因为是的开集,从而是子空间的开集。又因中，故…4分由于是的连通子