椭圆离心率总结汇总

关于椭圆离心率设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，求离心率e的取值范围。解法1：利用曲线范围设P（x，y），又知，则将这个方程与椭圆方程联立，消去y，可解得解法2：利用二次方程有实根由椭圆定义知解法3：利用三角函数有界性记解法4：利用焦半径由焦半径公式得解法5：利用基本不等式由椭圆定义，有平方后得解法6：巧用图形的几何特性由，知点P在以为直径的圆上。又点P在椭圆上，因此该圆与椭圆有公共点P故有水深火热的演练一、直接求出或求出a与b的比值，以求解。在椭圆中，，1.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于2.已知椭圆两条准线间的距离是焦距的2倍，则其离心率为3.若椭圆经过原点，且焦点为,则椭圆的离心率为4.已知矩形ABCD，AB＝4，BC＝3，则以A、B为焦点，且过C、D两点的椭圆的离心率为。5.若椭圆短轴端点为满足，则椭圆的离心率为。6..已知则当mn取得最小值时，椭圆的的离心率为7.椭圆的焦点为，，两条准线与轴的交点分别为，若，则该椭圆离心率的取值范围是8.已知F1为椭圆的左焦点，A、B分别为椭圆的右顶点和上顶点，P为椭圆上的点，当PF1⊥F1A，PO∥AB（O为椭圆中心）时，椭圆的离心率为。9.P是椭圆+=1（a＞b＞0）椭圆的离心率为10.已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，若，则椭圆的离心率为11.在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为，焦点到相应准线的距离为1，则该椭圆的离心率为12.设椭圆=1（a＞b＞0）的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是。13.椭圆（a>b>0）的两顶点为A（a,0）B(0,b),若右焦点F到直线AB的距离等于∣AF∣，则椭圆的离心率是。14.椭圆（a>b>0）的四个顶点为A、B、C、D，若四边形ABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率是15.已知直线L过椭圆（a>b>0）的顶点A（a,0）、B(0,b),如果坐标原点到直线L的距离为，则椭圆的离心率是16.在平面直角坐标系中，椭圆1(0)的焦距为2，以O为圆心，为半径作圆，过点作圆的两切线互相垂直，则离心率=17.设椭圆的离心率为，右焦点为，方程的两个实根分别为和，则点（A）Ａ．必在圆内 Ｂ．必在圆上Ｃ．必在圆外 Ｄ．以上三种情形都有可能二、构造的齐次式，解出1．已知椭圆的焦距、短轴长、长轴长成等差数列，则椭圆的离心率是2．以椭圆的右焦点F2为圆心作圆，使该圆过椭圆的中心并且与椭圆交于M、N两点，椭圆的左焦点为F1，直线MF1与圆相切，则椭圆的离心率是3．以椭圆的一个焦点F为圆心作一个圆，使该圆过椭圆的中心O并且与椭圆交于M、N两点，如果∣MF∣=∣MO∣，则椭圆的离心率是4．设椭圆的两个焦点分别为F1、、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是5．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于A、B两点，若△ABF2是正三角形，则这个椭圆的离心率是6．设分别是椭圆的左、右焦点，P是其右准线上纵坐标为（为半焦距）的点，且，则椭圆的离心率是三、寻找特殊图形中的不等关系或解三角形。1．已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是2．已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，椭圆离心率e的取值范围为3．已知是椭圆的两个焦点，P是椭圆上一点，且，椭圆离心率e的取值范围为4．设椭圆（a>b>0）的两焦点为F1、F2，若椭圆上存在一点Q，使∠F1QF2=120º，椭圆离心率e的取值范围为5．在中，，．若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率．6．设分别是椭圆（）的左、右焦点，若在其右准线上存在使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是7．如图，正六边形ABCDEF的顶点A、D为一椭圆的两个焦点，其余四个顶点B、C、E、F均在椭圆上，则椭圆离心率的取值范围是椭圆离心率的解法椭圆的几何性质中，对于离心率和离心率的取值范围的处理，同学们很茫然，没有方向性。题型变化很多，难以驾驭。以下，总结一些处理问题的常规思路，以帮助同学们理解和解决问题。运用几何图形中线段的几何意义。基础题目：如图，O为椭圆的中心，F为焦点，A为顶点，准线L交OA于B，P、Q在椭圆上，PD⊥L于D，QF⊥AD于F,设椭圆的离心率为e，则①e=EQ\f(｜PF｜,｜PD｜)②e=EQ\f(｜QF｜,｜BF｜)③e=EQ\f(｜AO｜,｜BO｜)④e=EQ\f(｜AF｜,｜BA｜)⑤e=EQ\f(｜FO｜,｜AO｜)DDBFOBBBAPQ评：AQP为椭圆上的点，根据椭圆的第二定义得，①②④。∵｜AO｜=a,｜OF｜=c,∴有⑤；∵｜AO｜=a,｜BO｜=EQ\f(a2,c)∴有③。题目1：椭圆EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，以F1F2为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则椭圆的离心率e？BBAF2F1思路：A点在椭圆外，找a、b、c的关系应借助椭圆，所以取AF2的中点B，连接BF1,把已知条件放在椭圆内，构造△F1BF2分析三角形的各边长及关系。解：∵｜F1F2｜=2c｜BF1｜=c｜BF2｜=EQ\r(,3)cc+EQ\r(,3)c=2a∴e=EQ\f(c,a)=EQ\r(,3)-1变形1：椭圆EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，点P在椭圆上，使△OPF1为正三角形，求椭圆离心率？OOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2FOOOOOOOOOOOOOOOOOOOPF1F2F2F22解：连接PF2,则｜OF2｜=｜OF1｜=｜OP｜,∠F1PF2=90°图形如上图，e=EQ\r(,3)-1变形2:椭圆EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的两焦点为F1、F2，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF1⊥X轴，PF2∥AB,求椭圆离心率？BAF2F1POBAF2F1PO解：∵｜PF1｜=EQ\f(,)EQ\f(b2,a)｜F2F1｜=2c｜OB｜=b｜OA｜=aPF2∥AB∴EQ\f(｜PF1｜,｜F2F1｜)=EQ\f(b,a)又∵b=EQ\r(,a2-c2)∴a2=5c2e=EQ\f(EQ\r(,5),5)点评：以上题目，构造焦点三角形，通过各边的几何意义及关系，推导有关a与c的方程式，推导离心率。二、运用正余弦定理解决图形中的三角形题目2：椭圆EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，∠ABF=90°，求e?FBAFBAO解：｜AO｜=a｜OF｜=c｜BF｜=a｜AB｜=EQ\r(,a2+b2)a2+b2+a2=(a+c)2=a2+2ac+c2a2-c2-ac=0两边同除以a2e2+e-1=0e=EQ\f(-1+EQ\r(,5),2)e=EQ\f(-1-EQ\r(,5),2)(舍去)变形：椭圆EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)，e=EQ\f(-1+EQ\r(,5),2),A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求∠ABF？点评：此题是上一题的条件与结论的互换，解题中分析各边，由余弦定理解决角的问题。答案：90°引申：此类e=EQ\f(EQ\r(,5)-1,2)的椭圆为优美椭圆。性质：1、∠ABF=90°2、假设下端点为B1,则ABFB1四点共圆。3、焦点与相应准线之间的距离等于长半轴长。总结：焦点三角形以外的三角形的处理方法根据几何意义，找各边的表示，结合解斜三角形公式，列出有关e的方程式。题目3：椭圆EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)，过左焦点F1且倾斜角为60°的直线交椭圆与AB两点，若｜F1A｜=2｜BF1｜,求e?解：设｜BF1｜=m则｜AF2｜=2a-am｜BF2｜=2a-m在△AF1F2及△BF1F2中，由余弦定理得：ADVANCE\u3EQ\B\lc\{(\a\al(a2–c2=m(2a-c),2(a2-c2)=m(2a+c),))两式相除EQ\f(：2a-c,2a+c)=EQ\f(1,2)e=EQ\f(2,3)题目4：椭圆EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P是以｜F1F2｜为直径的圆与椭圆的一个交点，且∠PF1F2=5∠PF2F1,求e?分析：此题有角的值，可以考虑正弦定理的应用。解：由正弦定理：EQ\f(｜F1F2｜,sinF1PF2)=EQ\f(｜F1P｜,sinF1F2P)=EQ\f(｜PF2｜,sinPF1F2)根据和比性质：EQ\f(｜F1F2｜,sinF1PF2)=EQ\f(｜F1P｜+｜PF2｜,sinF1F2P+sinPF1F2)变形得：EQ\f(｜F1F2｜,｜PF2｜+｜F1P｜)=EQ\f(sinF1PF2,sinF1F2P+sinPF1F2)=

=EQ\f(2c,2a)=e∠PF1F2=75°∠PF2F1=15°e=EQ\f(sin90°,sin75°+sin15°)=EQ\f(EQ\r(,6),3)点评：在焦点三角形中，使用第一定义和正弦定理可知e=EQ\f(sinF1PF2,sinF1F2P+sinPF1F2)变形1：椭圆EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P是椭圆上一点，且∠F1PF2=60°，求e的取值范围？分析：上题公式直接应用。解：设∠F1F2P=α，则∠F2F1P=120°-αe=EQ\f(sinF1PF2,sinF1F2P+sinPF1F2)=EQ\f(sin60°,sinα+sin(120°-α))=EQ\f(1,2sin(α+30°))≥EQ\f(1,2)∴EQ\f(1,2)≤e<1变形2：已知椭圆EQ\f(x2,4)+EQ\f(y2,4t2)=1(t>0)F1F2为椭圆两焦点，M为椭圆上任意一点（M不与长轴两端点重合）设∠PF1F2=α,∠PF2F1=β若EQ\f(1,3)<tanEQ\f(α,2)<tanEQ\f(β,2)<EQ\f(1,2),求e的取值范围？分析：运用三角函数的公式，把正弦化正切。解;根据上题结论e=EQ\f(sinF1PF2,sinF1F2P+sinPF1F2)=EQ\f(sin(α+β),sinα+sinβ)=EQ\f(2sinEQ\f(α+β,2)cosEQ\f(α+β,2),2sinEQ\f(α+β,2)cosEQ\f(α-β,2))=EQ\f(cosEQ\f(α,2)cosEQ\f(β,2)-sinEQ\f(α,2)sinEQ\f(β,2),cosEQ\f(α,2)cosEQ\f(β,2)+sinEQ\f(α,2)sinEQ\f(β,2))=EQ\f(1-tanEQ\f(α,2)tanEQ\f(β,2),1-tanEQ\f(α,2)tanEQ\f(β,2))=e∵EQ\f(1,3)<EQ\f(1-e,1+e)<EQ\f(1,2)∴EQ\f(1,3)<e<EQ\f(1,2)以直线与椭圆的位置关系为背景，用设而不求的方法找e所符合的关系式.题目5：椭圆EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)，斜率为1，且过椭圆右焦点F的直线交椭圆于A、B两点，EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(OA))+EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(OB))与EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(a))=(3,-1)共线，求e?B(X2,Y2)A(X1,Y1)OB(X2,Y2)A(X1,Y1)O法一：设A(x1,y1),B(x2,y2)EQ\B\lc\{(\a\al(b2x2+a2y2=a2b2,y=x-c,))(a2+b2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0x1+x2=EQ\f(2a2c,a2+b2)y1+y2=EQ\f(2a2c,a2+b2)-2c=EQ\f(-2b2c,a2+b2)EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(OA))+EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(OB))=(x1+x2,y1+y2)与（3，-1）共线，则-（x1+x2）=3(y1+y2)既a2=3b2e=EQ\f(EQ\r(,6),3)法二：设AB的中点N，则2EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(ON))=EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(OA))+EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(OB))EQ\B\lc\{(\a\al(EQ\f(x12,a2)+EQ\f(y12,b2)=1①,,EQ\f(x22,a2)+EQ\f(y22,b2)=1②,))①-②得：EQ\f(y1-y2,x1-x2)=-EQ\f(b2,a2)EQ\f(x1+x2,y1+y2)∴1=-EQ\f(b2,a2)(-3)既a2=3b2e=EQ\f(EQ\r(,6),3)由图形中暗含的不等关系，求离心率的取值范围。题目6：椭圆EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，满足EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF))1·EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF))2=0的点M总在椭圆内部，则e的取值范围？FF2MF1O分析：∵EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF))1·EQ\o(\s\up7(→),\s\do3\up1(MF))2=0∴以F1F2为直径作圆，M在圆O上，与椭圆没有交点。解：∴c<ba2=b2+c2>2c2∴0<e<EQ\f(EQ\r(,2),2)题目7：椭圆EQ\f(x2,a2)+EQ\f(y2,b2)=1(a>b>0)的两焦点为F1（-c，0）、F2(c,0)，P为右准线L上一点，F1P的垂直平分线恰过F2点，求e的取值范围？MPF2F1OMPF2F1O分析：思路1,如图F1P与F2M垂直，根据向量垂直，找a、b、c的不等关系。思路2：根据图形中的边长之间的不等关系，求e解法一：F1（-c，0）F2(c,0)P(EQ\f(a