中学常见绝对值问题的解法

PAGE中学常见绝对值问题的解法1.引言及预备知识绝对值问题是指绝对值与其他数学知识相结合而生成的新的数学问题.遇到这类数学问题时，对于简单的，如解，或求的值域和定义域，我们还能解决，但是稍复杂的，大多数学习者就会感到束手无策.本文针对此种情况，在相关资料的基础之上总结出了一元一次绝对值方程、一元一次绝对值不等式和一次绝对值函数这三类常见绝对值问题的具体解法，供学习者参考.定义1绝对值的代数定义:一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零．定义2绝对值的几何定义:在数轴上表示一个数的点离开原点的距离，叫做这个数的绝对值．性质绝对值的主要性质：(1)一个实数的绝对值是一个非负数，即，因此，在实数范围内，绝对值最小的数是零．(2)一个数的绝对值的相反数一定是非正数.(3)两个相反数的绝对值相等．(4)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数.定义3一元一次绝对值方程：我们把绝对值符合中含有一个未知数并且未知数的次数是一次的方程叫做含绝对值符号的一元一次方程，简称为一元一次绝对值方程.定义4一元一次绝对值不等式：我们把绝对值符合中含有一个未知数并且未知数的次数是一次的不等式叫做含绝对值符号的一元一次不等式，简称为一元一次绝对值不等式.定义5一次绝对值函数：我们把一次函数中含有绝对值符合的一次函数叫做含绝对值符号的一次函数，简称为一次绝对值函数.2.中学常见的绝对值问题及其解法中学常见的绝对值问题除了绝对值自身定义的应用外，还有本文专门提出的一元一次绝对值方程、一元一次绝对值不等式以及一次绝对值函数这三类绝对值问题.下面给出了相应问题的解法，并附有例题以便学习者融会贯通.2.1一元一次绝对值方程的解法 （1）形如型的绝对值方程的解法： ①当时，根据绝对值的非负性，可知此时方程无解； ②当时，原方程变为，即，解得； ③当时，原方程变为或，解得或．例1．解方程：

解：由（1）可知，因为时，原方程变为或，解得或． （2）形如型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的非负性可知，求出的取值范围； ②根据绝对值的定义将原方程化为两个方程和； ③分别解方程和； ④将求得的解代入检验，舍去不合条件的解．例2．解方程：解：由（2）可知，根据绝对值的定义将原方程化为两个方程和；分别解得和；经检验都成立. （3）形如型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的定义将原方程化为两个方程或； ②分别解方程和．例3．解方程：解：由（3）可知，根据绝对值的定义将原方程化为两个方程或；分别解得和. （4）形如型的绝对值方程的解法： ①根据绝对值的几何意义可知； ②当时，此时方程无解；当时，此时方程的解为；当时，分两 种情况：①当时，原方程的解为；②当时，原方程的解为．例4．解方程：解：由（4）可知，应分两种情况；①当时，原方程的解为；②当时，原方程的解为． （5）形如型的绝对值方程的解法： ①找绝对值零点：令，得，令得； ②零点分段讨论：不妨设，将数轴分为三个区段，即①；②；③； ③分段求解方程：在每一个区段内去掉绝对值符号，求解方程并检验，舍去不在区段内的解．例5．解方程：解：由（5）可知，找绝对值零点：和；①时，解得；②时，解得；③时，解得.2.2一元一次绝对值不等式的解法解含有绝对值符号的不等式的基本思想是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法就与解一般不等式或不等式组相同．解绝对值不等式，关键在于“转化”．根据绝对值的意义，把绝对值不等式转化为一次不等式(组)．（1）不等式｜x｜＜a(a＞0)和不等式｜x｜＞a(a＞0)的解集分别是｛x｜－a＜x＜a｝、｛x｜x＞a或x＜－a｝．其解集在数轴上表示如下：把不等式｜x｜＜c与｜x｜＞c(c＞0)中的x替换成ax＋b，就可以得到与型的不等式的解法．（2）的解法是：先化不等式组或，再由不等式的性质求出原不等式的解集.的解法是：先化不等式组,再由不等式的性质求出原不等式的解集.例6．解不等式：|2x-3|>4解：由|2x-3|>4（符合上面第一种含绝对值的不等式，根据其解法）得2x-3>4或2x-3<-4分别解之，得x>7/2或x<-1/2所以原不等式解集为｛x|x>7/2或x<-1/2｝例7．解不等式：|3x-5|≤7解：由|3x-5|≤7，（符合上面第一种含绝对值的不等式，根据其解法）得-7≤3x-5≤7不等式各边都加5，得-2≤3x≤12不等式各边都除以3，得-2/3≤x≤4所以原不等式解集为｛x|-2/3≤x≤4｝（3）我们在解与型不等式的时候，一定要注意a的正负.当a为负数时，可先把a化成正数再求解.例8．解不等式：|1-2x|<5解法一：由原不等式可得-5<1-2x<5由不等式的性质解得-2<x<3所以原不等式解集为｛x|-5/2<x<11/2｝.解法二：原不等式可化成|2x-1|<5-5<2x-1<5由不等式的性质解得-2<x<3（4）含绝对值的双向不等式的解法，关键是去绝对值号．其方法一是转化为单向不等式组如下题中的解法一，再就是利用绝对值的定义如下题中的解法二、解法三.例9．解不等式：2＜｜2x－5｜≤7．解法一：原不等式等价于∴即∴原不等式的解集为｛或｝解法二：原不等式的解集是下面两个不等式组解集的并集:(Ⅰ)(Ⅱ)不等式组(Ⅰ)的解集为｛｝不等式组(Ⅱ)的解集是｛｝∴原不等式的解集是｛或｝.解法三：原不等式的解集是下面两个不等式解集的并集．(Ⅰ)2＜2x－5≤7(Ⅱ)2＜5－2x≤7不等式(Ⅰ)的解集为｛｝不等式(Ⅱ)的解集是｛｝∴原不等式的解集是｛或｝．（4）解含多重绝对值符号的不等式时，可以从“外”向“里”，反复应用解答绝对值基本不等式类型的方法，去掉绝对值的符号，逐次化解．例11．解不等式：|x－|2x＋1||＞1．解：∵由|x－|2x＋1||＞1等价于(x－|2x＋1|)＞1或x－|2x＋1|＜－1①由x－|2x＋1|＞1得|2x＋1|＜x－1∴即均无解；②由x－|2x＋1|＜－1得|2x＋1|＞x＋1∴或即，∴或综上讨论，原不等式的解集为{x|或}．2.3一次绝对值函数的解法在中学阶段遇到的一次绝对值函数问题具体有四种：解析式、定义域、值域（最值）以及函数图象.解决此类问题的关键是要通过分类讨论去掉绝对值号，而分类的标准是令绝对值里面的式子等于零，这样就可以把数轴分成几段，然后就可以讨论了，写出函数解析式，画出对应的函数图象，问题就一目了然了.例10．

求此函数的解析式

并写出其值域和定义域.

解：，首先令x+2=0和x-5=0,得到x=-2和x=5,这时将数轴分为了三部分：①当x<-2时，x+2<0、x-5<0，所以此时：y=-(x+2)-(-（x-5）)=-7；②当时：x+2>0、x-5<0，此时：y=(x+2)+(x-5)=2x-3；③当x>5时，x+2>0、x-5>0，此时：y=(x+2)-(x-5)=7；综上可知：；其最大值为7，最小值为-7，由此可知，该函数的值域为[-7，7]，定义域为R.例11．指出函数y=|x-5|+|x+3|的图像画法.解：①首先要去绝对值，找到分界点：x-5=0，x=5x+3=0，x=-3，则5、-3就是其分界点；②分情况讨论，得出去掉绝对值的函数解析式：x≤-3时，y=|x-5|+|x+3|=5-x-x-3=2-2x-3<x≤5时，y=|x-5|+|x+3|=5-x+x+3=8x>5时，y=|x-5|+|x+3|=x-5+x-3=2x-8；③按这三个区间对应的函数解析式，就不难画出这个带绝对值的函数图像了.3.绝对值问题专题强化训练此部分专门为学习者所设，供其有针对性的强化训练，真正做到学有所得.3.1一元一次绝对值方程专题练习体小四【1】解方程：【2】方程的解为？．【3】解方程【4】解方程【5】解方程【6】解方程【7】解方程【8】解方程：3.2一元一次绝对值不等式专题练习【9】不等式｜x＋a｜＜1的解集是()A．｛x｜－1＋a＜x＜1＋aB．｛x｜－1－a＜x＜1－aC．｛x｜－1－｜a｜＜x＜1－｜a｜D．｛x｜x＜－1－｜a｜或x＞1－｜a｜｝【10】不等式1≤｜x－3｜≤6的解集是()A．｛x｜－3≤x≤2或4≤x≤9｝B．｛x｜－3≤x≤9｝C．｛x｜－1≤x≤2｝D．｛x｜4≤x≤9｝【11】下列不等式中，解集为｛x｜x＜1或x＞3｝的不等式是()A．｜x－2｜＞5B．｜2x－4｜＞3C．1－｜－1｜≤D．1－｜－1｜＜【12】已知不等式｜x－2｜＜a(a＞0)的解集是｛x｜－1＜x＜b}，则a＋2b＝．【13】不等式|x＋2|＞x＋2的解集是______．【14】解下列不等