江苏省重点中学2022-2023学年高二下学期3月联考数学试题及参考答案

-2023学年高二下学期3月联考数学试题一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每题给出的四个选项中，只有一项是最符合题意的．1．已知空间向量，，若与垂直，则等于（）A． B． C． D．2．在的展开式中，的系数为（）A．60 B．15 C．120 D．303．已知函数，，则实数（）A．4 B．3 C．2 D．14．已知，，，若，，三向量共面，则实数等于（）A．1 B．2 C．3 D．45．李中水上森林公园原为荒滩，经过治理，成为江苏省最大的人工生态林。园内栽种了10万余株水杉、池杉等品种树木，垛与垛间的夹沟里鱼游虾戏。这里是丹顶鹤、黑鹳、猫头鹰、灰鹭、苍鹭、白鹭等候鸟的乐园。游客甲与乙同时乘竹筏从码头沿下图旅游线路游玩。甲将在二月蓝花海之前的任意一站下竹筏，乙将在童话国之前的任意一站下竹筏，他们都至少坐一站再下竹筏，则甲比乙后下的概率为（）A． B． C． D．6．若函数在上有小于0的极值点，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．7．据说，笛卡尔担任瑞典一小公国的公主克里斯蒂娜的数学老师，日久生情，彼此爱慕，其父国王知情后大怒，将笛卡尔流放回法国，并软禁公主，笛卡尔回法国后染上黑死病，连连给公主写信，死前最后一封信只有一个公式：国王不懂，将这封信交给了公主，公主用笛卡尔教她的极坐标知识，画出了这个图形“心形线”．明白了笛卡尔的心意，登上了国王宝座后，派人去寻笛卡尔，其逝久矣。某同学利用GeoGebra电脑软件将，两个画在同一直角坐标系中，得到了如右图“心形线”．观察图形，当时，的导函数的图像为（）A．B． C．D．8．已知，，，则，，的大小关系为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．下列命题为真命题的是（）A．展开式的常数项为20 B．被7除余1C．展开式的第二项为 D．被63除余110．如图所示，在直三棱柱中，底面是以为直角的等腰直角三角形，，，是的中点，点在棱上，要使平面，则的值可能是（）A． B． C． D．11．已知函数，，则（）A．在上单调递增 B．存在，使得函数为奇函数C．函数有且仅有2个零点 D．任意，12．下列说法正确的是（）A．空间有10个点，其中任何4点不共面，以每4个点为顶点作1个四面体，则一共可以作210个不同的四面体B．甲、乙、丙3个人值周，从周一到周六，每人值2天，但甲不值周一，乙不值周六，则可以排出24种不同的值周表C．从0，1，2，…，9这10个数字中选出5个不同的数字组成五位数，其中大于13000的共有26543个D．4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的4个盒子中，恰有1个空盒的放法共有144种三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．（请将所有填空题答案填到答题卡的指定位置中．）13．_________．（用数字作答）14．函数，的极值点为，则_________．15．如图，正方形、的边长都是1，而且平面、互相垂直，点在上移动，点在上移动，若，则的长的最小值为_________．16．设实数，若不等式恰好有三个整数解，则实数的取值范围为_________．四、解答题17．（1）解不等式．（2）若，求正整数．18．如图所示，四棱锥中，，，，平面平面．（1）求证：平面平面；（2）若点在线段上，且，若平面与平面所成锐二面角大小为，求的值．19．请从下列三个条件中任选一个，补充在下面已知条件中的横线上，并解答问题．①第2项与第3项的二项式系数之比是；②第2项与第3项的系数之比的绝对值为；③展开式中有且只有第四项的二项式系数最大．已知在的展开式中，___________．（1）求展开式中的常数项，并指出是第几项；（2）求展开式中的所有有理项．20．如图所示，平面，四边形为直角梯形，四边形ADFE为矩形，，．（1）记平面平面，求证：平面；（2）在线段上是否存在点，使得二面角的正弦值为．若存在，求出长；若不存在，说明理由．21．某展览会有四个展馆，分别位于矩形的四个顶点、、、处，现要修建如图中实线所示的步道（宽度忽略不计，长度可变）把这四个展馆连在一起，其中百米，百米，且．（1）设，求出步道的总长（单位：百米）关于的函数关系式；（参考数据，）（2）求步道的最短总长度（精确到0.01百米）．22．已知函数的最大值是．（1）求实数的值；（2）设函数，若，使，求实数的取值范围．参考答案题号123456789101112答案BABABCADBCDACABDAD13．49414．15．16．17．所以且,,经验算,可得； 5分（2）因为, 8分所以,则满足题意,且在且时递增,因此是唯一解； 10分18．（1）证明：因为，故，故．又平面平面，平面..平面，平面，故平面；因为平面，故平面平面； 4分（2）解：设为的中点，连接，因为，所以，又平面平面，故平面，如图，以为原点，分别以，和平行于的方向为，，轴正方向，建立空间直角坐标系，则，0，，，2，，，4，，，0，，，1，，因为，则，所以，，，易得平面的一个法向量为， 6分设为平面的一个法向量，，，由得不妨取． 8分因为平面与平面所成锐二面角为，所以，解得，（不合题意舍去），故． 12分19．解：（1）由二项式知：展开式通项为, 3分①第2项与第3项的二项式系数分别为、,故,,又,解得． 6分②第2项与第3项的系数分别为,,则有,解得 6分③展开式中有且只有第四项的二项式系数最大,展开式共有7项,从而可知． 6分由上知：展开式通项为,当,有时,常数项为． 8分（2）由上知：展开项通项为,要求有理项,可知,2,4,6, 10分有理项分别为,,60,． 12分20．（1）延长、交于点，连接即为交线，在直角梯形中，由于，，所以为的中点，则有，因为平面，平面，所以．则为等腰直角三角形，，即．因为平面，平面，所以.．又因为，平面，，所以平面，因为平面，所以，又因为平面，，所以平面． 4分（2）由平面，，所以两两互相垂直，以为正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系．则，所以，，设，则，所以，设平面的一个法向量为，由，得：，令，则，所以， 6分而平面的一个法向量为， 8分则，由于二面角的正弦值为，则，所以，则或， 10分因为，所以，又，所以． 12分21．（1）设,则,,,则,解得,又因为,所以,所以）. 6分（少定义域扣2分）（2）,,令,可得, 8分当时,,当时,,所以在上单调递减,在上单调递增,故当时,取得极小值（最小值） 10分（百米）,所以步道的最短总长度约为18.39百米. 12分22．（1）求导，得令,解得．当时,；当时,，所以在上单调递增,在上单调递减,所以当时,函数有最大值,即,所以 2分（2）令,求导,得 4分