00020 高等数学（一） 历年真题汇总04年

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全国2023年1月高等教育自学考试

高等数学（一）试题

课程代码：00020

一、单项选择题（本大题共40小题，每题1分，共40分）

在每题列出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母填在题干后的括号内。1.y?1?x?arccosA.???,1?C.[-3，1]

1?x的定义域是（）2

B.??3,1?

D.???,?3??(?3,1)

2.设函数f(x+1)=x+cosx，则f(1)=（）A.0B.1

?D.1+cosx23.以下函数中为偶函数的是（）A.esinxB.(ex)2C.

1C.ex

D.e|x|

4.limA.4C.0

sin4x?（）

x?0ln(1?2x)

B.1D.2

1?x?（）

x???1?xA.cos1C.05.limcosn??

B.πD.cosπ

6.设lim|xn|?a(a?0),则（）A.数列{xn}收敛C.limxn??a

n??

B.limxn?a

n??D.数列{xn}可能收敛,也可能发散

7.当x→0时,以下变量中为无穷大量的是（）A.

x0.01

B.|x|D.

1?2xx8.函数y=f(x)在点x=x0处有有限极限是它在该点附近有界的（）A.必要条件B.充分条件C.充分必要条件D.无关条件

9.设函数在(a,b)上连续(a,b为有限数,a1??xsin,x?04．函数f(x)=?，在点x=0处（）x?x?0?0,A．极限不存在

C．可导

B．极限存在但不连续D．连续但不可导

5．设f(x)为可导函数，且limA．1C．2

f(x0??x)?f(x0)?1，则f?(x0)?（）

?x?02?xB．0

D．

126．设F(x)=f(x)+f(-x)，且f?(x)存在，则F?(x)是（）A．奇函数C．非奇非偶的函数7．设y=

B．偶函数

D．不能判定其奇偶性的函数

lnx，则dy=（）x1?lnxA．

x2lnx?1C．2x8．设y=lncosx，则f?(x)=（）A．

B．D．

1?lnxx2lnx?1x2dxdx

1B．tanxcosxC．cotxD．-tanx

9．以下四个函数中，在[-1，1]上满足罗尔定理条件的是（）A．y=|x|+1B．y=4x2+1

1C．y=2D．y=|sinx|

xx?310．函数y=2ln?3的水平渐近线方程是（）

xA．y=2B．y=1C．y=-3D．y=011．若F?(x)=f(x)，则F?(x)dx=（）A．F(x)C．F(x)+C

B．f(x)D．f(x)+C

?12．设f(x)的一个原函数是x，则f(x)cosxdx=（）A．sinx+CC．xsinx+cosx+C13．设F(x)=A．xexC．xe?x

22?B．-sinx+C

D．xsinx-cosx+C

?1xte?tdt，则F?(x)=（）

B．?xexD．?xe?x

222

14．设广义积分A．?≤1

???1x?1发散，则?满足条件（）

B．?1D．?≥1

?z=（）?xA．sin(3y-x)B．-sin(3y-x)C．3sin(3y-x)D．-3sin(3y-x)16．函数z=x2-y2+2y+7在驻点（0，1）处（）A．取极大值B．取微小值C．无极值D．无法判断是否取极值15.设z=cos(3y-x)，则

17．设D={(x,y)|x≥0，y≥0,x+y≤1}，I1?则（）A．I1>I2C．I1=I218．级数

??D(x?y)?dxdy,I2???D(x?y)?dxdy，00）

29．求微分方程y???7y??10y?2e?5x的通解。

四、应用题（每题8分，共16分）。

30．设某厂生产的某种产品固定成本为200（百元），每生产一个单位商品，成本增加5（百

元），且已知需求函数为Q=100-2P，其中P为价格，Q为产量，这种商品在市场上是畅销的。

（1）试分别列出商品的总成本函数C(P)及总收益函数R(P)；（2）求出访该商品的总利润最大时的产量；（3）求最大利润。x2131．求曲线y?和y?所围成的平面图形的面积。221?x全国2023年7月高等教育自学考试

高等数学（一）试题

课程代码：00020

一、单项选择题（本大题共20小题，每题2分，共40分）

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1.函数y?1x(e?e?x)是（）2B.奇函数D.奇偶性不能判定的函数）B.3+sin2xD.2+2cos2x

A.偶函数

C.非奇非偶函数2.设f(sinx)=3-cos2x，则f(cosx)=（A.3-sin2xC.2-2cos2x3.极限lim(1?3x)x?（）

x?01A.?

B.e-3

C.0

D.e3

4.函数f(x)?x?3的休止点是（）2x?3x?2

B.x=3

D.无休止点

A.x=1,x=2C.x=1,x=2,x=3

5.设函数f(x)可导，则limA.-f′(x)

f(x?2h)?f(x)?（）

h?0h1B.f?(x)

2

D.3f′(x)C.-1

D.2n

C.2f′(x)6.设y=sinx，则y(2n)|x=0=（）A.0B.17.设y=3x+e3,则dy=（）A.3xdxC.(3x+e3)dx

B.(3x+ln3)dx

D.3xln3dx

-第8页共67页-

8.在运用洛必达法则时，极限lim0f?(x)f(x)是型待定型极限lim?A（有限数或∞）?Ax?ag?(x)x?ag(x)0

B.充分条件D.无关条件

（有限数或∞）成立的（）A.必要条件C.充要条件

9.设f(u)是可导函数，则y?f?f(x)?对x的导数是（）A.f??f(x)??f(x)C.f??f(x)??f?(x)

B.f??f(x)?D.f??f?(x)?

10.函数y=3x-x3在区间（-1，1）内（）A.单调增加B.单调减少C.不增不减D.有增有减11.设F′(x)=f(x),则df(x)dx?（）A.f(x)C.F(x)12.若A.x3C.2x2

B.f(x)dxD.F(x)dx

?f(x)2dx?x?c,则f(x)=（）?x

23x312D.x2B.

13.设a>0，则A.

?2aaf(2a?x)dx?（）

B.??a0f(t)dt

?f(t)dt

0aC.2f(t)dt

0?aD.?2f(t)dt

0?a14.以下广义积分中，收敛的是（）A.C.

????e??1dxxdxxlnx?

B.D.

???elnxdxxe???edx2x(lnx)15.级数

?(n?5)(n?6)的和是（）

n?21151C.

7A.

?

1611D.?7n?6B.

xn16.幂级数?的收敛区间是（）

nn?1A.??1,1?

B.??1,1?

-第9页共67页-

C.（-1，1）

D.??1,1?

17.函数z=x4-3x+y在其定义域内（）A.有两个驻点B.有一个驻点C.没有驻点D.有三个驻点18.设z??xx?（），则?yy2

B.

A.

x2y12yC.?2xy3

D.?x2y19.

dxdy?（）??xy1?x?21?y?2A.（ln2）2C.

B.2ln2D.

12

1420.微分方程y″-6y′+9y=(x+1)e3x的特解形式是（）A.y*=(ax+b)e3xB.y*=x(ax+b)e3xC.y*=x2(ax+b)e3xD.y*=ae3x

二、简单计算题（本大题共5小题，每题4分，共20分）

ex?e?x?2x21.求极限lim

x?0x322.设y=y(x)是由方程x?ex?yy所确定的隐函数，求

dydx223.求不定积分xln(x?1)dx

?2n3nn24.求幂级数?(2?2)x的收敛半径

nn?1n?22xy25.设z?x?2y?lnx?y?3e，求

?z?z，?x?y三、计算题（本大题共4小题，每题6分，共24分）26.计算定积分I=

?a0x2a2?x2dx,(a?0)

27.设z?f(x,)，函数f有一阶连续偏导数，求dz28.将二重积分I?，其中D是由x+y=1,x-y=1??f(x,y)dxdy化为二次积分（两种次序都要）

Dyx和x=0所围成的闭区域29.求微分方程y″-4y′=5满足条件y|x=0=1,y′|x=0=0的特解四、应用题（本大题共2小题，每题8分，共16分）

30.假设某种商品的需求量Q是单价P（单位：元）的函数：Q=12000-80P，商品的总成本C

-第10页共67页-

是需求量Q的函数：C=25000+50Q，并且每单位商品需纳税2元，试求使销售利润最大的商品单价。

31.求曲线y=sinx和y=cosx与x轴在区间?0,?上所围平面图形的面积A以及该平面图形

2绕x轴一周所得之旋转体体积Vx

?????全国2023年10月高等教育自学考试

高等数学（一）试题

课程代码：00020

一、单项选择题（本大题共20小题，每题2分，共40分）

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。

1．以下函数中，函数的图象关于原点对称的是（）A．y=sin|x|C．y=-x3sinxA．y=ex,y=e-x

B．y=3sin2x+1D．y=x2sinxB．y=log2x,y=log1x

22．以下各函数中，互为反函数的是（）

C．y=tanx,y=cotx3．lim(1?n??1enD．y=2x+1,y=

1(x-1)2)sinn=（）

A．0

B．1D．∞B．(3,+∞)D．(-3,3)

C．不存在

4．设f(x)=ln(9-x2)，则f(x)的连续区间是（）A．（-∞,-3）C．[-3,3]

?x2?1,0?x?15．设f(x)=?,则f+′(1)=（）

3x?3,1?x?2?A．2C．3

B．-2D．-3B．2nsin(2x?D．2sin(x?6．设y=sin2x,则y(n)=（）n?A．2sin(2x?)

2C．2nsin(x?7．设y?eA．eC．??1xdxn?)2n?)2

n?)2?1x，则dy=（）

1B．exdx

?1x2e1xdx

D．

1x2e?1xdx

8．

d(x2?3x4)dx2?（）

-第11页共67页-

A．1?6x2C．2x?12x3

B．2?36x2D．x?6x3

e2x?1?（）9．limx?0sinxA．2C．0

B．1D．∞

10．函数y?A．y=1C．y=411．设

4(x?1)2

x2?2x?4的水平渐近线方程是（）

B．y=2D．不存在

?f(x)dx?secx?C，则f(x)=（）

B．tan2xD．secx·tan2x

A．tanx

x21?x6C．secx·tanx12．

?dx?（）

A．arcsinx3＋CC．3arcsinx3+C

1B．arcsinx3+C

3D．21?x6?C

1x113．以下广义积分中，收敛的是（）

11A．B．dx

0x??101dxdx

C．

?11x2x0dx

tD．

?0xx14．设

?edt?e，则x=（）

0A．e+1

B．eD．ln(e-1)

?C．ln(e+1)

?15．以下级数中条件收敛的是（）A．

?(?1)n?1n?12()n3B．

?n?1(?1)n?1n

C．

?(?1)n?1?n?1(13)

nD．

?n?1?(?1)n?1nn?22

1(x?)n2的收敛区间是（）16．幂级数

1?nn?1??A．(?C．[?31,)2231,)22

B．[?D．(?31,]2231,]22-第12页共67页-

17．设z=ln(x-y2)，则A．C．

1x?y21?2yx?y2?z?（）?y

B．D．

?2yx?y2x?2yx?y2

18．函数z?x2?2xy?y2?4x?2y?9的驻点是（）

13A．(,)

22

B．(?D．(?13,?)2213,?)2213C．(,?)

2219．

0?x?1??ex?ydxdy?（）

0?y?1A．e-1C．(e-1)2

B．eD．e2

20．设y=y(x)满足微分方程exy??1?0，且当x=0时，y=0，则x=-1时，y=（）A．1-eC．-e

B．1+eD．e

二、简单计算题（本大题共5小题，每题4分，共20分）

??x?1,x?021．探讨函数y??在点x=0处的连续性.

2??1?x,x?022．设y?1?x1?x，求y′|x=4

23．求不定积分24．设z??xsinxcosxdx.

，求dz.

1(ysinx)3?25．判断级数

?n?1(nn)的敛散性.2n?1三、计算题（本大题共4小题，每题6分，共24分）26．求z?x4?y4?4(x?y)?1的极值.

?(1?sinx)dx.

28．计算二重积分??xedxdy，其中D：x≤y≤1，0≤x≤1.

27．计算定积分I?30y3D?29．求微分方程cosxdy?ysinx?cos2x满足初始条件ydxx??=1的特解.

四、应用题（本大题共2小题，每题8分，共16分）

30．用薄铁皮做成一个容积为V0的有盖长方匣，其底为正方形，由于下底面无需喷漆，故其每单位面积成本仅为其余各面的一半，问长方匣的底面边长为多少时，才能使匣子的

-第13页共67页-

造价最低？

31．求抛物线y2?4x与直线x=1所围成的平面图形分别绕x轴和y轴旋转一周所得旋转体的体积Vx和Vy.

全国2023年10月高等教育自学考试

高等数学（一）试题

课程代码：00020

一、单项选择题（本大题共5小题，每题2分，共10分）

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1.设f(x)?x2,?(x)?2x，则f[?(x)]?（）A.2x

2

B.x2

x

C.x2x

D.22x

2.设函数f(x)在点a可导，且limA.

f(a?5h)?f(a?5h)?1，则f?(a)?（）

h?02h

C.2

D.

15B.5

123.设函数y=2x2，已知其在点x0处自变量增量?x?0.3时，对应函数增量?y的线性主部为-0.6，则x0=（）A.0

??B.1C.-0.5

??D.-4

4.以下无穷限积分中，发散的是（）A.C.

??1??xe?xdxx2e?xdx

B.D.

?1?dx

exlnx??dxexlnx2

5.设某商品的需求函数为Q=a-bp，其中p表示商品价格，Q为需求量，a、b为正常数，则

EQ

需求量对价格的弹性?（）

EP

bbA.?B.

a?bpa?bpC.?bpa?bpD.

bpa?bp二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.设函数f(x)的定义域是[-2，2]，则函数f(x+1)+f(x-1)的定义域是___________.7.limx[ln(x?2)?lnx]?___________.

x???8.limx?xcosx?___________.

x???x?sinx9.函数f(x)在点x0处左、右导数存在且相等是函数f(x)在x0可导的___________条件.10.函数y=lnx在[1，2]上满足拉格朗日中值定理的点ξ是___________.

-第14页共67页-

11.曲线y?x3?5x2?3x?5为凹的区间是___________.12.微分方程x13.设

dy?y?x3的通解是___________.dx?xdt1?t20?3,则x?___________.

14.设z=xln(xy)，则dz=___________.，则15.设D??(x,y)|x|??,0?y?1???(2?xy)dxdy?___________.

D三、计算题（一）（本大题共5小题，每题5分，共25分）16.设y=x5x，求dy.

lnsinx17.求极限lim.2?x?（??2x）218.求不定积分

?ln(1?x)x2dx.

19.计算定积分I=

?02?x2dx.

20.设方程x2+y2+z2=yez确定隐函数z=z(x,y)，求z′，zy′.四、计算题（二）（本大题共3小题，每题7分，共21分）

21.欲做一个容积100米3的无盖圆柱形容器，问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时，所用材料最省？并求此时所用材料的面积。22.计算定积分I?sinx)?(arc012dx.

23.将二次积分I??dx?0??siny2xydy化为先对x积分的二次积分并计算其值。

五、应用题（此题9分）

24.求曲线y=ex，y=e-x和直线x=1所围成平面图形的面积A以及其绕x轴旋转而成的旋转体的体积Vx.

六、证明题（此题5分）

?x?1?1,x?0??x25.证明函数f(x)??，在点x=0连续且可导.1?,x?0?2?

全国2023年7月高等教育自学考试

高等数学（一）试题

课程代码：00020

一、单项选择题（本大题共5小题，每题2分，共10分）

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。

-第15页共67页-

1．函数y=ln31?1的定义域是（）xA．(??,0)?(0,??)C．(0,1]

B．(??,0)?(1,??)D．(0,1)

?x,2．设f(x)=??x,x?0x?0，则f(x)在点x=0处（）

B．无极限D．连续B．充分条件

D．既非充分条件又非必要条件

A．无定义C．不连续

3．函数f(x)在点x=x0处连续是f(x)在x=x0处可导的（）A．必要条件C．充分必要条件

4．微分方程exy??1?0的通解是（）A．y?e?x?CC．y?ex?C

B．y??e?x?CD．y??ex?C

5．以下广义积分中，收敛的是（）

1dxA．

01?x1dxC．

01?x??dxex?1?dxD．

ex?1B．

???二、填空题（本大题10小题，每题3分，共30分）请在每题的空格中填上正确答案。

错填、不填均无分。

6．函数y=lnlnx的定义域是.7．lim0.99?????9=.???n??n8．lim3xsinx??1?.2xP，P为商品价格，则需求价格弹性函数为.79．设某商品的市场需求函数为D=1-10．设y=x2ex，则y??(0)=.11．函数y=2x+12．df(x)dx28(x?0)的单调增加的区间是.x=.

????1,0?x?113．设f(x)=?，则

2,1?x?2??f(x)dx?.0214．设u=xy，则

12?u?.?y(1,1)15．

?0e?ydy?y0dx?.-第16页共67页-

三、计算题（一）（本大题共5小题，每题5分，共25分）

1?cos3x16．求极限lim.

x?01?cos4x17．设y=

2x?arctanx，求y?.21?x18．求不定积分(x?1)cos2xdx.

1?19．计算定积分

?122x1?x2dx.

20．设z=z(x,y)是由方程xyz=a3所确定的隐函数，求dz.四、计算题（二）（本大题共3小题，每题7分，共21分）21．设y=lntanx+ln(ex+1?e2x)，求y?.22．求

??2?xcscxcotxdx.423．设D是xoy平面上由曲线y=x，直线y=?，x=0所围成的区域，试求五、应用题（此题9分）

24．（1）设某产品总产量的变化率是t的函数

的产量.

2

??Dsiny2dxdy.ydQ，求从第3天到第7天?3t2?6t（件/天）

dt（2）设某产品的边际成本函数为C?(x)?0.4x?3（百元/件），固定成本C0=10万元，求

总成本函数.

六、证明题（此题5分）25．证明：当x>0时，有

11x?x≤.

22全国2023年4月高等教育自学考试

高等数学（一）试题

课程代码：00020

一、单项选择题（本大题共5小题，每题2分，共10分）

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1.函数y?x?x2的定义域是（）A.?1,???

B.???,0?D.[0，1]

C.???,0???1,???

2.

?n?1?(ln3n)?（）2-第17页共67页-

A.

ln3

ln3?2B.

ln3

2?ln3(ln3)n1C.D.

2?ln32?ln33.设函数f(x)在x=a处可导，则f(x)在x=a处（）A.极限不一定存在B.不一定连续C.可微D.不一定可微4.设函数f(x)?(x-a)?(x),?(x)在x=a处可导，则（）A.f?(x)??(x)B.f?(a)???(a)C.f?(a)??(a)D.f?(x)??(x)?(x?a)

5.微分方程y??ex?2y的通解是（）A.y?C.y?1ln(2ex?C)2

B.y?ln(2ex?C)

1D.y?ln(ex?C)ln(ex?C)

2二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分）请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。?x?1,x?06.设f(x)??，则f(-1)=___________.

x?1,x?0?7.limn(n?1?n)?___________.

n??8.limx?2x?2x?2=___________.

q29.已知某商品的产量为q件时总成本为C（q）=100q+(百元)，则q=500件时的边际成

160本为___________.

f(a?2h)?f(a)?___________.

h?0h11.曲线y=xex为凸的区间是___________.10.设f(x)在x=a处可导，则lim12.曲线y=sinx在点x?2?处的切线方程为___________.3x13.cos(?1)dx?___________.

3z?x14.设x?ln，则=___________.

y?z??15.

?30d?rdr?___________.

0?3三、计算题（一）（本大题共5小题，每题5分，共25分）

1116.求极限lim(?x).

x?0xe?117.设y?sinx?cosx，求y′.

sinx?cosx18.求不定积分xln(x?1)dx.

?-第18页共67页-

19.计算定积分

?1121?x2x2dx.

y，求dz.x四、计算题（二）（本大题共3小题，每题7分，共21分）20.设z?lntan21.设y?2arctan1x，求y′.1?xdx的值.

22.求

?2arccosx(1?x)23023.设D是xoy平面上由直线y=x,x=2和曲线xy=1所围成的区域，试求

五、应用题（本大题9分）24.设D是xoy平面上由曲线y???yDx22d?.

1，直线x=-e,x=-1和x轴所围成的区域，试求：x（1）D的面积；

（2）D绕x轴旋转所成的旋转体的体积.六、证明题（本大题5分）

25.证明：函数y1=(ex+e-x)2和y2=(ex-e-x)2都是同一个函数的原函数.

全国2023年1月高等教育自学考试

高等数学（一）试题

课程代码：00020

一、单项选择题（本大题共20小题，每题2分，共40分）

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。

1x1.设函数f()?，则f(2x)?（）

xx?1A.C.

11?2xB.

21?x2(x?1)2(x?1)D.2xx2.已知f(x)=ax+b,且f(-1)=2,f(1)=-2,则f(x)=（）A.x+3B.x-3C.2xD.-2xxx)?（）

x??x?1A.eB.e-13.lim(4.函数y?

C.?D.1

x?3的连续区间是（）

(x?2)(x?1)A.(??,?2)?(?1,??)B.(??,?1)?(?1,??)

C.(??,?2)?(?2,?1)?(?1,??)

-第19页共67页-

D.?3,???

?(x?1)ln(x?1)2，x??15.设函数f(x)??在x=-1连续,则a=（）

?a，x??1A.1B.-16.设y=lnsinx,则dy=（）A.-cotxdxC.-tanxdx7.设y=ax(a>0,a?1),则y(n)

x?0?

C.2D.0

B.cotxdxD.tanxdx

（）

A.0B.1C.lnaD.(lna)n

8.设一产品的总成本是产量x的函数C(x),则生产x0个单位时的总成本变化率(即边际成本)是（）A.C.

C(x)xB.

C(x)xx?x0

dC(x)dC(x)D.x?x0dxdx9.函数y=e-x-x在区间(-1,1)内（）A.单调减小B.单调增加C.不增不减D.有增有减10.如可微函数f(x)在x0处取到极大值f(x0),则（）A.f?(x0)?0C.f?(x0)?0

B.f?(x0)?0D.f?(x0)不一定存在

11.[f(x)?xf?(x)]dx?（）A.f(x)+CC.xf(x)+C

B.xf(x)dxD.[x?f(x)]dx

???12.设f(x)的一个原函数是x2,则xf(x)dx?（）

?x3?CA.3

B.x5+Cx5?CD.152C.x3?C313.

?8?8e3xdx?（）

B.2e0A.0C.

?83xdx

?2?2edx

xD.3?2?2x2exdx

14.以下广义积分中,发散的是（）

1dxA.B.0x??1dxx0

-第20页共67页-

C.

?1dx03x

D.

?1dx01?x

?15.满足下述何条件,级数

?Un一定收敛（）

n?1nA.

?Ui有界

B.i?1nlim??Un?0

?C.nlimUn?1??U?r?1D.

n?|Un|收敛

n?116.幂级数??(x?1)n的收敛区间是（）

n?1A.?0,2?B.(0,2)C.?0,2?

D.(-1,1)

217.设z?e?xy,则

?z?y?（）x222A.e?y

B.

x?xyy2e

x2C.?2xe?y1?x2yyD.?ye

18.函数z=(x+1)2+(y-2)2的驻点是（）A.(1,2)B.(-1,2)C.(-1,-2)D.(1,-2)19.

??cosxcosydxdy?（）

0?x??20?y??2A.0

B.1

C.-1

20.微分方程

dydx?1?sinx满足初始条件y(0)=2的特解是（A.y=x+cosx+1B.y=x+cosx+2C.y=x-cosx+2D.y=x-cosx+3

二、简单计算题（本大题共5小题，每题4分，共20分）21.求极限nl?i?m(n?3?n)n?1.122.设y?xx,求y?(1).

23.求不定积分

?cos2x1?sinxcosxdx.

24.求函数z=ln(1+x2+y2)当x=1,y=2时的全微分.-第21页共67页-

D.2

）25.用级数的敛散定义判定级数

?n?1?1n?n?1的敛散性.

三、计算题（本大题共4小题，每题6分，共24分）

y?z?z?y.26.设z?xy?xF(u),u?,F(u)为可导函数,求xx?x?y27.计算定积分I?28.计算二重积分I??21xlnxdx.

cos(x2?y2)dxdy,其中D是由x轴和y???D??x2所围成的闭区域.2dy?y?ex?0满足初始条件y(1)=e的特解.dx四、应用题（本大题共2小题，每题8分，共16分）29.求微分方程x30.已知某厂生产x件某产品的成本为C=25000+200x+

12x.问40(1)要使平均成本最小,应生产多少件产品?

(2)如产品以每件500元出售,要使利润最大,应生产多少件产品?31.求由曲线y?x,直线x+y=6和x轴所围成的平面图形的面积.

全国2023年1月高等教育自学考试

高等数学（一）试题解析

课程代码：00020

一、单项选择题（本大题共5小题，每题2分，共10分）

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1.设f(x+1)=x2-3x+2，则f(x)=（）A.x2-6x+5B.x2-5x+6C.x2-5x+2D.x2-x

2.设函数y=f(x)在点x0可导，且f?(x0)?a,则limA.aC.-2a

B.2aD.-

f(x0?2?x)?f(x0)?（）

?x?0?xa2

3.若函数f(x)在点x0处自变量增量Δx=0.25，对应函数增量Δy的线性主部为2，则函数在该点的导数值f?(x0)?（）A.4C.0.5

B.8D.0.125

4.微分方程y??3y?e?2x的通解是（）

-第22页共67页-

A.e3x+Ce-2xB.e3x+Ce2x

C.Ce-3x-e-2xD.Ce-3x+e-2x

5.设某商品的供给函数为S=a+bp，其中p为商品价格，S为供给量，a,b为正常数，则该商

品的供给价格弹性A.bpa?bpES?（）EP

B.D.ba?bp?ba?bp

C.?bpa?bp

二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分）

请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.设函数y?2x?1，其反函数的定义域是___________.

7.lim(n?3n?n?n)?_____________.n??

x(ex?1)?______________.8.limx?0cosx?1

9.在一个极限过程中，变量u的极限为A的充分必要条件是u=A+α，其中α是极限过程中的____________.

?510.函数f(x)=lnsinx在区间[,?]上满足罗尔定理的点ξ为________________.

66

11.函数y=x4-2x2+5在[-2，2]上的最小值是_____.12.

13.设F（x）=

?1?1|x?1|dx?_______2________.?1Xte?tdt,则F?(x)?_____________.

-第23页共67页-

?2z14.设z=ln(x+x?y)，则=________________.

?x?y22

15.设D=?(x,y)|x|?a,|y|?1?,a?0,且

??Dx2dxdy?4,a则a?______________.

三、计算题（一）（本大题共5小题，每题5分，共25分）16.设y=

17.求极限lim(e?x???x1x)x1,求y(5).1?x

18.求不定积分x3e?xdx

19.计算定积分

?2?4dxx(1?x)1

20.设隐函数z=z(x,y)由方程ex+ysin(x+z)=0确定，求dz.

四、计算题（二）（本大题共3小题，每题7分，共21分）

21.设有一个体积为V0的正三棱柱，求底面三角形边长为多长时，该棱柱的表面积S最小？并求此时的S值.

22.求不定积分

23.计算二重积分I=

?ln(1?x2)x3dx

??Dsinxdxdy，其中D是由直线y=x+π，x=π和y=π围成的闭区域.x

五、应用题（本大题共9分）

x224.求曲线y=x,y=及直线y=1所围平面图形的面积A以及其绕y轴旋转所产生的旋转体

42

的体积Vy.

六、证明题（本大题共5分）

-第24页共67页-

25.证明：x>0时，x>sinx.

全国2023年10月高等教育自学考试

高等数学（一）试题

课程代码：00020

一、单项选择题（本大题共5小题，每题2分，共10分）

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1.函数y=1-cosx的值域是（）A.[-1,1]B.[0,1]C.[0,2]D.(-∞,+∞)

2.设0?a??sin2，则limx?（）

x?axA.0B.1

C.不存在

D.sinaa

3.以下各式中，正确的是（）

1A.limxlim?0?(1?1xx)?eB.x?0(1?x)x?e

C.xlim??(1?1x)x??eD.xlim??(1?1x)x?e?14.以下广义积分中，发散的是（）

A.???dx???dx1xB.11?x2

C.

????x1edx

D.???dx1x(lnx)25.已知边际成本为100?1x，且固定成本为50，则成本函数是（A.100x+2xB.100x+2x+50C.100+2x

D.100+2x+50

二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分）请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.函数y=arcsin(x-3)的定义域为___________。

7.设x111n?2?6????n2?n，则nlim??xn?___________。

28.xlim4?x???2x?___________。9.设f(x)???1?ex,x?02x?0，则f?(0)=___________。?x,?

-第25页共67页-

）

10.设y=f(secx),f′(x)=x，则

dydx?x?4=___________。

11.函数y=2x3-3x2的微小值为___________。

x212.曲线y?2的水平渐近线为___________。

x?11113.tandx?___________。

xx2?14.设z=x2ln(xy),则dz=___________。

15.微分方程1?x2y???xy的通解是___________。

三、计算题（一）（本大题共5小题，每题5分，共25分）

16.求极限lim(secx?tanx)

x??217.设y?arcsinx?1?3?2x?x2,求y?218.求不定积分xcsc2xdx19.求定积分

??2dxx?1?(x?1)30

20.设z=uv而u=et,v=cost,求

dzdt四、计算题（二）（本大题共3小题，每题7分，共21分）

arccosx11?1?x221.设y??ln,0?|x|?1,求y?.

x21?1?x222.求

?2?0e2xcosxdx的值.

23.设D是xoy平面上由直线y=x,y=1和y轴所围成的区域，试求五、应用题（本大题9分）

24.某石油公司所经营的一块油田的边际收益为R′(t)=9?C?(t)?1?1，且固定成本为3t3（百万元/年）

1t3??Dx2e?ydxdy.

2(百万元/年)，边际成本为

4百万元，求该油田的最正确经营时间以及此时获

得的总利润是多少？六、证明题（本大题5分）

25.证明方程x5+x-1=0至少有一个正根.

全国2023年1月高等教育自学考试

高等数学（一）试题

课程代码：00020

一、单项选择题（本大题共5小题，每题2分，共10分）

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括

-第26页共67页-

号内。错选、多项选择或未选均无分。1．设函数f(x-1)=x2-x,则f(x)=（）A．x(x-1)C．(x-1)2-(x-1)2．设f(x)=ln4,则limA．4C．0

?x?0B．x(x+1)D．(x+1)(x-2)

f(x??x)?f(x)?（）

?xB．

14D．?

3．设f(x)=x15+3x3-x+1,则f(16)（1）=（）A．16!C．14!

4．(2x?1)100dx?（）A．

B．15!D．0

?1(2x?1)101?C101B．

1(2x?1)101?C202C．100(2x?1)99?CD．200(2x?1)99?C

5．已知生产某商品x个的边际收益为30-2x，则总收益函数为（）A．30-2x2C．30x-2x2

B．30-x2D．30x-x2

二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分）

请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6．已知f(3x)=log2(9x2-6x+5),则f(1)=________。

1117．设xn=1+?2????n，则limxn=________。

n??3338．lim（1-3tan3x）?tx=_______。

x?03??(0)?_____。9．设f(x)=?1?x?1,x?0,则f?x?0?0,10．设

xlny=2x,则y?=_______。

11．曲线y=ex在点（0，1）处的切线方程是_____。

12．设某商品的需求量Q对价格P的函数关系为Q=75-P2，则P=4时的边际需求为_____。dx13．x?_______。?xe?e?z?_______。14．设z=(1+x)xy,则?y?15．微分方程y??1?y21?x2的通解是_____。

三、计算题（一）（本大题共5小题，每题5分，共25分）

-第27页共67页-

16．设a≠0,b≠0,求limlncosax。

x?0lncosbx(1?x)ex17．设y=ln,求y?|x?0。

arccosx18．求不定积分

?x2a?x22dx,(a?0)

19．求定积分

??x3?2sin4xdx。

20．设z=arctan

x?y,求dz。x?y四、计算题（二）（本大题共3小题，每题7分，共21分）21．设y=x(arcsinx)2+21?x2arcsinx?2x,|x|?1,求y′。22．求

?1ln(1?x)(2?x)20dx的值。

23．设D是xoy平面上由曲线xy=1,直线y=2,x=1和x=2所围成的区域，试求I?五、应用题（本大题9分）

??xeDxydxdy。

24．经过坐标原点作曲线y=lnx的切线，该切线与曲线y=lnx及x轴围成平面图形D。求：（1）D的面积。

（2）D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积。六、证明题（本大题5分）25．证明：当x>0时，1?x?1?x。2全国2023年4月高等教育自学考试

高等数学（一）试题

课程代码：00020

一、单项选择题（本大题共5小题，每题2分，共10分）

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。

1.设函数f(x)的定义域为[0，4]，则函数f(x2)的定义域为（）A.[0，2]

C.[-16，16]

x2.lim=（）x?1xA.0C.-1

B.[0，16]D.[-2，2]

B.1

D.不存在

1??3.设f(x)为可微函数，且n为自然数，则lim?f(x)?f(x?)?=（）

n???n?A.0

B.f?(x)

-第28页共67页-

C.-f?(x)

x0D.不存在

tf(t)dt??（）4.设f(x)是连续函数，且f(0)=1，则limx?0x2A.0C.1

B.

12D.2

5.已知某商品的产量为x时，边际成本为ex(4x?100)，则使成本最小的产量是（）A.23C.25

B.24D.26

二、填空题（本大题共10小题，每空3分，共30分）请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.函数f(x)=ln(1-x)，x≤0的值域是___________。

?1?3????2n?1???n?，则limxn?___________。7.设xn??n??n?3??3x2?52sin?___________。8.limx??5x?3x?1?e?x2,x?0??x9.设f(x)??，则f?(0)=___________。

??x?0?0,x?210.设f(x)=，则f?(1)=___________

x11.函数y=(x-1)(x+1)3单调减小的区间是___________。

?1?12.设某商品市场需求量D对价格p的函数关系为D(p)=1600??，则需求价格弹性是

?4?p___________。

dx13.=___________。

x3x???14.设u?xay,其中a为常数，x?0,则?u=___________。?y15.微分方程x?y??2?3yy??x?0的阶数是___________。三、计算题（一）（本大题共5小题，每题5分，共25分）

?x16．求极限lim(1?x)tan.

x?1217．设y?tanx,求y?xx??4.

18．求不定积分

?x（1?x）.

22dx-第29页共67页-

19．计算定积分

?9x021dx2?6x?1.

20．设z??x?sinx?y，求dz.

四、计算题（二）（本大题共3小题，每题7分，共21分）

?1x?1?212x-1?arctan,x??1,求y?.21．设y?ln26x?x?13322．求sin(lnx)dx的值.

1?e23．设D为xoy平面上由x=0，y??,y??及x?y2所围成的平面区域，试求2??Dsinxdxdy.y五、应用题（本大题9分）

24．某厂每批生产某产品x单位时，边际成本为5（元/单位），边际收益为10－0.02x（元/

单位），当生产10单位产品时总成本为250元，问每批生产多少单位产品时利润最大？并求出最大利润.六、证明题（本大题共5分）

????25．证明方程1?x?sinx?0在区间??,?内至少有一个根.

?22?全国2023年7月高等教育自学考试

高等数学（一）试题

课程代码：00020

一、单项选择题（本大题共5小题，每题2分，共10分）

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1.设f(t)=t2+1，则f(t2+1)=（）A.t2+1C.t4+t2+12.数列0，A.0C.1

B.t4+2D.t4+2t2+2

1234，，，，…的极限是（）3456n?2B.

nD.不存在

3.设函数f(x)可导，又y=f(-x)，则y?=（）A.f?(x)C.-f?(x)

24.设I=2xsinxdx，则I=（）

B.f?(?x)D.-f?(?x)

?A.-cosx2

B.cosx2

-第30页共67页-

C.-cosx2D.cosx2+C

??exdx?（）5.广义积分???1?e2xA.?C.

B.

?2?4D.0

二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分）请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.函数y=log2log3x的定义域是___________.

3n2?6n?57.lim?___________.n??3n?28.lim?n?0xlnx?___________.

1x2，则生产900个单位产品12023.已知某工厂生产x个单位产品的总成本函数C(x)=1100+时的边际成本是___________.

10.设直线l与x轴平行，且与曲线y=x-lnx相切，则切点是___________.11.

?x1?x2dx?___________.

12.

?121?2cosxln1?xdx?___________.1?x13.微分方程y?=2x(1+y)的通解是___________.

?2z14.设z=2x+3xy-y,则=___________.

?x?y2

2

15.设D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}，则

?2yxe??dxdy=___________.D三、计算题（一）（本大题共5小题，每题5分，共25分）16．求极限limx?01?x?1

sinxx17．设y?earctan18．求不定积分

?2??2求y?

?dx1?x?x2

19．求定积分

?cosxcos2xdx

-第31页共67页-

?2z20．设函数z=z(x,y)是由方程x+y+z=e所确定的隐函数，求2.

?xz

四、计算题（二）（本大题共3小题，每题7分，共21分）21．设y=lntan22．求定积分

x-cosxlntanx,求y?2??0x2cos2xdx.

22y1?x?ydxdy.??D23．设D是xoy平面上由直线y=x,x=-1和y=1所围成的区域，试求五、应用题（本大题9分）

24．在抛物线y=-x2+1上求一点p(x1,y1),0x0时,曲线y=f(x)是凸弧(或凹弧).C.xx0时,f(x)>f(x0).D.xf(x0)而x>x0时,f(x)一、单项选择题（本大题共5小题，每题2分，共10分）

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。

?x?1?1,x?0?1．设f(x)??,则x=0是f(x)的（）x?0,x?0?A．可去休止点C．无穷休止点

B．腾跃休止点D．连续点

2．设函数y=f(x)在点x0的邻域V(x0)内可导，假使?x∈V(x0)有f(x)≥f(x0)，则有（）A．f'(x)?f'(x0)C．f'(x0)?0

B．f'(x)?f(x0)D．f'(x0)?0

3．已知某商品的成本函数为C(Q)?2Q?30Q?500，则当产量Q=100时的边际成本为

（）

A．5C．3.5

B．3D．1.5

4．在区间(-1,0)内，以下函数中单调增加的是（）A．y??4x?1C．y?x2?15．无穷限积分A．1C．?B．y?5x?3D．y?|x|?2

???0xe?xdx?（）

212B．0

1D．

2二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分）

请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6．设f(x)?x2,g(x)?2x,则f[g(x)]?______________。

x3?x2?ax?47．已知极限lim存在且有限，则a=______________。

x?1x?1x?sinx8．极限lim=______________。

x?0x3ES?______________。9．设某商品的供给函数为S(p)??0.5?3p，则供给价格弹性函数Ep10．曲线y?(x?1)3的拐点是______________。11．微分方程xy'?y?x3的通解是y=______________。

ex12．不定积分dx?______________。

1?ex?-第36页共67页-

?213．定积分

?40cosxdx?______________。

14．设z?xln(x?y)，则z\xy?______________。15．dy0??1y?3yxdx?______________。

三、计算题（一）（本大题共5小题，每题5分，共25分）

ex?e?x?2x16．求极限lim

x?0x317．设y?(lnx)x,求y'18．求不定积分arcsinxdx19．计算定积分I???|1?x|dx

0220．设z=z(x,y)是由方程2sin(x?2y?3z)?x?2y?3z所确定的隐函数，并设

cos(x?2y?3z)?1?z,求2?y四、计算题（二）（本大题共3小题，每题7分，共21分）

121．设y?2，求y\(2)

x?122．计算定积分I??ln201?e?2xdx

23．设D是由直线y=2,y=x及y=2x所围成的区域，计算二重积分I?五、应用题（本大题共9分）

??D(x2?y2?x)dxdy.

24．欲做一个底面为长方形的带盖长方体盒子，其底边长成1∶2的关系且体积为72cm3，问其长、宽、高各为多少时，才能使此长方体盒子的表面积最小？六、证明题（本大题共5分）

25．假使函数f(x)在区间[a,b]上连续，在（a,b）上可导且导数恒为零，试用微分学方法证明f(x)在(a,b)上一定是一个常数.

全国2023年7月高等教育自学考试

高等数学(一)试题课程代码：00020

一、单项选择题（本大题共5小题，每题2分，共10分）

在每题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多项选择或未选均无分。1.函数f(x)=arcsin(2x-1)的定义域是（）A.(-1,1)B.[-1,1]

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C.[-1,0]D.[0,1]

?ln(1?x),x?02.设f(x)=?,则f?(0)?（）

?x,x?0A.0C.-1B.1

D.不存在

3.设函数f(x)满足f?(x0)=0,f?(x1)不存在,则（）A.x=x0及x=x1都是极值点C.只有x=x1是极值点

4.设f(x)在[-a,a](a>0)上连续,则A.0

C.[f(x)?f(?x)]dx

0B.只有x=x0是极值点

D.x=x0与x=x1都有可能不是极值点

?a?af(x)dx?（）

B.2f(x)dx

0?a?aD.[f(x)?f(?x)]dx

0?a5.设供给函数S=S(p)(其中p为商品价格),则供给价格弹性是（）

pA.?S?(p)

SC.pS?(p)

B.D.

pS?(p)S1S?(p)S

二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分）

请在每题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6.设f(x-1)=x2-x,则f(x)=___________.7.limn??11nsin3n22=___________.

8.设limxf(4x)?2,则lim?___________.

x?0f(2x)x?0x1??9.设f?(1)?1则limx?f(1?)?f(1)?=___________.

x???x?10.函数y=lnx在[1,e]上满足拉格朗日定理的条件，应用此定理时相应的?_________