数字信号处理2013课件第2章离散时间

第二章离散时间信号与系统2.0 引言2.1 离散时间信号：序列2.2 离散时间系统2.3 线性时不变系统2.4 线性时不变系统的性质2.5 线性常系数差分方程2.6 离散时间信号与系统的频域表示2.7 用傅立叶变换表示序列2.8 傅立叶变换的对称性质2.9 傅立叶变换定理2.0 引言信号：信息的载体。连续时间信号：时间、幅度都连续。离散时间信号：时间离散、幅度连续。数字信号：时间、幅度都离散。信号处理系统同样分为上述三类2.1 离散时间信号:序列离散时间信号——时间上不连续的一个序列。通常定义为一个序列值的集合{x(n)}，n为整数，x(n)表示序列中第n个样值，{·}表示全部样本值的集合。离散时间信号可以是通过采样得到的采样序列x(n)=xa(nT)，也可以不是采样信号，如有些系统的输入可能直接就是离散时间信号或数字信号，有些系统内部有时也产生一些数字信号，这些都是离散时间信号，但不属于采样信号。T为采样周期，其倒数为采样频率。2.1.1几种典型序列（1）

单位脉冲序列只有n=0处有一单位值1，其余点上为0

数字系统中，δ(n)序列也称为离散时间脉冲，或简称脉冲，这是一种最常用也最重要的序列，它在离散时间系统中的作用类似于连续时间系统中单位冲激函数δ(t)。连续时间系统中，δ(t)的脉宽为零，幅度为∞，是一种数学极限，并非现实的信号，而离散时间系统中的δ(n)是一个现实的序列，其脉冲幅度为1（有限值）。

（2）

单位阶跃序列在大于等于0的离散时间点上有无穷个幅度为1的数值，类似于连续时间信号中的单位阶跃脉冲。（3）

矩形序列

此序列从n=0开始，含有N个幅度为1的数值，其余为零。以上三个序列彼此间的关系：（4）

指数序列例如

当|a|>1时，序列发散，当|a|<1序列收敛a<0时序列有正有负，是摆动的。

（5）复指数序列

因此在数字信号处理中一般只考虑区间内的信号两个重要现象

1：模糊2：无法区分周期2.周期现象：连续时间信号的周期：离散时间信号的周期：x[n]=x[n+N]对所有的n必须满足：1.N必须为整数2.若为离散正弦序列：3.

若没有任何整数N，使得信号x[n]对所有的满足x[n]=x[n+N]，则信号x[n]为非周期的。2.1.3序列运算

数字信号处理中常遇到序列的相加、相乘以及延时等序列运算。如有两个序列{x(n)}，{y(n)}，则(1)序列相加:z(n)=x(n)+y(n)表示两个序列的值逐项相加以形成的新序列；(2)序列相乘:f(n)=x(n)y(n)表示两序列值逐项相乘以形成的新序列；

(3)序列延时:w(n)=x(n-m)指原序列逐项依次延时m位(m>0)以形成的新序列；(4)序列数乘:z(n)=a·x(n)序列与一个数相乘；有时要用到序列的能量，序列能量定义为：

2.1.4一般序列表示方法设{x(m)}是一个序列值的集合，其中任意一个值x(n)可表示为 由于

因此它表明任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和：2.2离散时间系统

一个离散时间系统在数学上的定义是将输入序列x(n)映射成输出序列y(n)的变换或运算（算子）。它的输入是一个序列，输出也是一个序列，其本质是将输入序列转变成输出序列的一个运算。

T[·]表示这种运算关系，即

y(n)=T[x(n)]上图所示为一个离散时间系统，对T[·]加以种种约束,可定义出各类离散时间系统。离散时间系统中最重要、最常用的是“线性、时不变系统”。2.2.1无记忆系统如果每个n值上的输出y[n]只决定于同一n值的输入x[n]，那么该系统为无记忆系统例如：

y[n]=(x[n])22.2.2线性系统若系统的输入为x1(n)和x2(n)时，输出分别为y1(n)和y2(n)，即y1(n)=T{[x1(n)]}，

y2(n)=T{[x2(n)]}如果系统输入为ax1(n)+bx2(n)时，输出为ay1(n)+by2(n)，其中a，b为任意常数，则该系统为线性系统。所以，线性系统的条件为：

T{ax1(n)+bx2(n)}=aT{x1(n)}+bT{x2(n)}=ay1(n)+by2(n)

应用：线性系统对信号的处理可应用叠加定理。2.2.3时不变系统时不变系统是指输入序列的移位或延迟将引起输出序列相应的移位或延迟如果T{x(n)}=y(n)，则T{x(n-n0)}=y(n-n0)（n0为任意整数）即系统的特性不随时间而变化。2.2.4因果性因果系统：系统的输出y(n)只取决于此时以及此时以前的输入，即x(n)，x(n-1)，x(n-2)……

非因果系统：如果系统的输出y(n)取决于x(n+1)，x(n+2)，…，即系统的输出取决于未来的输入，则是非因果系统，也即不现实的系统（不可实现）

因果系统的充要条件：h(n)≡0，n<0（可以由y(n)=x(n)*h(n)导出）2.2.5稳定性稳定系统：对于每一个有界输入产生一个有界输出的系统为稳定系统。如果存在某个固定的有限正数Bx，使|x[n]|≤Bx<∞，对全部n则输入x[n]就是有界的。稳定性要求对每一个有界的输入，都存在一个固定的有限正数By，使|y[n]|≤By<∞，对全部n2.3线性时不变系统线性时不变(LTI)系统——既满足叠加原理又具有时不变性的系统。

这类系统在信号处理中特别有用，因为线性系统是用叠加定理定义的，如果将序列表示成一组单位样本序列的线性组合，那么线性时不变系统可以用单位脉冲响应来表示。

我们知道，任一序列都可表示成各延时单位脉冲序列的加权和

如令h(n)为系统对单位脉冲序列的响应，则系统对任一输入序列x(n)的响应为

由于系统是线性的，满足叠加定理

又由于系统是时不变的，对移位的单位脉冲的响应等于单位脉冲响应的移位。因此该式表明：对任何线性时不变系统，可完全通过其单位脉冲响应h(n)来表示2.3.1图示法进行卷积运算对序列x[n]和h[n]进行卷积运算，首先将x[n]分解成脉冲和的形式，然后将每个脉冲分别作用到h[n]上得到响应，最后将响应累加起来即得到卷积结果。因为该过程需要运用叠加定理，所以卷积运算只能用于线性时不变系统。(1)首先将x[n]分解成脉冲和的形式(2)然后将每个脉冲分别作用到h[n]上得到响应(3)最后将响应累加起来即得到卷积结果强调：只有线性时不变系统才可以应用单位脉冲响应卷积输入信号来表示结果。2.4线性时不变系统的性质卷积的性质可交换性分配律2.4.1稳定性

线性和时不变两个约束来条件定义了一类可用卷积和表示的系统。稳定性和因果性也是很重要的限制。稳定系统：对于每一个有界输入产生一个有界输出的系统为稳定系统。充要条件当且仅当

时，该线性时不变系统是稳定的。

充分条件证明：如上式成立，且x有界，即对所有n，|x(n)|<m，则y有界，满足充分条件。必要条件

反之，如h(k)不符合上式，S=∞，则可求得一种有界输入，能使该系统产生一个无界输出。如取输入为

显然，x(n)有界，当n=0时，输出

2.4.2FIRIIR理想延迟滑动平均累加器前向差分后向差分2.6离散时间信号与系统的频域表示特征函数的概念：现考虑输入序列：即一个频率为ω的复指数序列系统冲击响应为则线性时不变系统的输出为若定义因此是特征函数特征值为称为系统的频率响应有两种表示法实部虚部：幅度相位：可看出的幅频响应曲线是以2π为周期的设线性时不变系统相应的幅频响应为：即2.7用傅里叶变换表示序列离散信号（数字序列）的傅氏变换定义

数字序列的逆傅氏变换定义

傅氏变换中的级数求和不一定总是收敛的，若x(n)绝对可和，则该级数绝对收敛，因此稳定系统的傅氏变换是收敛的。

两种表示方法：幅度:相位:主值:可逆性2.8傅里叶变换的对称性质共轭对称序列共轭反对称序列一般序列的表示实部虚部+实部偶对称，虚部奇对称实部虚部-实部对称，虚部奇对称实部虚部+二者相等1

虚部实部实部虚部虚部实部实部虚部相同！实部偶对称虚部奇对称2

同理幅频响应相同(同1)，相频响应不同：下面两图对比可发现相频响应互为轴对称实部实部虚部虚部实部虚部实部虚部相同！实部相同虚部关于X轴翻转3.实部虚部实部虚部实部虚部实部虚部两者一样！实部虚部实部虚部4实部奇对称虚部偶对称实部虚部实部虚部两者相同！实部虚部实部虚部5实部偶对称虚部奇对称实部虚部实部虚部虚部为0虚部为0为的实部！6实部奇对称虚部偶对称实部为0实部为0与的虚部相同！以下性质仅适用于x[n]为实序列

共轭对称（实部为偶函数）

（虚部为奇函数）789（幅度为偶函数）

（相位为奇函数）2.9傅里叶变换定理1线性如果则证明2时移若则幅频响应相同见下页，下面是相频：取nd=2，可看到时移后相频的变化幅频响应相同3频移若则幅频响应相同见下页，下面看相频：取0.5，可看到相频图像右移了0.5单位幅频响应相同4时间倒置若则幅频响应相同见下页，下面看相频：可看到相频图形为轴对称图形幅频响应相同5频域微分若则相频响应相同见下页，下面看幅频：相频响应相同5帕斯瓦尔能量密度谱能量有限信号若则证明

令n=0

6卷积则若证明:7调制若则证明

例2.21例2.22例2.24作业2.12.52.8参考：2.1a\