(电大2019年秋)经济数学基础形成性考核册参考答案

5#xx+2(6).原式=皿x-2sin(x+2)x+2lim(x+2) x-2_sin(x一2)lim x-2 x-2二42.(1)limf(x)—b,limf(x)—1x—0- x—0+当a—b—1时， 有(2),当 a—b—1时，函数f(x)在x=0处连续.3.计算下列函数的导数或微分limf(x)=f(0)=1limf(x)—f(0)―1x-0(1).xIn2(2).(3).(4).,a(cx+d)一c(ax+b)y― (cx+d)2, 3 -3y，--_(3x-5)-21y———一(ex+xex)2.\.；x1ad一bc(cx+d)2exex—xex(5).2、；xy—(eax)’(sinbx+eax(sinbx)'

―aeaxsinbx+beaxcosbx―eax(sinbx+bcosbx);,dy—eax(asinbx+bcosbx)dx

，—11 3-.•y———ex+—vxx2 23-11、,\dy—(一vx一——ex)dx2x2.Vy'--sinvx・(.Jx)'-e-x2.(-x2ysin<x.=- -+2xe-x22、/x

sin%X,

dy—(一 +2xe-x2)dx2%；x,、f 一.._ ,y—nsinn-1x-cosx+ncosnx

y'= ' •(X+'v'1+X2)x+A1+x2X= . .(1+. )X+k1+X2 v1+X2v1+X2+X二 , X+\；1+X2 J1+X21v1+X2, 1 1, 11.—,y=2cosx•In2•(cos-)+(x-2+x6一<2)(10)X(10)1, .1 1 1二一•2cosxIn2•sin———十—X2 X 2,,X3 6V：X5.下列各方程中y是x的隐函数，试求y'或dy⑴方程两边对x求导：2x+2y•y'_y_xy'+3=0(2y一x)y,二y一2x一3y一2x一3所以dy=- dx2y一x(2)方程两边对x求导：cos(x+y)(1+y')+exy•(y+xy')=4[cos(x+y)+xexy]y'=4一cos(x+y)一yexy所以4一cos(x+y)一yexy

cos(x+y)+xexy所以3.求下列函数的二阶导数:, 2x(1)y=——1+X22一2x2(1+X2)22(1+x2)-22一2x2(1+X2)2_1 1, 1a.11/、一'(2)y=(X2—X2)二一一X/、一'(2)y=TOC\o"1-5"\h\z2 2〃35 1 3y——x2+-x24 4, 31y'(1)—_+_—14411；11；1+x21.D 2.C3.C 4.D5.B经济数学基础作业2一、填空题：1.2x1n2+2 2.sinx+c3.--F(1-x2)+c4.0 5.2、单项选择：三、计算题：1、计算极限(1)原式=J(一)xdx

e(3)x=气+c二1n3e3x +cex(1n3-1)(2)原式=J(x-2+2jx+x3)dx(3)35原式=J(x-2)dx=-x2乙(4)-1Jd(1-2x)原式二-2J下■歹一21nl1-2x|(5)(6)原式=；J<2+x2d(2+x2)1/c、3=—(2+x2)2+c=3原式=21sin.xcdx=-2cos、；x+c(7)x-2cos_2x一4sin—2xsin—2xx.•.原式=-2xcos-+4sin-+c乙 乙(8),・•(+)ln(x+1)1(-)x+1原式二xln(x+l)—J——-dxx+1=xln(x+l)-f(1--L_)dxx+1=xh(x+l)-x+h(x+l)+c2.计算下列定积分：-1(4)2(x-V)dxIc5 9=2+—=—22=2+(1X2-%)22i_L原式二J—(—X2)d—1X21--ex原式二xi2="©21I〃__,x(i(l+Inx)ixJl+Inx=2Jl+Inx(+)0(-)1cos2x1.—sin2x21 c--coszx411sin2x+-coslx)_1_1__1=_1_1__1=~4~4~~2(5) (+)Inx(-)—1 ।.・.原式:mln%02 1—--X224(6),・•原式=4+

%X2~21f〃~21f〃e-—J«xdXi2iI；=*2+1)4xe--xdx0e-xe-x—C-X^e-x又♦:(+)%

(-)1

(+)0

J4xe-xdx=(-xe-x-e-x)40 0=—5e-4+1故：原式二5-5e-4经济数学基础作业3一、填空题1.3.2.-72.3.A,B可交换.4.(I-B)-1A.5.5.二、单项选择题1.C. 5.二、单项选择题1.C. 2,A. 3,C. 4,A.、解答题(1)解：原式二-2一(2)解：原式二50l(3)解：原式=In]「70」19152.解：原式二1211-7-3-2-14115113.解：AB=3.-14.解：A=②+①x(-2)③I①)((1)_>2九一4-1-7-4-1

九一44-4-71③6(入4)>00〜 9一一所以当九二时,秩r(㈤最小为2。2-552-55-85.解：AI"4-13215434201231 -7 4 2 05 -8 5 4 3(①，③)>2 -5 3 2 14 -112 3②+①x(-5)③+①x(-2)④I①><(4)>1-7 4 201-7 4 20027-15-6309 -5-21(②，③)》09 -5-21027-15-63027-15-63027-15-63③②x(-3)④6(3)>TOC\o"1-5"\h\z1-7 4 2009-5-2100 0 0000 0 00所以秩r(A)=2.求下列矩阵的逆矩阵:(1)12 10 07 1 1①+②"3012 10 07 1 1①+②"30—③1②"(4)>09 3 9-3-1 0 101-3②4力>0104010110337119391 1 49 3 91000101009113237349所以A-1①+③x3②I③"7>113一10011237③"9》010231410013439」1-3791-32100②+①x31-32100-301010③I①"(1)>0-9731011-100104-3-101解：AM]=解：[am]=-13 -6 -3 1 0 0--4 -2 -1 0 1 02 1 10011 1 4 1 0 7解：[am]=-13 -6 -3 1 0 0--4 -2 -1 0 1 02 1 10011 1 4 1 0 7①I③、,7、■1 1 4107--4-2-10102 1 1001一1 1 4 1 0 7 一0 1 8 2 1 150-1-7-20-13——W八7/②I③\0-1-7-20-13——I——?10②+①x4③I①><(2)>①+②X(-1)③I②——>-4-1-1-8①+③x4100-13082115——②©><(8)>0102-7-11012001012100-1©[am]二①I②x(2)>1-5②I①x(3)>0l②x(1)>-5X=BA-10l-1所以A-1.解：X=BA-i四、证明题1.试证:若%B2都与A可交换，证明：•・AB=BA,AB1.试证:若%B2都与A可交换，证明：•・AB=BA,AB=BA1122则B+B，

12BB12也与A可交换。A(B+B)=AB+AB=BA+BA=(B+B)A122112A(BB)=ABB=BAB=BBA=(BB)A12 12 1 2 12B+B,BB也与A可交换。1 2 12122.试证:证明：•・对于任意方阵A,A+At,AAr,At2.试证:证明：•・(A+Ar)t=Ar+(Ar)t=Ar+A=A+Ar(AAr)r=(Ar)r(A)r=AAr(ArA)r=(A)r(Ar)r=ArA・•・A+Ar,AAr,ArA是对称矩阵。3.设A,B均为n阶对称矩阵，则AB对称的充分必要条件是：AB=BA。证明：充分性:Ar=A,Br=B,(AB)r=AB.・.AB=(AB)r=BrAr=BA必要性•・•Ar=A,Br=B,AB=BA

・•.(AB)t=(BA)t=AtBt=AB即AB为对称矩阵。4.设A为n阶对称矩阵，B为n阶可逆矩阵，且B-1=Bt，证明B-1AB是对称矩阵。证明：At=A,B-1=Bt・•.(B-iAB)t=BtAt(B-1)t=B-iA(Bt)-1=B-1A(B-1)-1=B-1AB即B-1AB是对称矩阵。经济数学基础作业4P3.——.4.4 .5.P3.——.4.4 .5.t。一1.2 exdx1.1<x<4且x丰2.2,x=1,x=1,小二、单项选择题exdx二、单项选择题1.B.2,C. 3,A.4,D.5.C.三、解答题将x=0,y=0代入上式得：C=—则原方程的特解为：-=1e2x+11 ex(2)解：原方程变形为：y'+y=一xx原方程的通解为:y=y=e」口x(Je』%x巴dx+C)=einx-1(f

xexeinx-dx+C)x=—(fexdx+C)x=—=—(ex+C)x将x=1,y=0代入上式得：C=e一、……， 1， 、则原方程的特解为：y=(ex-e)x一102-1A一102-1A=-11-322-15-34.求解下列线性方程组的一般解:(1)解：原方程的系数矩阵变形过程为:02-11-11-11-1②+①③@><(2)>001③I②>00021-100-110由于秩(A由于秩(A)=2<n=4,所以原方程有无穷多解，其一般解为:(2)解：原方程的增广矩阵变形过程为：一2-1 1 1「一1 2-142一A=12-142—(①，②)>2-1 1 1117-411517-4115[x=-2x+x<1 3 4(其中x,x为自由未知量)。Ix=x-x 3 412 3 4②+①x(-2)③।①(><②+①x(-2)③।①(><i)>0-5一12-142③1>0-53-7-300000-14 23-7-305-37 3641 2 -1②x(-l > 0 1 --50 0 0475023501①I②x(2)>0015350557355

00由于秩(由于秩(A)=2<n=4,所以原方程有无穷多解，其一般解为:'41 6x=---x一一x,155354(其中x,x为自由未知量)。3 3 7 3 4x=—+—x-—xI2553545.当九为何值时，线性方程组x一x-5x+4x=212 3 42x一x一x-5x+4x=212 3 42x一x+3x一x=1< 1 2 3 43x一2x一2x+3x=312 3 47x一5x-9x+10x=X123 41一1一542②+①x(-2)1一1一5422一13一11③+①x(-3)④1①x(7)\0113一9一33一2一2333,1山x(7)?0113一9一37一5一910X0226—18X—14有解，并求一般解。解：原方程的增广矩阵变形过程为:A=08一5①+②③+②x(-1)④6(2)>113一900 0一1一30X—8所以当X=8时，秩(A)=2<n=4,原方程有无穷多解，其一般解为:fx=-1—8x+5x《1 3 4Ix=-3一13x+9x22 3 46.解：原方程的增广矩阵变形过程为：②+①x(-1)A=11-22③@x(1)>0213ab04「1—1—111 「1—1—1 11讨论：(1)当a。一3,b为实数时，秩(A)=3=n=3,方程组有唯一解；一1 1a+1b—1—③1②x(2)>02-100a+31—1—1(2)当a=一3,b=3时，秩(A)=2<n=3,方程组有无穷多解；(3)当a二一3,b丰3时，秩(A)=3£秩(A)=2,方程组无解；7.求解下列经济应用问题：解：①平均成本函数为：西=Cq=100+0.25q+6(万元/单位)qq边际成本为：C(q)=0.5q+6・•・当q=10时的总成本、平均成本和边际成本分别为：C(10)=100+0.25*102+6义10=185(元)C(i0)=子+0.25x10+6=18.5(万元/单位)C'(10)=0.5x10+6=11(万元/单位)100.②由平均成本函数求导得：C(q)=一一+0.25q2 ，令C(q)=0得唯一驻点q1=20(个)，q1=-20(舍去)由实际问题可知，当产量q为20个时，平均成本最小。(2)解：由P=14—0.01q得收入函数R(q)=pq