第三章差分方程模型

第三章差分方程模型

第二章中所建立的数学模型大多数是用连续变量来描述研究对象的变化规律的，即连续模型，而在现实世界里有很多对象涉及的变量本身就是离散的，自然可以用离散模型描述其数量关系。本章就来介绍一类离散模型—差分方程模型。目录3.1贷款买房3.2市场经济中的蛛网模型3.3人口的预测和控制3.4差分方程简介习题与参考文献什么是差分方程3．1贷款买房3．1．1问题与背景一对年轻夫妇准备购买一套住房，但缺少资金近6万元。假设它们每月可有节余900元，且有如下的两种选择：使用银行贷款60000元。月利率0.01，贷款期25年=300个月；到某借贷公司借贷60000元，月利率0.01，22年还清。只要（i）每半个月还316元，(ii)预付三个月的款你能帮他们做出明智的选择吗？3.1.2建模与求解

问题的解答思考题儿童教育基金现在国内主要银行机构已开始为小学三年级以上的学生开办了学生教育基金业务。只需家长每年为学生向银行存入y元，若银行的年复利率为r，则若干年后该学生便可获得相应的资助。n年后教育基金的总额为何？养老基金随着社会保障制度的不断完善，已有许多单位和企业为职工建立了养老基金。当职工参加工作后，其每月工资被扣除一部分作为个人的养老基金，所在单位（若经济效益好的话）每月再投入一定数量的钱，通常退休后就可以动用，每月从养老基金中提出x元。假设月利率不变，还允许在建立养老基金时自己可以一次性地存入y0元，每月存入y元（个人和单位投入的总和）。请问养老基金的变化情况如何？3．2市场经济中的蛛网模型

3.2.1问题与背景随着市场经济的逐步确立与不断完善，人们已越来越意识到按市场经济规律办事的重要性。例如，在市场经济中存在这样的循环现象，一个时期某种商品供过于求，则会导致价格下跌，而价格下跌又会引发该商品生产的减少，使下一个时期该商品供不应求从而导致价格的再度上扬。在没有外界干预情况下，这种现象将如此循环下去。这样的需求和供应关系决定了市场经济中商品的价格和数量必然是振荡的。在现实生活中这样的振荡会出现不同的形式，有的振幅渐小趋向比较平稳，有的则振幅越来越大使得政府不得不做必要的干预。虽然，今天的人们已不再为各种商品价格的小幅振荡而惊恐，但作为企业，商家乃至个体经营者就很关心市场经济趋于稳定的条件，以便把握科学规律使自己更好地生存与发展。3．2．2蛛网模型与差分模型

3．2．3模型求解与参数的意义

3．2．4数值例子

据统计，某城市前一年度的猪肉产量为30万吨，肉价为6元/公斤。本年度生产猪肉25万吨，肉价为8.00元/公斤，已知下一年度的猪肉生产量为28万吨。若维持目前的消费水平与生产模式，并假定猪肉产量与价格之间是线性关系，问若干年后猪肉的生产量与价格是否会趋于稳定？若能够稳定，求出稳定的生产量和价格。3．2．5模型的推广

3．3人口的预测和控制

3．3．1问题与背景

人口发展的预测和控制事关国民生计，特别对我们这样的人口大国更是重要。在人口预测中人口按年龄分布状况是十分重要的，因为不同年龄人的生育率和死亡率有着很大的差别。因此在建立模型时还应考虑人口按年龄的分布，即除了时间变量之外，还应考虑年龄变量的影响。尽管我们可以建立此类问题的连续模型，但在实际应用中连续模型却不大方便，因此本节我们直接建立人口问题的离散模型——差分方程模型。3．3．2人口发展方程

3．3．3人口指数3．4差分方程简介

差分方法不仅广泛用于建立离散的数学模型过程中，而且在连续模型化为离散模型的数值计算中也有着十分重要而广泛的应用。如微分方程与偏微分方程的数值解法。本节仅就有关差分方程的知识作简要介绍。3．4．1基本概念

3．4．2常系数线性差分方程求解举例3.4.3差分方程的平衡点及稳定性简介习题与思考题参考文献叶其孝.大学生数学建模竞赛辅导教材（二）.长沙：湖南教育出版社，1997姜启源.数学模型.北京：高等教育出版社，1993任善强.数学模型.重庆：重庆大学出版社，1998（美）G.F.赛蒙斯.微分方程.北京：人民教育出版社，1981E.A.本德.数学模型引论.北京：科学普及出版社，1982湛安琦.科