XX届高考理科数学第一轮总复习不等式教案

XX届高考理科数学第一轮总复习不等式教课方案本资料为woRD文档，请地址下载全文下载地址第十八章不等式选讲高考导航考试要求重难点击命题展望.理解绝对值的几何意义，并能用它证明绝对值三角不等式等较简单的不等式.①|a＋b|≤|a|＋|b|；|a－b|≤|a－c|＋|c－b|.能用绝对值的几何意义解几类简单的绝对值型不等式，如|ax＋b|≤c或|ax＋b|≥c，以及|x－a|＋|x－b|≥c或|x－a|＋|x－b|≤c种类.认识证明不等式的基本方法：比较法、综合法、解析法、反证法和放缩法.认识数学概括法的原理及其使用范围，会用它证明一些简单不等式及其他问题.认识柯西不等式的几种不相同形式：二维形式≥2、向量形式|α|•|β|≥|α•β|、一般形式，理解它们的几何意义.掌握柯西不等式在证明不等式和求某些特殊种类的函数极值中的应用.6.认识排序不等式的推导及意义并能简单应用.会用数学概括法证明贝努利不等式：本章重点：不等式的基本性质；基本不等式及其应用、绝对值型不等式的解法及其应用；用比较法、解析法、综合法证明不等式；柯西不等式、排序不等式及其应用.本章难点：三个正数的算术——几何平均不等式及其应用；绝对值不等式的解法；用反证法、放缩法证明不等式；运用柯西不等式和排序不等式证明不等式.本专题在数学必修5“不等式”的基础上，进一步学习一些重要的不等式，如绝对值不等式、柯西不等式、排序不等式以及它们的证明，同时认识证明不等式的一些基本方法，如比较法、综合法、解析法、反证法、放缩法、数学概括法等，会用绝对值不等式、平均值不等式、柯西不等式、排序不等式等解决一些简单问题.高考中，只观察上述知识和方法，不对恒等变形的难度和一些技巧作过高的要求.知识网络18.1绝对值型不等式典例精析题型一解绝对值不等式【例1】设函数f＝|x－1|＋|x－2|.解不等式f＞3；若f＞a对x∈R恒成立，求实数a的取值范围.【解析】因为f＝|x－1|＋|x－2|＝所以当x＜1时，3－2x＞3，解得x＜0；当1≤x≤2时，f＞3无解；当x＞2时，2x－3＞3，解得x＞3.所以不等式f＞3的解集为∪.因为f＝所以fmin＝1.因为f＞a恒成立，所以a＜1，即实数a的取值范围是.【变式训练1】设函数f＝|x＋1|＋|x－2|＋a.当a＝－5时，求函数f的定义域；若函数f的定义域为R，试求a的取值范围.【解析】由题设知|x＋1|＋|x－2|－5≥0，如图，在同一坐标系中作出函数y＝|x＋1|＋|x－2|和y＝5的图象，知定义域为.由题设知，当x∈R时，恒有|x＋1|＋|x－2|＋a≥0，即|x＋1|＋|x－2|≥－a，又由知|x＋1|＋|x－2|≥3，所以－a≤3，即a≥－3.题型二解绝对值三角不等式【例2】已知函数f＝|x－1|＋|x－2|，若不等式|a＋b|＋|a－b|≥|a|f对a≠0，a、b∈R恒成立，求实数x的范围.【解析】由|a＋b|＋|a－b|≥|a|f且a≠0得|a＋b|＋|a

－b||a|

≥f.又因为|a＋b|＋|a－b||a|≥|a＋b＋a－b||a|＝2，则有2≥f.解不等式|x－1|＋|x－2|≤2得12≤x≤52.【变式训练2】若不等式|x＋1|＋|x－3|≥a＋4a对任意的实数x恒成立，则实数a的取值范围是.【解析】∪{2}.题型三利用绝对值不等式求参数范围【例3】设函数f＝|x－1|＋|x－a|.若a＝－1，解不等式f≥3；若是∀x∈R，f≥2，求a的取值范围.【解析】当a＝－1时，f＝|x－1|＋|x＋1|.由f≥3得|x－1|＋|x＋1|≥3，①当x≤－1时，不等式化为1－x－1－x≥3，即－2x3，不等式组的解集为.综上得f≥3的解集为.若a＝1，f＝2|x－1|不满足题设条件.若a＜1，f＝的最小值为1－a.由题意有1－a≥2，即a≤－1.若a＞1，f＝f的最小值为a－1，由题意有a－1≥2，故a≥3.综上可知a的取值范围为.【变式训练3】关于实数x的不等式|x－122|≤122与x2－3x＋2≤0的解集分别为A，B.求使A⊆B的a的取值范围.【解析】由不等式|x－122|≤122⇒－122≤x－122122，解得2a≤x≤a2＋1，于是A＝{x|2a≤x≤a2＋1}.由不等式x2－3x＋2≤0⇒[x－]≤0，①当3a＋1≥2，即a≥13时，B＝{x|2≤x≤3a＋1}，因为A⊆B，所以必有解得1≤a≤3；②当3a＋1＜2，即a＜13时，B＝{x|3a＋1≤x≤2}，因为A⊆B，所以解得a＝－1.综上使A⊆B的a的取值范围是a＝－1或1≤a≤3.总结提高.“绝对值三角不等式”的理解及记忆要结合三角形的形状，运用时注意等号成立的条件.绝对值不等式的解法中，x＜a的解集是；x＞a的解集是∪，它可以实行到复合型绝对值不等式ax＋b≤c，ax＋b≥c的解法，还可以实行到右边含未知数x的不等式，如3x＋1≤x－1⇒1－x≤3x＋1≤x－1.3.含有两个绝对值符号的不等式，如x－a＋x－b≥c和x－a＋x－b≤c型不等式的解法有三种，几何解法和代数解法以及构造函数的解法，其中代数解法主若是分类谈论的思想方法，这也是函数解法的基础，这两种解法都合适于

x前面系数不为

1种类的上述不等式，使用范围更广

.18.2不等式的证明典例精析题型一用综合法证明不等式【例1】若a，b，c为不全相等的正数，求证：lga＋b2＋lgb＋c2＋lga＋c2＞lga＋lgb＋lgc.【证明】由a，b，c为正数，得lga＋b2≥lgab；lgb＋c2≥lgbc；lga＋c2≥lgac.而a，b，c不全相等，所以lga＋b2＋lgb＋c2＋lga＋c2＞lgab＋lgbc＋lgaclga2b2c2＝lg＝lga＋lgb＋lgc.即lga＋b2＋lgb＋c2＋lga＋c2＞lga＋lgb＋lgc.【点拨】本题采用了综合法证明，其中基本不等式是证明不等式的一个重要依照，在证明不等式时要注意结合运用.而在不等式的证明过程中，还要特别注意等号成立的条件是否满足.【变式训练1】已知a，b，c，d都是实数，且a2＋b2＝1，c2＋d2＝1.求证：|ac＋bd|≤1.【证明】因为a，b，c，d都是实数，所以|ac＋bd|≤|ac|＋|bd|≤a2＋c22＋b2＋d22＝a2b2＋c2＋d22.又因为a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，所以|ac＋bd|≤1.题型二用作差法证明不等式【例2】设a，b，c为△ABc的三边，求证：a2＋b2＋c2＜2.【证明】a2＋b2＋c2－2＝2＋2＋2－a2－b2－c2[2－c2]＋[2－a2]＋[2－b2].而在△ABc中，b－a＜c，所以2＜c2，即2－c2＜0.同理2－b2＜0，2－a2＜0，所以a2＋b2＋c2－2＜0.故a2＋b2＋c2＜2.【点拨】不等式的证明中，比较法特别是作差比较法是最基本的证明方法，而在波及到三角形的三边时，要注意运用三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.【变式训练2】设a，b为实数，0＜n＜1,0＜m＜1，mn＝1，求证：a2m＋b2n≥2.【证明】因为a2m＋b2n－2＝na2＋mb2mn－nmmnna2＋mb2－2mnabmnn2a2＋m2b2－2mnabmn＝2mn≥0，所以不等式a2m＋b2n≥2成立.题型三用解析法证明不等式【例3】已知a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1.求证：≥8.【证明】因为a、b、c∈R＋，且a＋b＋c＝1，所以要证原不等式成立，即证[＋a][＋b][＋c]8[－a][－b][－c]，也就是证[＋][＋][＋]≥8.①因为＋≥2＞0，＋≥2＞0，＋≥2＞0，三式相乘得①式成立，故原不等式得证.【点拨】本题采用的是解析法.从待证不等式出发，解析并追求使这个不等式成立的充分条件的方法叫解析法，概括为“执果索因”.解析法也可以作为搜寻证题思路的方法，解析后再用综合法书写证题过程.【变式训练3】设函数f＝x－aln.求f的单调区间；求证：当m＞n＞0时，n＜m.【解析】f′＝1－aln－a，a＝0时，f′＞0，所以f在上是增函数；②当a＞0时，f在单调递减.证明：要证n＜m，只需证nln＜mln，只需证lnm＜lnn.设g＝lnx，则g′＝x1＋x－lnx2＝x－lnx2.由知x－ln在单调递减，所以x－ln＜0，即g是减函数，而m＞n，所以g＜g，故原不等式成立.总结提高.一般在证明不等式的题目中，第一考虑用比较法，它是最基本的不等式的证明方法.比较法一般有“作差比较法”和“作商比较法”，用得很多的是“作差比较法”，其中在变形过程中常常要用到配方、因式分解、通分等计算方法.用综合法证明不等式的过程中，所用到的依照一般是定义、公义、定理、性质等，如基本不等式、绝对值三角不等式等.用解析法证明不等式的重点是对原不等式的等价变换，它是从要证明的结论出发，渐渐搜寻使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实，从而得出要证的命题成立.所谓“综合法”、“解析法”其实是证明题的两种书写格式，而不是真切意义上的证明方法，其实不像前面所用的比较法及后边要复习到的三角代换法、放缩法、鉴识式法、反证法等是一种详尽的证明方法，而可是两种互逆的证明题的书写格式.8.3不等式的证明典例精析题型一用放缩法、反证法证明不等式【例1】已知a，b∈R，且a＋b＝1，求证：2＋2≥252.【证明】方法一：因为a＋b＝1，所以左边＝2＋2≥2[＋2]2＝12[＋4]2＝252＝右边.方法二：假设2＋2＜252，则a2＋b2＋4＋8＜252.由a＋b＝1，得b＝1－a，于是有a2＋2＋12＜252.所以2＜0，这与2≥0矛盾.故假设不成立，所以2＋2≥252.【点拨】依照不等式左边是平方和及a＋b＝1这个特点，采用重要不等式a2＋b2≥22来证明比较好，它可以将具备a2＋b2形式的式子缩小.而反证法的思路重点是先假设命题不成立，结合条件ab＝1，获取关于a的不等式，最后与数的平方非负的性质矛盾，从而证了然原不等式.自然本题也可以用解析法和作差比较法来证明.【变式训练1】设a0，a1，a2，，an－1，an满足a0＝an＝0，且有a0－2a1＋a2≥0，a1－2a2＋a3≥0，an－2－2an－1＋an≥0，求证：a1，a2，，an－1≤0.【证明】由题设a0－2a1＋a2≥0得a2－a1≥a1－a0.同理，an－an－1≥an－1－an－2≥≥a2－a1≥a1－a0.假设a1，a2，，an－1中存在大于0的数，假设ar是a1，a2，，an－1中第一个出现的正数.即a1≤0，a20，，ar－1≤0，ar＞0，则有ar－ar－1＞0，于是有an－an－1≥an－1－an－2≥≥ar－ar－1＞0.并由此得an≥an－1≥an－2≥≥ar＞0.这与题设an＝0矛盾.由此证得a1，a2，，an－1≤0成立.题型二用数学概括法证明不等式【例2】用放缩法、数学概括法证明：设an＝1×2＋2×3＋＋n，n∈N*，求证：n2＜an＜22.【证明】方法一：n2＜n＜n＋2，即n＜n＜2n＋12.所以1＋2＋＋n＜an＜12[1＋3＋＋].所以n2＜an＜12•2，即n2＜an＜22.方法二：①当n＝1时，a1＝2，而1＜2＜2，所以原不等式成立.②假设n＝k时，不等式成立，即k2＜ak＜22.则当n＝k＋1时，ak＋1＝1×2＋2×3＋＋k＋，所以k2＋＜ak＋1＜22＋.而k2＋＞k2＋＝k2＋＝2，22＋＜22＋＋2＝k2＋4k＋42＝22.所以2＜ak＋1＜22.故当n＝k＋1时，不等式也成立.综合①②知当n∈N*，都有n2＜an＜22.【点拨】在用放缩法时，常利用基本不等式n＜n＋2将某个相乘的的式子进行放缩，而在上面的方法二的数学概括法的重点步骤也要用到这个公式.在用数学概括法时要注意依照目标来搜寻思路.【变式训练2】已知数列8×112×32，8×232×52，，8n22，，Sn为其前n项和，计算得S1＝89，S2＝2425，S3＝4849，S4＝8081，观察上述结果推测出计算Sn的公式且用数学概括法加以证明.【解析】猜想Sn＝2－12.证明：①当n＝1时，S1＝32－132＝89，等式成立.②假设当n＝k时等式成立，即Sk＝2－12.则Sk＋1＝Sk＋822＝2－12＋82222－222＝[2＋1]2－1[2＋1]2.即当n＝k＋1时，等式也成立.综合①②得，对任何n∈N＋，等式都成立.题型三用不等式证明方法解决应用问题【例

3】某地区原有森林木材存量为

a，且每年增加率为25%，因生产建设的需要每年年终要砍伐的木材量为

b，设

an

为

n年后该地区森林木材存量

.求an的表达式；为保护生态环境，防范水土流失，该地区每年森林木材量应很多于79a，若是b＝1972a，那么该地区今后会发生水土流失吗？若会，需要经过几年？【解析】依题意得a1＝a－b＝54a－b，a2＝54a1－b＝54－b＝2a－b，a3＝54a2－b＝3a－[2＋]b，由此猜想an＝na－[n－1＋n－2＋＋54＋1]b＝na－4[n－1]b.下面用数学概括法证明：①当n＝1时，a1＝54a－b，猜想成立.②假设n＝k时猜想成立，即ak＝ka－4[k－1]b成立.那么当n＝k＋1时，ak＋1＝54ak－b＝54ka－4[k－1]bb＝k＋1a－4[k＋1－1]b，即当n＝k＋1时，猜想仍成立.由①②知，对任意n∈N＋，猜想成立.当b＝1972a时，若该地区今后发生水土流失，则森林木材存量必定少于79a，所以na－4[n－1]•1972a＜79a，整理得n＞5，两边取对数得nlg54＞lg5，所以n＞lg5lg5－2lg2＝1－lg21－3lg2≈1－0.301－30.30＝7.故经过8年该地区就开始水土流失.【变式训练3】经过长远观察获取：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y与汽车的平均速度v之间的函数关系为y＝920vv2＋3v＋1600.在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？若要求在该时段内车流量高出10千辆/时，则汽车的平均速度应在什么范围内？【解析】依题意，y＝9203＋≤9203＋21600＝92083，当且仅当v＝1600v，即v＝40时，上式等号成立，所以ymax92083≈11.1.由条件得920vv2＋3v＋1600＞10，整理得v2－89v＋1600＜0，即＜0，解得25＜v＜64.答：当v＝40千米/时时，车流量最大，最大车流量约为

11.1

千辆/

时.

若是要求在该时段内车流量高出

10千辆

/时，则汽车的平均速度应大于

25千米/

时且小于

64千米/

时.总结提高.有些不等式，从正面证若是不易讨情，可以考虑反证法，凡是含有“最少”、“唯一”也许其他否定词的命题适用反证法.在一些客观题如填空、选择题之中，也可以用反证法的方法进行命题正确与否的判断.放缩法是证明不等式特有的方法，在证明不等式过程中常常要用到它，放缩要有目标，目标在结论和中间结果中搜寻.常用的放缩方法有：增加或舍去一些项，如a2＋1＞a，n＞n；将分子或分母放大；利用基本不等式，如n＜n＋2；利用常用结论，如k＋1－k＝1k＋1＋k＜12k，k2＜1k＝1k－1－1k；k2＞1k＝1k－1k＋1；k2＜1k2－1＝1＝12.用数学概括法证明与自然数相关的不等式的证明过程与用数学概括法证明其他命题相同，先要确立，后进行假设与推理，二者缺一不可以.8.4柯西不等式和排序不等式典例精析题型一用柯西不等式、排序不等式证明不等式【例1】设a1，a2，，an都为正实数，证明：a21a2a22a3＋＋a2n－1an＋a2na1≥a1＋a2＋＋an.【证明】方法一：由柯西不等式，有≥2＝2.不等式两边约去正数因式a1＋a2＋＋an即得所证不等式.方法二：不如设a1≤a2≤≤an，则a21≤a22≤≤a2n，1a1≥1a2≥≥1an.由排序不等式有a21•1a2＋a22•1a3＋＋a2n－1•1an＋a2n•1a1≥a21•1a1＋a22•1a2＋＋a2n•1an＝a1＋a2＋＋an，故不等式成立.方法三：由均值不等式有a21a2＋a2≥2a1，a22a3＋a3≥2a2，，a2na1＋a1≥2an，将这n个不等式相加得a21a2＋a22a3＋＋a2n－1an＋a2na1＋a2＋a3＋＋an＋a1≥2，整理即得所证不等式.【点拨】依照所证不等式的构造形式观察可否吻合柯西不等式、排序不等式的构造形式或有相似之处.将其配成相关构造形式是解决问题的打破口，有时常常要进行添项、拆项、重组、配方等方法的办理.【变式训练1】已知a＋b＋c＝1，且a、b、c是正数，求证：2a＋b＋2b＋c＋2c＋a≥9.【证明】左边＝[2][＋＋]≥2＝9，＋＋]3＋a＋bb＋c＋a＋bc＋a＋b＋ca＋b＋b＋cc＋a＋caa＋b＋c＋ab＋c3＋2＋2＋2＝9)所以2a＋b＋2b＋c＋2c＋a≥9.题型二用柯西不等式求最值【例2】若实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝2，求x2＋y2z2的最小值.【解析】由柯西不等式得，≥2＝4，所以14≥4.所以x2＋y2＋z2≥27.故x2＋y2＋z2的最小值为27.【点拨】依照柯西不等式，要求x2＋y2＋z2的最小值，就要给x2＋y2＋z2再配一个平方和形式的因式，再考虑需要出现定值，就要让柯西不等式的右边出现x＋2y＋3z的形式，从而获取解题思路.因此可知，柯西不等式可以应用在求代数式的最值中.【变式训练2】已知x2＋2y2＋3z2＝1817，求3x＋2y＋z的最小值.【解析】因为[32＋2＋2]≥2≥2，所以2≤12，即－23≤3x＋2y＋z≤23，当且仅当x＝－9317，y＝－3317，z＝－317时，3x＋2y＋z取最小值，最小值为－23.题型三不等式综合证明与运用【例3】设x＞0，求证：1＋x＋x2＋＋x2n≥xn.【证明】当x≥1时，1≤x≤x2≤≤xn，由排序原理：序次和≥反序和得•1＋x•x＋x2•x2＋＋xn•xn≥1•xn＋