回归分析学习与应用

回归分析学习与应用第1页，共75页，2023年，2月20日，星期四一元线性回归一、什么叫回归分析 简单的说，回归分析就是一种处理变量与变量之间关系的数学方法。第2页，共75页，2023年，2月20日，星期四变量间的关系确定性关系或函数关系y=f(x)人的身高和体重家庭的收入和消费商品的广告费和销售额粮食的产量和施肥量股票的价格和时间学生的期中和期末考试成绩,…非确定性关系如果对于任何已知的x值,变量y和按某个概率取某些特殊的值,则x和y之间的关系为随机的.xY实变量随机变量非确定性关系第3页，共75页，2023年，2月20日，星期四

英国人类学家F.Galton首次在《自然遗传》一书中，提出并阐明了“相关”和“相关系数”两个概念，为相关论奠定了基础。其后，他和英国统计学家KarlPearson对上千个家庭的身高做了测量，发现：历史背景：第4页，共75页，2023年，2月20日，星期四

儿子身高（Y，英寸）与父亲身高（X，英寸）存在线性关系：。

也即高个子父代的子代在成年之后的身高平均来说不是更高，而是稍矮于其父代水平，而矮个子父代的子代的平均身高不是更矮，而是稍高于其父代水平。Galton将这种趋向于种族稳定的现象称之“回归”第5页，共75页，2023年，2月20日，星期四“回归”已成为表示变量之间某种数量依存关系的统计学术语，并且衍生出“回归方程”“回归系数”等统计学概念。第6页，共75页，2023年，2月20日，星期四如果数学关系式描写了一个变量与另一个变量之间的关系，则称其为一元回归分析；如果数学关系式描写了一个变量与另多个变量之间的关系，则称其为多元回归分析第7页，共75页，2023年，2月20日，星期四二、回归分析所能解决的问题回归分析主要解决以下几方面的问题：（1）确定几个特定变量之间是否存在相关关系，如果存在的话，找出她们之间合适的数学表达式（2）根据一个或几个变量的值，预报或控制另一个变量的取值，并且要知道这种预报或控制的精确度（3）进行因素分析，确定因素的主次以及因素之间的相互关系等等第8页，共75页，2023年，2月20日，星期四一元线性回归分析，只要解决：（1）求变量x与y之间的回归直线方程（2）判断变量x和y之间是否确为线性关系（3）根据一个变量的值，预测或控制另一变量的取值第9页，共75页，2023年，2月20日，星期四二、一元线性回归方程的确定第10页，共75页，2023年，2月20日，星期四第11页，共75页，2023年，2月20日，星期四第12页，共75页，2023年，2月20日，星期四第13页，共75页，2023年，2月20日，星期四第14页，共75页，2023年，2月20日，星期四第15页，共75页，2023年，2月20日，星期四三、回归方程检验方法（一）方差分析法 回顾方差分析的基本特点： 把所给数据的总波动分解为两部分，一部分反映水平变化引起的波动，另一部分反映由于存在试验误差而引起的波动。然后把各因素水平变化引起的波动与试验误差引起的波动大小进行比较，而达到检验因素显著性的目的.第16页，共75页，2023年，2月20日，星期四第17页，共75页，2023年，2月20日，星期四第18页，共75页，2023年，2月20日，星期四第19页，共75页，2023年，2月20日，星期四第20页，共75页，2023年，2月20日，星期四（二）相关系数检验法第21页，共75页，2023年，2月20日，星期四第22页，共75页，2023年，2月20日，星期四第23页，共75页，2023年，2月20日，星期四第24页，共75页，2023年，2月20日，星期四第25页，共75页，2023年，2月20日，星期四第26页，共75页，2023年，2月20日，星期四第27页，共75页，2023年，2月20日，星期四n-2123456789100.050.010.9970.9500.8780.8110.7540.7070.6660.6320.6020.5761.0000.9900.9590.9170.8740.8340.7980.7650.7350.708n-2111213141516171819200.050.010.5530.5320.5140.4790.4820.4680.4560.4440.4330.4130.6840.6610.6410.6230.6060.5900.5750.5610.5490.537n-2212223242526272829300.050.010.4130.4040.3960.3880.3810.3740.3670.3640.3550.3490.5260.5150.5050.4960.4870.4780.4700.4630.4560.449相关系数临界值表第28页，共75页，2023年，2月20日，星期四四、预报与控制 当我们求得变量x、y之间的回归直线方程后，往往通过回归方程回答这样两方面的问题：（1）对任何一个给定的观测点x0，推断y0大致落的范围（2）若要求观测值y在一定的范围y1<y<y2内取值，应将变量控制在什么地方 前者就是所谓的预报问题，后者称为控制问题。第29页，共75页，2023年，2月20日，星期四第30页，共75页，2023年，2月20日，星期四第31页，共75页，2023年，2月20日，星期四第32页，共75页，2023年，2月20日，星期四第33页，共75页，2023年，2月20日，星期四五、应用举例 在某产品表明腐蚀刻线，下表是试验获得的腐蚀时间（x）与腐蚀深度（y）间的一组数据。试研究两变量（x，y）之间的关系。腐蚀时间x（秒）腐蚀深度y（μ）5510203040506065901204681316171925252946第34页，共75页，2023年，2月20日，星期四40302010yx102030405060708090100110120第35页，共75页，2023年，2月20日，星期四第36页，共75页，2023年，2月20日，星期四序号12345678910115510203040506065901204954681316171925252946208252510040090016002500360042258100144003587516366416925628936162562584121165398203080260480680950150016252610552013755第37页，共75页，2023年，2月20日，星期四第38页，共75页，2023年，2月20日，星期四第39页，共75页，2023年，2月20日，星期四第40页，共75页，2023年，2月20日，星期四第41页，共75页，2023年，2月20日，星期四(x,y)采集样本信息(xi,yi)回归分析散点图回归方程回归方程的显著性检验对现实进行预测与控制基本思想第42页，共75页，2023年，2月20日，星期四多元回归分析方法第43页，共75页，2023年，2月20日，星期四一、多元回归分析概述上节讨论的只是两个变量的回归问题，其中因变量只与一个自变量相关。但这只是最简单的情况，在大多数的实际问题中，影响因变量的因素不是一个而是多个，我们称这类问题为多元回归分析。我们这里着重讨论简单而又最一般的线性回归问题，这是因为许多非线性的情形可以化为线性回归来做。多元线性回归分析的原理与一元线性回归分析完全相同，但在计算上却要复杂得多。。第44页，共75页，2023年，2月20日，星期四第45页，共75页，2023年，2月20日，星期四第46页，共75页，2023年，2月20日，星期四第47页，共75页，2023年，2月20日，星期四第48页，共75页，2023年，2月20日，星期四第49页，共75页，2023年，2月20日，星期四第50页，共75页，2023年，2月20日，星期四第51页，共75页，2023年，2月20日，星期四多元线性回归方差分析表第52页，共75页，2023年，2月20日，星期四三、非线性回归模型

非线性关系线性化的几种情况:①

对于指数曲线，令,可以将其转化为直线形式：，其中，；

②对于对数曲线，令，，可以将其转化为直线形式：；③对于幂函数曲线，令，，可以将其转化为直线形式：其中，；第53页，共75页，2023年，2月20日，星期四④对于双曲线，令，转化为直线形式：；⑤对于S型曲线，可转化为直线形式：；⑥对于幂乘积：，只要令，就可以将其转化为线性形式：其中，；第54页，共75页，2023年，2月20日，星期四⑦对于对数函数和只要令，就可以将其化为线性形式：

例:下表给出了某地区林地景观斑块面积（Area）与周长（Perimeter）的数据。下面我们建立林地景观斑块面积A与周长P之间的非线性回归模型。第55页，共75页，2023年，2月20日，星期四

序号面积A周长P序号面积A周长P110447.370625.39242232844.3004282.043215974.730612.286434054.660289.307330976.770775.7124430833.840895.98049442.902530.202451823.355205.131510858.9201906.1034626270.300968.060621532.9101297.9624713573.9601045.07276891.680417.0584865590.0802250.43583695.195243.90749157270.4002407.54992260.180197.239502086.426266.54110334.33299.729513109.070261.8181111749.080558.921522038.617320.396122372.105199.667533432.137253.335138390.633592.893541600.391230.030146003.719459.467553867.586419.406表1某地区各个林地景观斑块面积（m2）与周长（m）

第56页，共75页，2023年，2月20日，星期四15527620.2006545.291561946.184198.66116179686.2002960.4755777.30556.9021714196.460597.993587977.719715.7521822809.1801103.0705919271.8201011.1271971195.9401154.118608263.480680.710203064.242245.049614697.1301234.1142469416.7008226.0091624519.867326.3171225738.953498.6566313157.6601172.916238359.465415.151646617.270609.801246205.016414.790654064.137437.3552560619.0201549.871665645.820432.3552614517.740791.943676993.355503.7842731020.1001700.965684304.281267.9512826447.1601246.977696336.383347.136297985.926918.312702651.414292.235第57页，共75页，2023年，2月20日，星期四303638.766399.725712656.824298.47331585425.10011474.770721846.988179.8663235220.6401877.476731616.684172.8083310067.820497.394741730.563172.1433427422.5701934.5967511303.970881.0423543071.5501171.4137614019.790638.1763657585.9402275.389779277.172862.0883728254.1301322.7957813684.750712.78738497261.0009581.298791949.164228.4033924255.030994.906804846.016324.481401837.699229.40181521457.4007393.938411608.625225.84282564370.80012212.410第58页，共75页，2023年，2月20日，星期四解：（1）作变量替换，令：，，将上表中的原始数据进行对数变换，变换后得到的各新变量对应的观测数据如下表所示。

序号y=lnAx=LnP序号y=lnAx=LnP19.2541066.4383794212.358138.36218629.6787636.4172438.3076225.667487310.340996.6537824410.336376.79791849.1530196.273258457.5084335.3236559.2927427.5528164610.176196.87529469.9773387.168551479.5159096.95184178.838076.0332264811.091187.71887988.2147895.4967894911.965727.78636497.72325.284414507.6432085.585528105.8121354.602457518.0420795.567651119.371536.326008527.6200275.769558表2经对数变换后的数据第59页，共75页，2023年，2月20日，星期四127.7715335.296653538.1409385.534711139.0348716.385013547.3780035.438211148.7001346.130066558.2603866.0388391513.176138.786501567.5736265.2915971612.098977.993105574.3477554.041328179.5607486.393579588.9844086.5733341810.034927.005852599.8663996.9188211911.173197.051092609.0196016.523136208.0275565.501457619.5954087.1181092113.059259.015056628.4162385.787871228.6550326.211917639.4847597.067248239.031156.028643648.7974386.413133248.7331136.027773658.3099576.0807442511.012367.345927668.6386716.069247269.5831276.67449678.8527166.222147第60页，共75页，2023年，2月20日，星期四269.5831276.67449678.8527166.2221472710.342397.438951688.3673655.5908062810.18297.128478698.7540635.849717298.9854366.822537707.8828485.67756308.19945.990776717.8848875.6986783113.280099.347906727.5213115.1922133210.469397.537684737.3881325.152181339.2170996.209381747.4562025.1483263410.219127.567654759.3329096.7811053510.670627.065966769.5482256.4586143610.961037.729906779.1353126.7593583710.248997.187502789.5240376.5691823813.116879.167568797.5751565.4311123910.096386.902648808.4859125.782227407.516275.4354718113.164388.908416417.3831355.4198378213.243479.410208第61页，共75页，2023年，2月20日，星期四

（2）

以x为横坐标、y为纵坐标，在平面直角坐标系中作出散点图。很明显，y与x呈线性关系。图3.2.2林地景观斑块面积（A）与周长（P）之间的双对数关系第62页，共75页，2023年，2月20日，星期四（3）根据所得表中的数据，运用建立线性回归模型的方法，建立y与x之间的线性回归模型，得到：

对应于（3.2.19）式，x与y的相关系数高达=0.9665。

（4）将（3.2.19）还原成双对数曲线，即

（3.2.19）（3.2.20）第63页，共75页，2023年，2月20日，星期四第四节逐步