2023版高中数学第三章导数及其应用章末分层突破学案

本文格式为Word版，下载可任意编辑——2023版高中数学第三章导数及其应用章末分层突破学案第三章导数及其应用

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①斜率

②y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)③f′(x)±g′(x)④f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)⑤

f′?x?g?x?－f?x?g′?x?

[g?x?]

2

1

导数的几何意义利用导数的几何意义求切线方程时，关键是搞清所给的点是不是切点，常见类型有两种：(1)函数y＝f(x)“在点x＝x0处的切线方程〞，这种类型中(x0，f(x0))是曲线上的点，其切线方程为y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0).

(2)函数y＝f(x)“过某点的切线方程〞，这种类型中，该点不一定是切点，可先设切点Q(x1，y1)，则切线斜率为f′(x1)，再由切线过点P(x0，y0)得斜率为

y1－y0

，又由y1＝f(x1)，x1－x0

由上面两个方程可得切点(x1，y1)，即求出了过点P(x0，y0)的切线方程.

已知函数f(x)＝ax＋3x－6ax－11，g(x)＝3x＋6x＋12，直线m：y＝kx＋9，

且f′(－1)＝0.

(1)求a的值；

(2)是否存在实数k，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是y＝g(x)的切线？假使存在，求出k的值；假使不存在，说明理由.

(1)求f′?x?→f′?－1?＝0→求得a(2)设直线m与y＝g?x?相切→求出相应切线的斜率与切线方程→检验切线是否与y＝f?x?相切→得结论

(1)由于f′(x)＝3ax＋6x－6a，且f′(－1)＝0，所以3a－6－6a＝0，得a＝－2.

(2)由于直线m过定点(0,9)，先求过点(0,9)，且与曲线y＝g(x)相切的直线方程.设切点为(x0,3x0＋6x0＋12)，又由于g′(x0)＝6x0＋6.所以切线方程为

2

2

3

2

2

y－(3x20＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0).

将点(0,9)代入，

得9－3x0－6x0－12＝－6x0－6x0，所以3x0－3＝0，得x0＝±1.

当x0＝1时，g′(1)＝12，切点坐标为(1,21)，所以切线方程为y＝12x＋9；

当x0＝－1时，g′(－1)＝0，切点坐标为(－1,9)，所以切线方程为y＝9.

下面求曲线y＝f(x)的斜率为12和0的切线方程：

2

22

2

由于f(x)＝－2x＋3x＋12x－11，所以f′(x)＝－6x＋6x＋12.

由f′(x)＝12，得－6x＋6x＋12＝12，解得x＝0或x＝1.

当x＝0时，f(0)＝－11，此时切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，f(1)＝2，此时切线方程为y＝12x－10.所以y＝12x＋9不是公切线.由f′(x)＝0，得－6x＋6x＋12＝0，解得x＝－1或x＝2.

当x＝－1时，f(－1)＝－18，此时切线方程为y＝－18；当x＝2时，f(2)＝9，此时切线方程为y＝9，所以y＝9是公切线.

综上所述，当k＝0时，y＝9是两曲线的公切线.

此题直线m恒过点?0，9?是解题的突破口，即若m是f?x?，g?x?的公切线，则切线必过点?0，9?.一般说来，求过定点的两曲线公切线的一般思路是：先求出过定点的一曲线的切线方程，再令斜率值与另一曲线的导数相等，求出可能的切点，得出对应切线方程.若两条直线方程一致，则为公切线；若不同，则不存在公切线.当然，也可能会存在切线斜率不存在的状况.

[再练一题]

1.已知函数f(x)＝x＋x－16.

(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；

(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；1

(3)假使曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程.

4

(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上.∵f(x)＝(x＋x－16)′＝3x＋1，

∴f(x)在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y－(－6)＝13(x－2)，即y＝13x－32.(2)设切点为(x0，y0)，

则直线l的斜率为f′(x0)＝3x0＋1，

3

2

3

2

3

22

2

32

∴直线l的方程为y＝(3x0＋1)(x－x0)＋x0＋x0－16.又∵直线l过点(0,0)，

∴0＝(3x0＋1)(－x0)＋x0＋x0－16，整理得，x0＝－8，∴x0＝－2.

∴y0＝(－2)＋(－2)－16＝－26.

332

3

23

k＝3×(－2)2＋1＝13.

∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26).(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，

4∴切线的斜率k＝4.

设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x0＋1＝4，∴x0＝±1，

??x0＝1，∴???y0＝－14

2

x

??x0＝－1，

或???y0＝－18.

即切点坐标为(1，－14)或(－1，－18).切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.

利用导数研究函数的单调性在某个区间(a，b)内，假使f′(x)＞0，则f(x)在这个区间上为增函数；假使f′(x)＜0，则f(x)在这个区间上为减函数.应注意：在区间内f′(x)＞0[或f′(x)＜0]是f(x)在这个区间上为增函数(或减函数)的充分条件，而不是必要条件.假使f(x)在某个区间上为增函数，那么f′(x)≥0；假使f(x)在某个区间上为减函数，那么f′(x)≤0.

利用导数研究函数单调性的步骤为：(1)求f′(x)；

(2)解不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0；(3)确定并指出函数的单调递增区间、递减区间.

4x－7

已知函数f(x)＝，x∈[0,1]

2－x(1)求f(x)的单调区间和值域；

(2)设a≥1，函数g(x)＝x－3ax－2a，x∈[0,1]，若对于任意x1∈[0,1]，总存在

3

2

2

x0∈[0,1]，使得g(x0)＝f(x1)成立，求a的取值范围.

(1)求f′(x)，列表，求单调区间及最值；

4

(2)任意存在型问题，转化为f(x)的值域是g(x)值域的子集.

－4x＋16x－7?2x－1??2x－7?

(1)f′(x)＝＝－，22?2－x??2－x?17

令f′(x)＝0，得x＝或x＝(舍去).

22

当x变化时，f′(x)，f(x)的变化状况如下表：

2

xf′(x)f(x)0?0，1??2???－↘120－4?1，1??2???＋↗1－37－2?1?∴当x∈?0，?时，f(x)是减函数；?2??1?当x∈?，1?时，f(x)是增函数.?2?

当x∈[0,1]时，f(x)的值域为[－4，－3].(2)对函数g(x)求导，得g′(x)＝3(x－a).∵a≥1，当x∈[0,1]时，g′(x)＜3(1－a)≤0，且g′(x)＝0的根为有限个.∴当x∈[0,1]时，g(x)为减函数.∴当x∈[0,1]时，g(x)∈[g(1)，g(0)].又g(1)＝1－2a－3a，g(0)＝－2a，即g(x)∈[1－2a－3a，－2a].任给x1∈[0,1]，f(x1)∈[－4，－3].存在x0∈[0,1]，使得g(x0)＝－f(x1)，则[1－2a－3a，－2a]

22

22

2

2

2

[－4，－3]，

?1－2a－3a≤－4，①?即???－2a≥－3，②

53解①式得a≥1或a≤－，解②式得a≤.

32

?3?又a≥1，∴a的取值范围为?1，?.

?2?

1.利用导数求函数的单调区间，也就是求函数定义域内不等式f′(x)＞0或f′(x)＜0的解集.

5

2.已知函数在某个区间上单调，求参数问题，寻常是转化为恒成立问题.

[再练一题]

2.已知a∈R函数f(x)＝(－x＋ax)e(x∈R).(1)当a＝2时，求函数f(x)的单调区间；

(2)若函数f(x)在(－1,1)上单调递增，求a的取值范围.当a＝2时，f(x)＝(－x＋2x)e，

2

2

xxf′(x)＝(－x2＋2)ex.

当f′(x)＞0时，(－x＋2)e＞0，注意到e＞0，

所以－x＋2＞0，解得－2＜x＜2.

所以，函数f(x)的单调递增区间为(－2，2).同理可得，函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞).

(2)由于函数f(x)在(－1,1)上单调递增，所以f′(x)≥0在(－1,1)上恒成立.又f′(x)＝[－x＋(a－2)x＋a]e，即[－x＋(a－2)x＋a]e≥0，注意到e＞0，

因此－x＋(a－2)x＋a≥0在(－1,1)上恒成立，

22

2

2

2

xxxxxx2＋2x1

也就是a≥＝x＋1－在(－1,1)上恒成立.

x＋1x＋1

设y＝x＋1－

1

，x＋1

1

则y′＝1＋2＞0，

?x＋1?即y＝x＋1－

1

在(－1,1)上单调递增，x＋1

13

则y＜1＋1－＝，

1＋123故a≥.2

?3?即a的取值范围为?，＋∞?.?2?

导数与函数的极值(最值)及恒成立问题利用导数研究函数的极值和最值应明确求解步骤，求解时切记函数的定义域，正确区分最值与极值的不同.函数的极值表示函数在一点附近的状况，是在局部对函数值比较大小；

6

而最值是在整个区间上对函数值比较大小.函数的极值可以有多个，但最值只能有一个，极值只能在区间内取得，而最值还可以在端点处取得，最值只要不在端点处，必是一个极值.

已知函数f(x)＝x－3ax－9ax＋a.(1)设a＝1，求函数f(x)的极值；

13

(2)若a＞，且当x∈[1,4a]时，f(x)≥a－12a恒成立，试确定a的取值范围.

3(1)当a＝1时，f(x)＝x－3x－9x＋1且f′(x)＝3x－6x－9，由f′(x)＝0得x＝－1或x＝3.

当x＜－1时，f′(x)＞0，当－1＜x＜3时，f′(x)＜0，因此x＝－1是函数的极大值点，极大值为f(－1)＝6；

当－1＜x＜3时，f′(x)＜0，当x＞3时，f′(x)＞0，因此x＝3是函数的微小值点，微小值为f(3)＝－26.122

(2)∵f′(x)＝3x－6ax－9a＝3(x＋a)(x－3a)，a＞，

3∴当1≤x＜3a时，f′(x)＜0；当3a＜x≤4a时f′(x)＞0.

∴x∈[1,4a]时，f(x)的最小值为f(3a)＝－26a.由f(x)≥a－12a在[1,4a]上恒成立得－26a≥a－12a.22解得－≤a≤.33112又a＞，∴＜a≤.

333

3

3

33

3

2

2

3

2

2

3

?12?即a的取值范围为?，?.

?33?

一般地，已知不等式在某区间上恒成立，求参数的取值范围问题，都可以转化为求函数的最值问题，而导数是解读函数最值问题的有力工具.

[再练一题]

3.已知函数f(x)＝ax＋bx＋cx在点x0处取得微小值－4，使其导函数f′(x)＞0的x的取值范围为(1,3).

(1)求f(x)的解析式及f(x)的极大值；

(2)当x∈[2,3]时，求g(x)＝f′(x)＋6(m－2)x的最大值.

(1)由题意知f′(x)＝3ax＋2bx＋c＝3a(x－1)·(x－3)(由题意f′(x)＞0

7

2

3

2

的x的范围(1,3)可知a＜0)，

∴在(－∞，1)上f′(x)＜0，f(x)是减函数，在(1,3)上f′(x)＞0，f(x)是增函数，在(3，＋∞)上f′(x)＜0，f(x)是减函数.

因此f(x)在x0＝1处取得微小值－4，在x＝3处取得极大值.

a＋b＋c＝－4，??

∴?f′?1?＝3a＋2b＋c＝0，??f′?3?＝27a＋6b＋c＝0，

解得a＝－1，b＝6，c＝－9，∴f(x)＝－x＋6x－9x.

3

2

则f(x)在x＝3处取得极大值f(3)＝0.

(2)g(x)＝－3x＋12x－9＋6(m－2)x＝－3(x－2mx＋3)，

2

2

g′(x)＝－6x＋6m＝0，得x＝m.

①当2≤m≤3时，

g(x)max＝g(m)＝3m2－9；

②当m＜2时，g(x)在[2,3]上是递减的，g(x)max＝g(2)＝12m－21；③当m＞3时，g(x)在[2,3]上是递增的，g(x)max＝g(3)＝18m－36.12m－21，m＜2，??2

因此g(x)max＝?3m－9，2≤m≤3，

??18m－36，m＞3.

导数与不等式问题利用导数研究函数是高考的必考内容，也是高考的重点、热点.考题利用导数作为工具，考察求函数的单调区间、函数的极值与最值，参数的取值范围等问题，若以选择题、填空题出现，以中低档题为主；若以解答题形式出现，则难度以中档以上为主，有时也以压轴题的形式出现.考察中常渗透函数、不等式等有关知识，综合性较强.

lnx＋k已知函数f(x)＝(k为常数，e＝2.71828?是自然对数的底数)，曲线xe

y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与x轴平行.

(1)求k的值；

(2)求f(x)的单调区间；

(3)设g(x)＝xf′(x)，其中f′(x)为f(x)的导函数.证明：对任意x＞0，g(x)＜1＋e

－2

.

(3)中要借助于(2)的结论，构造函数.

8

1

－lnx－kx(1)f′(x)＝，xe1－k由已知，f′(1)＝＝0，∴k＝1.

e1

－lnx－1x(2)由(1)知，f′(x)＝.xe

111

设k(x)＝－lnx－1，则k′(x)＝－2－＜0，即k(x)在(0，＋∞)上是减函数，

xxx由k(1)＝0知，当0＜x＜1时，k(x)＞0，从而f′(x)＞0，当x＞1时，k(x)＜0，从而f′(x)＜0.

综上可知，f(x)的单调递增区间是(0,1)，单调递减区间是(1，＋∞).

(3)由(2)可知，当x≥1时，g(x)＝xf′(x)≤0＜1＋e，故只需证明g(x)＜1＋e在0＜x＜1时成立.

当0＜x＜1时，e＞1，且g(x)＞0，1－xlnx－x∴g(x)＝＜1－xlnx－x.xe设F(x)＝1－xlnx－x，x∈(0,1)，则F′(x)＝－(lnx＋2)，当x∈(0，e)时，F′(x)＞0，当x∈(e

－2,

－2

－2

－2

x1)时，F′(x)＜0，

－2

－2

－2

－2

所以当x＝e时，F(x)取得最大值F(e)＝1＋e.所以g(x)＜F(x)≤1＋e.综上，对任意x＞0，g(x)＜1＋e.

利用导数解决不等式问题?如：证明不等式，比较大小等?，其实质就是利用求导数的方法研究函数的单调性，而证明不等式?或比较大小?常与函数最值问题有关.因此，解决该类问题寻常是构造一个函数，然后判断这个函数的单调性，结合给定的区间和函数在该区间上的最值使问题得以求解.

[再练一题]

12

4.已知函数f(x)＝x－alnx(a∈R)，

2(1)若f(x)在x＝2时取得极值，求a的值；(2)求f(x)的单调区间；

1223

(3)求证：当x＞1时，x＋lnx＜x.

23

9

－2

(1)f′(x)＝x－，由于x＝2是一个极值点，所以2－＝0，则a＝4.此时f′(x)

x24?x＋2??x－2?

＝x－＝，由于f(x)的定义域是(0，＋∞)，所以当x∈(0,2)时，f′(x)

aaxx＜0；当x∈(2，＋∞)，f′(x)＞0，所以当a＝4时，x＝2是一个微小值点，则a＝4.

ax2－a(2)由于f′(x)＝x－＝，所以当a≤0时，f(x)的单调递增区间为(0，＋∞).

xxax2－a?x＋a??x－a?

当a＞0时，f′(x)＝x－＝＝，所以函数f(x)的单调递增

xxx区间(a，＋∞)；递减区间为(0，a).

231212

(3)证明：设g(x)＝x－x－lnx，则g′(x)＝2x－x－，由于当x＞1时，g′(x)

32x?x－1??2x＋x＋1?1

＝＞0，所以g(x)在x∈(1，＋∞)上为增函数，所以g(x)＞g(1)＝

x61223

＞0，所以当x＞1时，x＋lnx＜x.

23

2

导数的实际应用利用导数求函数的极大(小)值、求函数在区间[a，b]上的最大(小)值或利用求导法解决一些实际问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使繁杂的问题简单化，因而已逐渐成为高考的又一新热点.

利用导数求实际问题的最大(小)值时，应注意的问题：

(1)求实际问题的最大(小)值时，一定要符合问题的实际意义，不符合实际意义的值应舍去.

(2)在实际问题中，由f′(x)＝0往往仅得到一个根，若能判断出函数的最大(小)值在

x的变化区间内部得到，则这个根处的函数值就是所求的最大(小)值.

某企业拟建造如图3-1所示的容器(不计厚度，长度单位：米)，其中容器的中

80π

间为圆柱形，左右两端均为半球形，依照设计要求容器的容积为立方米，且l≥2r.假

3设该容器的建造费用仅与其表面积有关.已知圆柱形部分每平方米建造费用为3千元，半球形部分每平方米建造费用为c(c＞3)千元.设该容器的建造费用为y千元.

(1)写出y关于r的函数表达式，并求该函数的定义域；(2)求该容器的建造费用最小时的r.

10

图3-1

(1)设容器的容积为V，由题意知V＝πr2l＋43πr3

，又V＝80π3，

V－4

πr3

故l＝3πr2

＝80443r2－?20?

3r＝3??r2－r??

.由于l≥2r，因此0＜r≤2.所以建造费用y＝2πrl×3＋4πr2

c＝2πr×4?3?20?r2－r???×3＋4πr2

c，

因此y＝4π(c－2)r2

＋160πr，0＜r≤2.

(2)由(1)得

y′＝8π(c－2)r－

160π

＝8π?c－2?r2

r2???r3－20c－2?

??

，0＜r≤2.由于c＞3，所以c－2＞0，当r3

－20

3c－2＝0时，r＝20c－2

.

3令

20

c－2

＝m，则m＞0.所以y′＝8π?c－2?22

r2

(r－m)(r＋rm＋m).①当0＜m＜2，即c＞9

2时，

当r＝m时，y′＝0；当r∈(0，m)时，y′＜0；当r∈(m,2)时，y′＞0，

所以r＝m是函数y的微小值点，也是最小值点.②当m≥2，即3＜c≤9

2

时，

当r∈(0,2)时，y′＜0，函数单调递减，所以r＝2是函数y的最小值点.

综上所述，当3＜c≤9

2

时，建造费用最小时r＝2；

11

3209

当c＞时，建造费用最小时r＝.

2c－2

利用导数解答实际问题的一般步骤

1.利用题设中的条件建立目标函数.

2.根据题目中所要求解的问题，利用导数解答，寻常是通过判断函数的单调性来求最值.

[再练一题]

5.张林在李明的农场附近建了一个小型工