弹塑性本构关系简介

弹塑性本构关系简介第1页/共78页一、平衡方程第6节弹性力学基本方程二、几何方程三、本构关系五、边界条件(应力,位移)转图第2页/共78页2.4、3D问题的基本方程（分量形式，指标形式）可将2D问题的基本方程推广到3D问题，下图为3D情形下的应力分量。微单元体的几种平衡关系沿x、y、z方向上的所有合力的平衡沿绕x、y、z方向上的所有合力矩的平衡第3页/共78页本构关系

对线弹性介质在小变形情况下只有两个独立的弹性常数，但应力应变（本构）关系有多种表示形式：

用G和μ表示

用G和体积模量K表示第4页/共78页式中应力和应变偏张量分别为

如果用拉梅（Lame）常数表示，则有

弹性常数间有如下关系第5页/共78页

利用上述关系，只要已知两个弹性常数就可写出有限元分析中的弹性矩阵(D)。

例如，当以G和μ表示时，以张量形式表示的本构关系为由此可获得弹性张量Dijkl。其他可仿此写出。第6页/共78页弹性张量Dijkl第7页/共78页虚位移原理与虚力原理1.虚位移原理和最小势能原理1）虚位移原理的虚功方程——矩阵表达δWe=∫V[Fb]Tδ[u]dV+∫Sσ[Fs]Tδ[u]dS=δWi=∫V[σ]Tδ[ε]dV体积力虚功表面力虚功虚变形功δWe=∫VFbiδuidV+∫SσFsiδuidS=δWi=∫VσijδεijdV虚功方程——张量表达第8页/共78页2）势能原理的数学表达Ve=Vε+VP=1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV-∫SσFsiuidS=min总势能应变能外力势能2虚力原理1）虚力原理的表述

给定位移状态协调的充分必要条件为：对一切自平衡的虚应力，恒有如下虚功方程成立（矩阵）∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T[u]0dS虚反力功表面给定位移虚余变形功第9页/共78页虚功方程——张量表达∫VεijδσijdV=∫Suδσijnjui0dS第10页/共78页2）

余能原理和由虚位移原理导出势能原理一样，由虚力原理∫V[ε]Tδ[σ]dV=∫Su([L]δ[σ])T[u]0dS可得δ(1/2∫V[ε]T

[σ]dV-∫Su([L]

[σ])T[u]0dS)=0记VC如下所示，并称为变形体的总余能VC=1/2∫V[ε]T

[σ]dV-∫Su([L]

[σ])T[u]0dS则由δVC=0可得

在一切可能的静力平衡状态中，某应力状态为真实应力的充要条件是，变形体的总余能取驻值。对线弹性体，此驻值为最小值。余能原理第11页/共78页余能原理等价于协调，表达为VC=1/2∫VσijεijdV-∫SuFsiu0idS=min利用格林公式，可证明Ve+VC=0简单来说，势能原理等价平衡，表达为Ve=Vε+VP=1/2∫VσijεijdV-∫VFbiuidV-∫SσFsiuidS=min第12页/共78页平面问题3结点三角形单元的有限元格式1、结构离散2、确定单元位移模式及插值函数第13页/共78页

在有限单元法中单元的位移模式一般采用多项式作为近视函数，因此多项式运算简便，并且随着项数的增多，可以逼近任何一段光滑的函数曲线。多项式的选取由低次到高次。

3结点三角形单元位移模式选取一次多项式：单元内的位移是坐标x，y的线性函数。β1～β6是待定系数，称之为广义坐标。6个广义坐标可由单元的6个结点位移来表示。把上式代入代入单元3个结点i、j、m在x方向的位移ui，可得：（5－1）第14页/共78页解的广义坐标β1～β3为：（a）第15页/共78页其中：（5－2）把（5－2）式写成矩阵形式有：第16页/共78页收敛准则1、位移模式必须包含单元的刚体位移满足条件1、2的单元为完备单元多项式位移模式阶次的选择——按照帕斯卡三角形选2、位移模式必须能包含单元的常应变3、位移模式在单元内要连续、并使相邻单元间的位移必须协调满足条件3的单元为协调单元几何各向同性：位移模式应与局部坐标系的方位无关帕斯卡三角形多项式应有偏惠的坐标方向，多项式项数等于单元边界结点的自由度总数。第17页/共78页3、应变矩阵和应力矩阵

确定了单元位移后，可以方便地利用几何方程和物理方程求得单元的应变和应力，因此有：单元应力可以根据物理方程求得：其中：S称为应力矩阵，第18页/共78页4利用最小势能原理建立有限元方程

最小势能原理的泛函总位能Ⅱp的表达式，在平面问题中采用矩阵表达形式为：

对于离散模型，系统势能是各单元势能之和，利用单元的位移表达式代入上式有：第19页/共78页将以上各式代入泛函表达式，离散形式的总位能可表示为：所以有：这样我们得到有限元的求解方程是：5引入位移边界条件第20页/共78页单元刚度矩阵的坐标变换坐标转换矩阵第21页/共78页有限元(二)的具体内容材料(非线性)本构关系固体力学大变形基础非线性方程组的解法材料非线性有限元分析大变形有限元分析边界元法－流体计算第22页/共78页弹塑性本构关系简介1弹塑性力学有关内容简介2几种常用弹塑性材料模型简介3弹塑性矩阵的建立步骤第23页/共78页固体力学大变形基本知识1.物体运动的物质描述2.欧拉、拉格朗日和克希荷夫应力3.大变形时平衡方程和虚位移原理4.大变形本构关系第24页/共78页非线性代数方程组的数值解法1直接迭代法2牛顿法和修正牛顿法3拟牛顿法4增量方法5增量弧长法第25页/共78页材料非线性有限元分析弹塑性问题的有限单元法第26页/共78页大变形问题的有限单元法1.弹性大变形问题的有限元法2.物质描述大变形增量问题的T.L、U.L法第27页/共78页

非线性弹性介质的本构关系，一般是根据材料的力学试验通过拟合来得到的。例如金属材料单向拉伸Romberg-Osgood模型的关系为式中k和n为拟合的实验参数，E为初始弹性模量。一般情况下本构关系可表为非线性弹性小变形在有限元分析中有两种应用形式：全量形和增量形本构关系。第28页/共78页

全量本构关系的表达形式和线性弹性情况相同，也即全量形式本构关系但其中的弹性系数Gs,μs不再是常数，它们是应变或应力的函数，分别称为割线弹性系数。可将它们看作与一定应力（或应变）水平对应的割线常数（割线剪切模量和割线泊松比）。式中为割线弹性张量，形式上它仍可表为第29页/共78页

例如对混凝土，Andenaes等依据实验给出，八面体正应力、切应力和八面体线应变、角应变间关系为σoctεoctKsKt并有其中G、K分别为初始切线剪切和体积模量，为混凝土单轴抗压强度，a、m、c和p为由试验确定的常数。GtGs第30页/共78页第31页/共78页第32页/共78页1.2.2增量形式本构关系

增量本构关系的表达形式为但其中的弹性系数Gt,μt也不是常数，也是应变或应力的函数，分别称为切线弹性系数。可将它们看作与一定应力（或应变）水平对应的切线常数（切线剪切模量和切线泊松比）。式中为切线弹性张量，形式上仍可表为第33页/共78页a韧性（塑性）金属材料单向拉伸试验曲线如下图示意2.1应力空间表述的弹塑性本构关系2.弹塑性力学有关内容简介弹性极限屈服下限屈服上限强度极限强化段软化段弹性变形残余变形卸载第34页/共78页包辛格效应反向屈服点卸载、反向加载第35页/共78页

由单向拉伸曲线可见，弹塑性材料受外部作用的反应和变形的历史有关（可称为历史相关性或路径相关性），因此本构关系应写成增量关系。又因弹塑性状态下加载和卸载有不同的规律，所以其本构关系的表述要比非线性弹性情况复杂。b静水压力试验第36页/共78页第37页/共78页

以应力为坐标，其每点代表一个应力状态，如此的空间称为应力空间。

判断材料处于弹性还是塑性的准则，称为屈服条件或塑性条件。1)屈服条件和屈服面

弹性和塑性区的分界面称为屈服面。空间屈服面应是一个凸曲面。屈服线

屈服条件曾经有最大主应力（伽）、最大主应变（圣）假设，但后来都被实验所否定。第38页/共78页

后来法国的H.Tresca提出，最大切应力达某一极限值时，材料即进入塑性状态。德国的R.Von.Mises及H.Hencky又进一步指出，弹性形变比能（也称歪形能）达一定值时材料进入塑性。对韧性金属，这一假设比较接近实际。W=1/2σijεij第39页/共78页

从自然状态第一次进入屈服的屈服条件称初始屈服条件，产生塑性变形后的屈服条件称后继屈服条件。初始屈服条件可表为：，它只与当前应力状态有关。屈服条件都可看成应力空间的超曲面，初始屈服条件称初始屈服面，后继屈服条件称后继屈服面，统称屈服面。

如果一点应力的,则此点处于弹性状态，如果，则处于塑性状态。第40页/共78页弹性等向强化随动强化

屈服面随内变量改变的规律称强化规律。由材料试验的资料可建立各种强化模型，目前广泛采用的有：等向强化；随动强化两种模型。第41页/共78页

等向强化认为屈服面形状不变，只是作均匀的扩张，后继屈服面仅与一个和内变量有关的参数有关，可表为：

随动强化则认为屈服面大小和形状不变，仅是整体地在应力空间中作平动，其后继屈服面可表为：

多数材料的屈服面介于两者间。如果应力空间中应力方向变化不大，等向强化与实际较符合。它的数学处理简单，故应用较广。但当需考虑循环荷载下耗能时，随动强化可反应包辛格效应，因此应该用它。第42页/共78页2）塑性状态的加载和卸载准则跳转

在外部作用下应变点仍在屈服面上，并有新的塑性变形发生，此时称这个过程为塑性加载。

如果应变点离开屈服面退回弹性区，反应是纯弹性的，此过程称塑性卸载。

应变点不离开屈服面，又无新的塑性变形发生，此时称中性变载。转下第43页/共78页塑性加载塑性卸载中性变载第44页/共78页2-2)具有强化的弹塑性材料跳转2-1）理想弹塑性材料

由于此时屈服面大小和形状不随内变量发展而改变，因此屈服面为。用公式表示理想弹塑性材料的加卸载准则为：卸载，弹性加载，塑性卸载，弹性加载，塑性中性变载，塑性对软化材料，无法建立加、卸载准则。转图第45页/共78页理想弹塑性材料等向强化弹塑性材料随动强化弹塑性材料第46页/共78页3）流动准则

在塑性力学中，认为材料进入塑性后存在一个势函数（简称塑性势）。塑性应变增量可由势函数给出：

流动准则又可分为正交（相关）流动准则和非正交（非相关）流动准则两种。前者认为塑性势就是屈服面，因此。而后者则认为塑性势和屈服面不同。对正交准则，塑性流动方向垂直于屈服面，加、卸载准则取决于非负的尺度因子dλ，它大于零，表示加载，等于零，表示其他情况。第47页/共78页4）弹塑性本构关系

在应力增量dσij作用下，应变增量dεij可分成弹性和塑性两部分。弹性部分

在上述概念基础上，下面讨论材料非线性分析的核心问题——正交流动弹塑性本构关系。因此总应变为弹性张量

因为在卸载和中性变载状态dλ=0，因此反应是纯弹性的。第48页/共78页

对于具有强化的加载状态，因为屈服面为因此又因为则由df=0（也称一致性条件）可得在永久变形标志k各种不同取法情况下，dk将有不同的形式，若统一记一致性条件第49页/共78页

由此可见，只要建立了屈服面方程，则对应加载状态应力增量dσij的应变增量dεij为若引入如下记号：则弹塑性本构关系可统一表示成

上述本构方程是以应力为基本未知量的，它只适用于强化材料。第50页/共78页2.2应变空间表述的弹塑性本构关系

以应变空间来讨论，能给出对强化、软化和理想塑性材料普遍适用的本构关系表达式。

由于所有的讨论基本上和应力空间对应，因此下面只是简单列出有关式子。1)屈服条件和屈服面屈服面方程初始屈服面屈服面内弹性，屈服面上塑性。2)加、卸载和流动准则第51页/共78页对正交流动准则dλ大于零表示加载，等于零表示其他情况。3)弹塑性本构关系式中第52页/共78页同样，若引入如下记号：则弹塑性本构关系也可统一表示成式中称塑性矩阵，称弹塑性矩阵。

上述本构方程是以应变为基本未知量的，它适用于理想塑性、强化和软化材料。第53页/共78页2.3两种表述的关系

由于建立屈服函数的实验研究多为用应力表示的，关于强化、软化和理想塑性等是用应变定义的，但是应变空间本构有很大局限性。因此有必要把应变空间表述的本构关系转换成用应力表示。

在应力空间的屈服面方程为由于，。将其代入屈服面方程，则可得到应变空间的屈服面第54页/共78页

建立了两空间屈服面关系后，对应变空间的导数就可用应力空间屈服面的导数来计算利用上述式子，即可将应变空间的本构方程和加、卸载准则用应力屈服面函数表示如下：第55页/共78页3.常用弹塑性材料模型简介3.1Tresca准则第56页/共78页3.常用弹塑性材料模型简介在主应力状态下，第二不变量为

J2是应力偏张量的第二不变量，由于偏张量第一不变量等于零，因此3.2米塞斯（Mises）第57页/共78页3.常用弹塑性材料模型简介3.2米塞斯（Mises）准则第58页/共78页3.常用弹塑性材料模型简介3.2米塞斯（Mises）准则第59页/共78页3.几种常用弹塑性材料模型简介3.3等向强化-软化的米塞斯（Mises）材料

由薄壁圆筒的实验研究可得，这种材料的屈服面方程为在主应力状态下，第二不变量为式中J2是应力偏张量的第二不变量，由于偏张量第一不变量等于零，因此第60页/共78页

在单向拉伸状态下，J2=σ2/3。在纯剪状态下，J2=τ2。一般情况下，sij=σij-σkkδij/3,所以.

屈服面式中χ(k)，是由单向应力状态的数据确定的屈服参数。在单向拉伸时为χ2=σB2/3。在纯剪状态下χ=τB。任何情况下χ都是硬化参数塑性功wp的函数。

根据屈服面表达式，可求得因为第61页/共78页因此为了求A，需先由屈服面对wp的偏导数求M式中Gp是曲线的斜率。同理，对单向拉伸情况，-M=Ep/3。第62页/共78页由此可得A=G+Gp（或A=G+Ep/3），又因因为纯剪Gp是塑性剪切模量单向拉伸Ep是塑性拉伸模量第63页/共78页由此可得弹塑性矩阵为加、卸载准则为统一的本构关系为第64页/共78页3.4随动强化的米塞斯材料

这种材料的屈服面方程为

由此屈服面方程出发，求导可得式中α是与内变量有关的量，称为应力迁移张量，由它可以确定屈服面在应力空间的位置。是一个常量，表示屈服面形状不变。如上推导即可得到应变空间的本构关系和流动准则。米塞斯屈服准则主要适用于金属材料。第65页/共78页4.弹塑性矩阵的建立步骤4)根据硬化参数的选取，计算M。3)用弹性矩阵或张量和相乘。5)由