非线性振动理论中的解析方法及应用

在物质世界里到处存在着各种形式的振动(包括波动)。人类自身的各种每时每刻都处在振动之中，例如,心脏的搏动、血液的循环、肺部的张缩呼吸、脑细胞的思维表的振动、以及声、电、磁、光的波动等等；从广义的角度来看,在社会经济生活中，经济发展过程中速度的增长与衰减、的升跌和振荡、国家的兴衰等,都可以归纳为不同形式的振动;在自然界及宇宙中,振动和波动的例子也不胜枚举,例如月亮的振动可分有害的动和有的振动大类。如运载工具振动会乘客感到不舒适；境噪声人烦燥安； 及次谐会引起机设备、梁结构飞机的破坏；使人生命财产 巨损失,于些有害振，科技作者虽已付出了很大努力,法采取效措施以限制至全消除。动也有处，合地利在医疗方面利用超波能够断、治疾病；土工程中，动沉桩振动拔以及混凝土灌时的振捣固等在电子通讯工方，机电视机收音机程控用振动原理而工作的机器(振动机械)得到了迅速发展。据不完全统计，目前已用于工业生产的振动机有数百种之多,如振动压路机、振动给料机和振动成型机等。振动按其特性可分为线性振动和非线性振动两类。严格地说,绝大多数振动系统都是非线性的,在非线性因素较弱的情况下,非线性振动系统可按线性振动系统来近似处得结果与实际相比会有很大的误差,甚至会得出错误的结论,这是因为在非线性振动与力图提出较完善的方法来处理这些非线性振动问题,最近一个时期非线性振动的研究工是对混沌现象的揭示及对其研究得到的一些结果,被认为是本世纪科学领域的重大发现助数值计算与数值模拟方法予以解决,这使非线性振动问题的解法向前推进了一大步。其它方法及非线性振动的发展，书中还扼要介绍非线性振动系统的图解方法、数值法,但近似的解析方法在研究多数弱非线性振动系统时仍然是十分有效的，而且也是科30子;在“运动稳定性”一章中,举出若干判别周期运动稳定性的实例。展。本书增加了非线性振动系统控制的内容;二章讲述非线性振动方程的精确解法;第三章讨论几种传统的近似解法;第四章至第七章讲述各种摄动方法：传动小参数法,多尺度法,平均法和渐近法;第八章介绍多自由度系统的渐近方法;第九章讨论慢变参数系统的渐近方法;第十章介绍强非线性系统的本书第一章至第九章、第十一、十二和第十三、十六章的部分内容由闻邦椿编写,第及本书多数章节的计算与思考由韩清凯编写,第十二章和第十四章由袁惠群作了补充，本书附录中的软件由徐培民提供。在编写本书的过程中,我们曾得到 帮助,他们对本书的内容提出不少宝贵的修改意见。这些专家是黄文虎 在完成书稿过程中还得到严世榕、李鸿光、何勍、熊、刘永熙和杨积东博士等的热情帮助,现向他们致以衷心的感谢。本书可作为大学本科生及的教学参考书或教学,还可供从事机械振动和非线性振动研究、设计和实际操作的科技工作者参考。由于水平所限,书中会有不妥之处,望读者给以指正。 前绪第二章精确求解法-第四章传统小参数法第五章多尺度法第六章平均法第十二章非线性系统周期解的稳定性13.1第十四章分叉与混沌12345678研究非线性振动问题的工程意义在着振动，而且自身的许多及循环系统也都处在持续的振动之中。人类很早就开始和那些有害的振动展开了百折不挠，总是千方百计预防和限制以至消除它带来的 术中存在的振动可分为线性振动与非线性振动两大类，就机械振动而言,线性振动周知，会给人民生命财产造成重大损失.但目前有关 程方面，如机、电视机、收音机、程控、电子计时装置和通讯设备中使用的谐振成为信息时代人类相互联系不可缺少的桥梁和纽带；光在光导纤维中的也是一种出的一些例子，不难看出，振动对人类的生活和生产是重要！上述列举的问题绝大特别是在近30年来，对混沌运动现象的揭示及对其开展的研究工作，被认为是科学领域的重大发现和重要成就之一。此外，由于近20非线性振动实 f(t)为干扰力或激振力；T为时间上式中的惯性力mx、阻尼力cx及弹性力（或你恢复力）kx分别是加速度x、速度x及位移x的线性函数，也就是说质量m、阻力系数c、弹簧刚度k为常数，所以方程（1.1）

fmx,x,x为非线性惯性fcx,x,x为非线性阻尼力；fkx,x,x为非线性弹性力。x、速x及位移x的线性函数，也就是说，惯性力、阻尼力或弹性力并不分别与加xxx的一次方成正比。为fx,x,x,t。这类方程也是非线性方程。下面我们对含非线性惯性力的振动系统、含非线含非线性惯性力的非线性振动系统参考图00图1.1mSfS

m

m2π

,个阶段（如图1.2b）：a1a2)；抛掷运动(铸件被抛起)阶段(振动相位角由b1b2)；c1c2 图1.2机体与铸件运动位移图，其中，1为 aa

a1

,

ttafmy,y,ymp b1b2,tb1t mc c1c2,tc1tmc式中，mp,mm为振动机体的质量及铸件的质量；Fct为冲击作用力；ta1,ta2,tb1,tb2,tc1,tc2为符合运动阶段、抛掷运动阶段和冲击阶段的初始瞬时和终结瞬时；a1,a2,b1,b2,c1,c2为符

a1a2,ta1t mmp b1b2,tb1ttbm铸件抛离工作机体的相位角b1,b2可按照振动机上物料运动的理论进行计算[108]，而铸件与机体接触的相位角a1,a2可按下式算出a2b b2a 当振动落砂机的参数确定以后，便可求出a1,a2,b1,b2，进而可求出非线性方程含非线性阻尼力的非线性振动系统 Jmglsinmrgcosl2f

式中，J为摆对悬挂点的转动惯量；M为摆的质量；l为摆的质心至悬挂点之距；r为轴的半径；f为轴承与轴销之间摩擦系数；为摆的摆动角度。在摆动角度不很大的情况下，上式中的cos和sincos122sin36

3 2 mrg1 l2 3

2

mgr f6

mrgl2含光滑非线性恢复力的振动系利用角速度逆时针转动时,摩擦力将带动摆偏转角度。JMrmglsin 的半径；l为摆的质心至悬挂点的距离；为摆的摆动角度。r r摩擦系数f是相对速度的函数，将式(1.13)代入式(1.12),Jmgcosml2rfmglsin0rfcoslsin0 0 fltan r

由此可见，在实验过程中摆处于静止不动时，则偏角0极易测出，从而由式（1.14）动滑动摩擦系数fv有以下表示式fvabvcvvdv

动给料机为双振动系统（见图1.4），其振动机体的运动微分方程式为m1x1kxbx3dx5F0F1sint1F2sin2mxkxbx3dx5FFsintFsin2 2 式中，m1和m2为1和2的质量；k,b,d为刚度系数；F0,F1,F2为固定力与一、二次谐波激振力力幅；x1,x2和x为1和2的位移及相对位移；为激振频率；t1,t2为时 1.4 含分段线性非线性恢复力的振动系统矿选矿厂中用于精选钨矿的弹簧摇床和用于筛选矿石或煤炭的惯性式筛、由分段线性- 图1.5弹性连杆式筛及其力学模(a)弹性连杆式筛示意图(b).力学模型图(c).弹性力图1.5a表示了分段线性非线性单筛的示意图，图1.5b为力学模型。虽然该种d2 dx f x dt cdt exe,ee,πeπfxkxkx ex,

π kxkx ex,πe2π ck exe,ee,π-eπdx fcdtckk ex,πeπe,x πe2πc为与弹簧刚度成正比的当量阻力系数；e为带间隙弹簧的间隙e为与硬弹簧间 (a)弹簧摇床工作机构(b dtdtc dx ff

xfcdt

x fxka0axkx x kaa x ff含滞回恢复力的非线性振动系d2k kdt

fx fxkAb

0tπ/π/2tπ kAsint πt

A2b kAsint tπ/ eeefkxkA π/2tπeee

kk1.2.7系

2Asin πt2π初轧机产生自激振动，车刀切削工件时产生的自激振动，建筑及大跨度桥梁在风2dt

DDfN

为不变摩擦力矩；c,d为轧辊回转角速度。0 0dx dx dxdtkS0Fv0dtFv0Fv0dt

0F0kS0Fv0v0为车刀对加工件在接触点处的相对速度；F0为车刀平均弹性力。dx由此可导出车刀振动的微分2方程dx

dxmdt2kxFv0Fv0dt

考虑涡动时非轴对称转轴和单盘转子系统z中研究圆盘的运动，再变换到固定坐标系上。在盘心o点上作与固定坐标系oxyz相平行的坐标系oxyz，并作随圆盘旋转的动坐标系oz，并令o和o是轴截面上的两个主惯性轴。转子以自转速度oz轴转动。设轴的两个截面上的主惯性矩为J和J，轴的长度为l，则轴的弯曲刚度为图1.7k48EJ l

l

eecose,eesin m22cckme2cosmg 式中，mg为重力加速度；e为圆盘的偏心；为转轴的转速；e为相对动带有冲击的非线性振动系统Pt xx 2 P2

x PtP x 参照图1.8可写出夯头架绕o点摆动的运动方程式及机座移动的方程式ωa 图1.8Jmr2lsinGlcosGlcos 1 2 Gxmr2cosfsinGG2lcosfsinfG 2 JG1l2G2l2,GGGGg1 g2 式中，Jo之总转动惯量；m1r为偏心块质量及偏心距；为偏心块回转角速度；G1，G2和G2为分别为偏心块、夯头及电动机架体托盘部分之重量；和为夯x为机座移动加速度；l1l2和lc为分别为摆杆长度、夯头质心0f为底架与t。含非线性因素的弹性体的振动系统2 2 u3 t x t 2y m cxtxEJx2xNtxkxy2z

z

2z

m 2 kx m cx x 式中，y和z为桩的横向和纵向位移；m为单位桩长的质量；kxkxcx为土的刚度和阻力系数；Nt为桩

1.9桩土相互作用的22xM0 z00

z

Mt

ySz0xNtxz0P0t 22xMz

z

y Szl

Nt

xzlyzl zl

zl

z

EA Nt

z kAz y zky为地基垂直方向反力系数；Al为桩尖y0为桩尖的纵向位移0为非线性波动系统A2uA At 设应力与应变e有以下非线性关 u u Ee1EeEe2E 1E E

x

x 2

u u

At2xAEx1E1xE2x 或2 12

1AEu

u

u2 Eu2 1 1 c AE x 0式中，c2E 带慢变参数的非线性振动系统1.13)属于慢变质量和慢d[mdy]cdyky d d d式中，m（η)为慢变质量；k(η)为慢变刚度；c为阻力系数；ηt，ε为小参数；f(t)为干扰力；y,y,y为罐笼的加速m

1L kAE/L dmL y dt d L 参数激励的振动系统

21.101.天轮；2.罐笼；3.提升机卷 2 p1 1costxfx, dt 断面惯性矩；x为横向位移；fx,x为非线性函数。d{ML2tdx}GLtsinx d d与秋千踏板的重量x为摆动角度；t为时间。含弱非线性作用力的多自由度建筑结构的振动 MXKXFtQX,X2QX,X QRnn和QRnn分别是非线性作用力矩阵。 一些典型的非线性振动微分方程式自治系统与非自治系统d2x dxdt fx,dt

式中，ε

d2dt

f

dx dtd2

f

,t

dt

d2

f

,t

dt

保守系统、非保守系统（能量耗散系统）和自激振动系统d2xfd2

dt

xfx 0dt

d2 dxf kx dt dt d2 dx2dt2ABdtdtkx 若干典型的非线性振动的微分方程式 dx

y，dtfx,dt

md2xcdxkx

dt d

x,x, x,x,x,

d2xdtd2

ksinx

kL

dt2cdtksinx

d2xdtd2x

ksinx

kJ

Fsgn( )ksinx0dt2

d2x

d2

dt kxdx

dt2cdtkxdx d2 dt2cdtkxbxdx 软弹簧系统的非线性方程:d2 dt2cdtkxdx d2 fG

fx dt dd2xdt

fx d2x dxdt fx,dt

dx

mm

a1a2,b1fx,dtmpxmm c1c mxm

d d a2b1,b2c1,c2d1,d2a1。 , a , L d dddx 2 fcfkx d dt对称的分段线性的非线性系统（e0 exe,ee,πeπfx

kx ex,eπ ekxkx ex,πe

2πck exe, fcdtckk e πeπe xe,πe2πfxka0axkx x k f

xaxa dx fcdt f

xdd fx0 dfxAb

0tπ/π/2tπ

ekAsint πearcsinA2b

t kAsint tπ/ efkxkA π/2tπe

VanderPol

2Asin πkd2 2k

t2π

dt21xdtkx d2 dx2dt2ABdtdtkx

d2 dxmdt2dtkxdx

kS

dx

Fv

dx d d d F Fd d d f0kS0Fv0mzkrrzkrJdHikrzkH

mykyF0sinty 碰撞点为:y

dt[mdt]kxfx,dt,t,

d22ABftx dd2 p1hcostx0dt2

d2x dx ktxfx,

dt

dt非线性振动问题的常用求解方法计算与思考分的振动周期及固有频率

xdxdxdxdxx1 dx 21dx2p2fx 21x2p2xmf 2.2.1fxdxfd

fdt f

TTdt4 f fp 1x2p2f x2 2.1.1

fsin

2fT2fp12

fdp2

sin

p1cos 00

2

21cos

m2T4 2p p

cos12sin22 sin sin 2 p

cos

2

ksinm和一个新变量ζ2sin

ksin

msin 由上式可见，当ζ=0θ=0ζπ时,θ=m mdsin2dk即

cosdkcos 2kcos1sin1sin2

2kcos

代入式(2.16

4 1k21k2sin2p

gL ),即与单摆的长度L有关，而且gLksinm值，即单摆的摆动幅角 统振动方程的解的求解过程。如图2.2所示，由一对等速反向回转的惯性激振器使某一作横向振动，该2分别为、和，振动的总质量为m，它

图2.2 0设

am

cJ或

d2d

1acsin2

c 1acsin2

式中，c1为待定常数 当 1ac1acsin2

0c10

21

0acsin2

xa 1acsin2dxasin1acsin2

sin d2x

a

dt

1acsin20 a1 acsin2sinasin0

a2c3sinsin3 d2x

2

22 dt a0 a0 2ac0 cos谐波项(例如三次谐波项)。分2.2.1求分段线性弹性力的系统的振动周期f(x)k(xk(x

exexex图2.3b所示的形式。力学模型图b)弹性恢复力c)d)速度曲线ef)等值力作用下的位移曲线g)等值力作用下的速度曲系图2.3分段线性的非线性振动系统t tmt1

π2

0式中，m为该质量；k为间隙弹簧刚度。T4t4e2π4e 初始速度引起的的最大位移，即等于间隙e与以前所述的谐和振动的振幅之和xe

e

2π2.3e表示这种变化图。p2.2.2分段线性非线性系统在等值力作用下的振动mxf(x) exf(x)k(xk(x

xexe mqtxqn x2

t1 在时间t1处的速

xe 1sinptt n1cosptt 2.3ft1ttm的时间范围内均以虚线表示，所有三项之和为图中所示的钟

tmt1arctg Qnp

xmeQnk

QnQnk1xp而t22tm t3t2 t1Tt2 图2.3g所示的速度曲线中看出，与弹簧不发生接触的的时间内，速度为一直线。2.2.3具有库仑阻尼系统的自由振动 m在x范围内(式中Δ=F0),可以实现静力平衡，因为kF0mg

x0a)力学模型图b)位移曲线c)速度曲线图2.4具有库仑阻尼的系统

xAsinptBcospt kxApcosptBpsint=0xx0,x0

xB

即B

k

Ap 即 xF0x0F0cosptx0cos px0这样，在0tπ这样，在0tπ的时间范围内，其运动为简谐运动，pppxxcospπ

速度方向由负为正，在πt2π的时间范围 00

xx3cos 因而在下半周运动也是简谐运动，并且具有相同的圆频 pπ2Δ4Δ，然后于x的位移范围p例xxx3

x(0) 这一问题的解是t,xx(t;

xydydydxy dx ydyxx3

ydy(x 1y2(1x2

1 )(x)C

2 x2(x2x4) 2 2 C1x21x21x2 2

2Cx2Cx2xdt

t

22Cx2xC1x21x

2 2Cx21x4x21x4x21x4(x2x2)(11x21x2

xx2x21x21t

xx0cos时，上式可化为标准的椭圆积分形式，且ux0对应00和。 xcos1 xcos t xcos1 xcos 1xxsin11xxsin1

相平面从点(x,0到点(x,0)1T11sin2T 0

计算与思考一振动系统，运动微分方程为mxFx0FxkxF0运动初始条件x0A,x0一车辆水平冲击减振器，减振弹簧的弹性恢复力Fxkxx3，车辆的质0x2xfx2x0 其中εμ kk x0xfxkk xx xk′和k″均为已知，试用分段积分法求其响应初始条件为x01x00

xxx3k设一具有平方阻尼的自治系统，其恢复力为fx 细长弹性杆两端受轴压

弯曲动，可用以下振动微分方程

k xk3 x3 3 l等价线性化法自治系统 式中，fmx,x为非线性惯性力与非线性阻尼力的综合表达式；fkx,x为非线性阻尼力与非线mexcexkex xacosta xa a

ee e00

e 且e 将式(3.3)代入式(3.1)和式(3.2)me、等价阻力系数ce与等价弹簧刚度ke的值。fkx,xa0ancosnbnsinnn

fx,xc

cosdsin

fx,xaa1cosb1sin 按照富氏级数的，系数c0、c1、d1和a0、a1、b1可按下式计算c12

fm0c12 d12sin π

fm

π0fma12

fk0

a12 b12sin π

fk

π

fkfma,fma2cos,asin

1

π0fm

cos

π0fm

12cosdcos12sindsin π0fk

π0fk π 2π

fma,cosdx

πa

fma,sind

πa0fka,cosdxπa0fka,sind emm

π2a0fm ec

sind

2sin

a0

πa

fk k

cosd

πa0fk

固有频率e

sind

sind

e0ek

e ka0fm ka,e非自治系统 式中，fmx,x为非线性惯性力与非线性阻尼力的综合表达式；fkx,x为非线性阻尼力与非线mexcexkexF0Fsin mecekexAAsintAA xA t

mAkFcos arctgm

m

A

meceke的值，可以通过将非线性惯性力、非fmx,xc0cncosndnsinnnfkx,xa0ancosnbnsinnnn

fkx,xa0a1cosb1sin按照富氏级数的，系数c0、c1、d1和a0、a1、b1可按下式计算

c c0 2π

A, 1

A, 1

1

1π πa a 2π

A0,A, 1

A,A, 1

A,A,sin f π

f πfA,fA2sin,Acos fkA0,A,fkA0Asin,Acosmx12 sindsin12 cosdπ0fmA0, π0fmA0, 12 sin

sin

1

cosd

fkA0, fA0, π

π Fsint 2d 2 2π0fm或

2π0fkA0, 2 2 cosdπ2A0fmA0, πA0fmA0, 2 sindx cosd

πA0fkA0, πA0fkA0, Fsint 2 d 2 2π0fmA0, fkA0, 2π 等价质量me、等价阻力数c1e2价刚度ke、等价衰减系数e与等价固有频率e分别为mm

sin π2A0fmA0, c 2 cosd 2 cosd πA0fkA0, k 2 sind πA0fkA0, F12fA,A,d2 d

fkA0,2 2πA,A,cosd2

cosdee

2πmA0 ffA,A,sinfA,A,sin

fkA0,0例3.1.1用等价线性化方法求下列非线性振动方程的等价阻力系数ce与等价弹kemxcxkxbx3dx5FsinxAsintAsin c πA式可求出弹簧刚度非线性弹性力对等价阻力系数c式可求出弹簧刚度k πA

cAcoskAsinbAsin

dAsin5sink3bA25dA 式 fx非线性弹性

mxfkxFsin ex fxkxkx kxkx

xexexAsintAsin e2πe,πeπfxkxkx

π kxkxe为间隙e所对应的相位角

πe2πarcsin k12π ,Acossin πA0fA将x的值代入，并进行分段积分，可求得1 2 2 1kekk1π 1 1

kk1πe2sin2e 因 1,可将

4e 1e 1e4

kekk1 1 π 6A 40Ae谐波平衡法

a ekme 若fx,x,t是t的周期为T的函数，并且方程存在着周期等于T或T的整数倍的周期解的情形，方程右边fx,x,tx,x的有限区域内分别满足莱伯尼兹条件，方程的解是唯一的，而 acosnbsinn

n将它代入等式的两边，等式两边的常数项a0及cosn、sinn的系数必须分别相等果只取到n次谐波，则可得2n+1个方程，由此可求出包含有n次谐波的近似解。这一方法称解:

km00c km00 bF bk

将自变量变换成η，因变量变换成δ3F d d

Fcos Fsin23HcosG

dd1

3

Bsin

Acos

sin 2 2

2 A

2B1 1 13BA 1

1 1 A 4

6A 3A3ABB1 12 B B24

BAB 3 3A2B2 A2B2 H2G2F1 2 222 22

2 122 22 12 2 2

2

3222

2 1

3

4

9

1199194891 2222F2221123232123232222216

12

2

22 11,1用电子计算机进行迭代求解，可得次谐波振动的幅值1、2与γ、ν幅值1、2与γ、ν的关系。迦辽金法 迦辽金法采用微分算子DdfD,x,t 式中fDx,t一般是算Dxt的某种非线性函数。对于精x(t函fDx,t0X(tfDX,t0εfD,Xt,t

aJb2tda假设近似解X(t)可以用适当的函数it的线性组合来表示，即3.112及1、2与γ、ν

nXt0tciii

(a)、(b)、(c)1、2与γ、νd)1、2与γ、ν的关系作为方程(3.24)J1b

d Jnb

d

来解ci。函数0t可以从物理和其他方面的考虑来选取，使它成为比较近的近似解，并且使它满足初始条件。这样，对于it来说初始值都等于零。通常地，可将X(t)假设为各次谐波nX(t)cisin(iti

Xt2AaA tbA3 J22 t222AaA t1bA3cos3t0

bA

a

4bAcost

bAcos3tdt2AaA3bA32a9bA23b2A5

A8a223bA2a215b2A48k1(64

2a6，即k=0.89k=2.11出J的极小值，可以通过下面的分析弄清楚。k的精确解为0.75法它多种形式的积分，其中之一即日函数LTSU的积分，或称为哈密顿作用量：JtLdttTsUd 式中，T为系统的动能；U为系统的势对于方程的周期解来说，哈密顿的作用量J的变分可取为0，TJ0

i i i 0i在三个座标方向上的加速度。作是一个力，即相当于式(3.30Ximixif(D,x,t)=0(3.34)的条TfD,x,t 0 tXdtfD,X,tXdt n

XtciitnniTfD,X,tctdt

i TfD,X,ttdt

Xtcisiniti

Xtcicosi

nXtcisiniti i或

Xtaisinitbisinit inXtcsinitccosit i iTfD,X,tsiniti0

dt TfD,X,tcositdt 辽金 方法时，其问题归结于代数方程组的求解。但有时得到的代数方程是方程3.3.2某非线性方程 fxkxkx kxkx

exexex解:由上式得

fD,x,tmxfkxFsintT

XtAsinifD,X,tdt m2Asinti

xFsintsintdt将非线性函 f(X)的近似值代入上式，进行分段积分，并化简得kkm2 2

1 A

A

2 2 π

eA1 eA1 A e 1,可将 A

F 4e 1e 1e4kk1 1 m πA 6A 40A为了求得A值，可采用图解法或数值方法。由上面解式可见，等号左边和右边分别ee2y1

kkm2 y2

Ayy e确定后，便可求出A迭代迭代法b很小，F也很小，而且2接近于a,x2x2axbx3Fcosx02x0

x0Acos x2x2aA3bA3Fcost1bA3cos3 tsint与tcostcost的系数应等于零，因而有2a3bA2 x1 Acos 322cos3式中的ν可由(3.51)确定。在这一方程中，我们有意不给定νA的

P1AcostP3Acos3tP5Acos5t (t)是周期等于2的周期函数，须有21 (A)=0，212

3bA2F

b2A4

b3

128

2048P PxtAcost cos3t cos5t 2

24A a3bA24

面，它可以由抛物线2a3bA2和双曲线2F 2AA作为2的函数在某些区域是三值的。拉舍迭代法数f(x)则可以是任意的。因而对于方程：xfxFcos

2xfxF d d

3.2A与2即f(x)f(x),但拉舍法也适用于不存在称的情况这种方法仍然是给定A值，并将看作是A的函数。并且以非线性2xfx 0 (0)和0可采用下面的方法。

x00。求Fxxf 取ζxf(x)f(x

02FA2FAFA

12 π这样求得零次近似解后，一次近似解可由以下方程求出周期为2的周期解2xfxFcosx 1 x10Ax00x(2πx(下，再一次用简单求x1)与1nxn(ζ)与n 2xfxF x n 且应满足下列条件:xn(0)=A,xn00,以及x(2π)xn()。前面假定 x是n-1近似中直接得到的正好是0x,,n1x。必须，拉舍法假定了函数x()在半周期内是ζ应用举xsgn(x) xa将sgn(acost

sgn(acost)0(a)1(a)cost高次谐 (a)2π/

2π

sgn(a(π/(2)dt3π/(2)dt2π/

(a)2π/

π/(2t)cos

3π/(2 sgn(aπ(π/(2)costdt3π/(2)costdt2π/ cos 4/

π/(2 3π/(22acost4cost高次谐π

比较上式两边cost的系数，可

2 y1(当x

积分得y22xCy22xCx(t)1t2Ct 设t1aT1/4x(00x(t10，故积分常数C1t1C20x(t)1t2t 又x(t1)=a，故知t1 T4t1比较谐波平衡法得到的结果T2ππ

aa

x2xbx3FcostFcos

x2xbx3FcostFcos

x0A1cos1tA2cos2 x2xbx3FcostFcos 0 3A

3AA[0A1 1 12)F1]cos1 3A 3AA[0A2 2 21)F2]Fcos2

b[4A1A2(cos(212)tcos(212)t3A2A(cos(2)tcos(2)t 2 b b( os3tA 2cos32t x1[2A3bA(A22A2)F]cos4 0 41

1[2A3bA(A22A2)F]cos4 0423bA

3bA

1cos31t 2cos32 36 36 3bA2A[cos(212)tcos(212)t1 1 (2) (2)1 3bA2A[cos(122)tcos(122)t1 2 1

2

)

22)式中cos1t和cos2t项的系数应是A1A2，可(22)A3bA(A22A2) (22)A3bA(A22A2) 行下去时，所得到的近似式将包括越来越多的项，其分母中所含的p1q2(p,q为整数)Kronecker1/2pq，使得p1q20，因而对应的系数将任意增大，故其收敛性不能保证。Poincare称之为“小除数(difficultyofsmalldivisors)”。当然在某些情况下，如当存在粘性阻尼时，小除数可以消除。计算与思考0x2x(xx3)F0x2x2x32x5F nj 法求解振动系统xk2xn0 法求解vandelPol方程x(x21)xk2x0试用迭代法求解Duffing方程xx(xx3)Fcost,式中为小参数度法、渐近法等都可用来对非定常情况at,t进行分析。下面通过对一般非线性系统一般弱非线性自治系统xxfx, xt,xtxt

直接展开法xxxxfxx,xxfxx 0, x0acostx1x1facost,asintfacost,asintf0afnacosntgnasinntn 2fa 2

f0

fa12πcos fgan

sinndfa,π因此可将x1的方程改写

fa,facos,asinxxfa facosntgasinnt

n xf1ftsintgtcost

facosntgasinnt

n21xacost

f

ftsintgtcost 2 facosntgasinnt n21 t是无效的。因重正规化法t,1t111

xacos 1fsingcos 1

facosn gasinn n21n

cosn1cosn1nsinnsinnsinnncosn xacos f1fasin gcos

1

2 2 n21

fnacos gnasin 与直接展开法不同，那里的混合长期项不能消去，而上式中的长期项可通过选择1的值a1fa 2 g1 12afa111 2πcosdf

2πa等小参数法是将方程中的非线性函数按其量级展成小参数ε的幂级数，并且设ε足够小时，它是ε的解析函数。这种方法把求得的解作为非线性方程的周期解的第一次近似值。但等，方程含ε的项虽然很小，但对系统的周期运动可能发生本质的影响。对派生解来说，非线性方程可能不存在周期解，也可能有几个或很多个周期解，即派生解不对应原系=0ε足够小时，非线性方程的周期解能展成ε的收敛的幂无强迫力作用的方程的传统小参数法求xxx3 直接展开法的失效对方程(4.18ε=0,

xacost

当ε为不等于零的小量时，方程的通解不再由上式给出，而必须加以校正。我们来试用ε幂级数形式的校正，即xt,x0tx1t2x2t xt,xtxtO2 x0x1O2x0x1O2x0x1O 0x1x1x30

xacost xxa3cos3t3a3cost1a3cos3t 4 4 xacost3a3tcost1a3cos3t

8 32 xacostacost3a3tcost1a3cos3t0

a0a

0

32 0xacost3aO3tcostO1aO3cos3tO 上式等号后第二项称为长期项。仅仅当t很小时，方程的解才有效。事实上，上式林特斯德特-(Lindstedt-PoincareL-P频率对非线性的依赖关系，在微分方程中明显地示出系统的频率是小参数的函数。为

ddd d

dd

d

2

dt dtd

dtd

d2xxx3x和ω可表示为ε幂级的形式，01

1xx0x 1

11 12xxxxx 令ε

xxx32 10xacos 011或

a3cos32acos

xx２a3a3cos1a3cos3 x1２a3a3cos1a3cos3 2 a=0,12a3a3 或＝3a

x1a3cos311

xacos1a3cos313a28

acos132 32x a

a a

重正规化方法t1111 1xacos1a33 sin 1cos3

cosn1cosn1nsinnsinnsinnncosn axacos2a33cos1a3cos3a 与直接展开法不同，那里的混合长期项不能消去，而上式中的长期通过选择的1

2a3a3 或＝3a xacos弱非线性的非自治系统

1a3cos3

直接展开法（非情况,p/q,p,q为互质数11

xx0x x0x1x0x1fx0x1,x0x1Fcos令ε

x0x0x0acost 1

x1x1facoscos,asinsin

0 fa, f cos gnmsin 0

2π2

,cosnm 4π2

f g0

2π2π

,sinnm因此，x1可由下式求

4π2

f0xa,,1fatcosgatsin

m212n2nf0anng0an

f0n2nm2g0an2nn

n2m212Lindstedt-Poincare法（非情况设xx0x1112xxf(x,x)Fcos

式中t，代入整理式中

x0x0Fx1x1f(x0,x0)21x0acoscos

fx0x0f(,a,) (Amncos(mn)Bmnsin(mnm0

x1x1A10cosB10sinA01cosB01sin (Amncos(mn)Bmnsin(mn(m1)2n20m2(n1)2

12(acos2cos1A1021a B10 A22 重正规化法( 情况t1

xacos11fcosgsin f0acosnmg0asinnmm21n2

n n

xacosa1 a

cos sin 2 1 f0acosnmg0asinnmm21n2

n na1f 2 g101

a

2 21

2π2π,cosnm4πa0振情况类似,这里不再重复。4.5应用举 式中0

00的形式，即21fxx(1x2x0x0x0xx2x(1x2 1 xx2x(22)xxxx(xx)(1x2

1 00 1 由上式第一式，并考虑到初x0(0)A0x0(0)0，xA xx2Acos(1A2cos2)(Asin 1 令上式中sin,cos0，AA3/40,2A AA0

10周期解，A0,A1,A2,...,不能取任意值。x1的微分方程 x1即

0cos4

x1x12cos考虑x1(0A1x10)0，上式的解

xAcos3sin1sin 11xx2(2cos)4cos(2sin

sin3Acos

3sin (14cos2)(3cos3Asin3cos 令上式右边sin,cos的系0，2A1A

14

x2的微分方程

xx3cos35cos 考虑x2(0A2x2(0)0，上式的解13)cos cos3x2( cos vandelPol方程的解为x2cos1(3sinsin3)4

式中t，

112

图 解析法与数值法计算结果的比较(虚线为数值法的结果计算与思考 u(t,)acos(t)a3tsin(t)0(2u(t,)acos(t)[a2tsin(t)(1a2)atcos(t)]0(2u1u2u

2(1 2u 2211u(1u0对于小的ul2r22rlcosgrcos l2r22r2grcos 9.mxkxx2l21/2x2l21/21l 20 vvu0对u和v求一阶一致有效展开式00多尺度法的基本思想多尺度法首先是由Sturrock(1957)和Cole(1963)、Nayfeh(1965)等,此后得

qqxqx 将原点移至中心位置qq0

xqq

xfxq0 假设f可以展为级数，则上式可写Nn

a1fnq f(n)表示关于自变量的n阶导数，对于中心，fq00,fnq0xt和t,„,的函数。多尺度法的基本思想是，将表示响应的展开式nTnn即

n T T T2 ddT0dT1DD 1d dt dt 1d2 d D02D0D1D12D0D2然后代入方程进行求解，求出x1,x2,x3,xt,xT,T,T,2xT,T,T,3xT,T,T 然后按照小参数法(摄动法)建立ε的各阶方程，进而求出x1,x2,x3含非线性弹性力的自治系统的多尺度法自治保守系统

0xqq（5-5），可将方程(5.110Nxanxnn

dt

xx1

d2222

x1

2xax

x ax2 2ax2 3 使ε01 D2x02x1 02a01

22 D2x2x2D0D1x1a2 0 0 3 D2x2x2DDxD2x2DDx2axxax0 0 01 1 2 21 3x1AT1,T2expi0T0AT1,T2expi0T0A的控制方程从要求x1、x2是周期为T0的周期函数而得出。将x1代入方程(5.14)的第二式，得

0 0 0 0 0D2x2x2iDAexpiTaA2exp2i0 0 0 0 0式中CC表示前面各项的共轭。除DA 0否则式(5.16)的任一特解中均包含有因子为TexpiTA 0关，在DA0的情况下，式(5.16)的解xa2A2exp2iTa2AAx

222将x1、x2

0 0D2

2x[2i 10a29a AA] T 3 0 0 3 3a3a0 3 2A3exp(3iT)0

3

010a29a 2i0D

A 30A2A030将上式中的A表示成极坐标的形式：式中之a和β是T2实常数。

A1expi2

010a29a 3030 240=常

10a29a

3302T2 式中为常数。0

9a210a 0A2 30

222t3

将求得的x1、x2代入x式中，

22a x

t 0

13cos2t20 9aa10a 3 222O3

自治非保守系统

xxT,T,T,xT,T,T

0 0D2x0 0D2x2

2DDxfx,Dx0 0 01 0 D2x2xFx,x,, n

0 0

xAT,T,expiTAT,T,expiT 而

0 00 0 0 0 0 0 D2x2x2iDAexpiT0 0 0 0 0 0 AexpiTAexpiT,iAexpiTiAexpiT 0 0 0 0得x0中消去长期项，从而得到一致有效的展开式。为此目的，f[x0,D0x0]展成富fn

fA,Aexpi0T0 n02 0

fA,A0

0 f T 2iDA 2πfexpiT 2π 0 A考虑成仅仅是T1的函数，并且将解算到这一项为止。为了对上式进行求解，方便的做法是把AT1表示为复数的形式，即AT1TexpiT 因此，x0的表示式(5.30)改写x0T1 0T0T0

fii 12πcos,sinexpi f02π0011

2πcos,sinsinf02π0 2πcos,sin0f02π0xTcosTTO 1

0 含非线性弹性力的非自治系统的多尺度 所控制的系统，式中ε是个小参数，fxx的非线性函数，F为外干扰力，或称为外处理理想系统，并将激励考虑成N项之和，它的每一项是简谐的NFtFncosntn

若FtFcos1t1Fcos2t2 1FtFtcostt1F2FFcos2F2sin2F2F22FF

F2sin 1arctgFFcos

1

1t

式中c＞0,b可为正(硬弹簧)，可为负(软弹

FtFcos 非情