命题及其关系、充分条件与必要条件含解析

归纳与技巧：命题及其关系、充分条件与必要条件基础知识归纳一、命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题.其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题.二、四种命题及其关系1．1．四种命题命题表述形式原命题若p，贝Uq逆命题若q，则p否命题若若p,则幺弟q逆否命题若若q，则避p2．四种命题间的逆否关系3．四种命题的真假关系2．四种命题间的逆否关系(1)两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性;(2)两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系三、充分条件与必要条件.如果p今q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件..如果p0q,q今p，则p是q的充要条件.基础题必做1．(教材习题改编)下列命题是真命题的为( )A.若;=士，则％=y B.若％2=1,则％=1C.若％=y，则'x==yy D.若x<y,则x2<y2解析：选A由1=1得x=y，A正确，易知B、C、D错误.xy' nTOC\o"1-5"\h\z.命题“若a=4,则tana=1”的逆否命题是（ ）..n nA.若aW4,则tanaW1 B.若a=4,则tanaW1n nC.若tanaW1,则aW4 D.若tanaW1,则a=4解析：选C以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若n na=4,则tana=1的逆否命题是若tanaW1,则aW]..设集合A,B，则A之B是AnB=A成立的（ ）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选C由A&B,得AnB=A；反过来，由AnB=A，且（AnB方B,得A&B.因此，AUB是AnB=A成立的充要条件..“在△ABC中，若NC=90°,则NA、ZB都是锐角”的否命题为：解析：原命题的条件：在△ABC中，NC=90。，结论：NA、NB都是锐角.否命题是否定条件和结论.即“在△ABC中，若NCW90。，则NA、NB不都是锐角”.答案：“在△ABC中，若NCW90。，则NA、NB不都是锐角”.下列命题中所有真命题的序号是 .①“a>b”是％2>b2”的充分条件；②“|a1>1b|”是“a2>b2”的必要条件；③“a>b”是“a+c>b+c”的充要条件.解析：①由2>-30/22>（-3）2知，该命题为假：②由a2>b2na|2>|bQIal>lbI知，该命题为真；③a>b0a+c>b+c，又a+c>b+c今a>b，:，a>b”是“a+c>b+c”的充要条件为真命题.答案：②③解题方法归纳1.充分条件与必要条件的两个特征（1）对称性：若p是q的充分条件，则q是p的必要条件，即“p今q”台“西p”；（2）传递性：若p是q的充分（必要）条件，q是r的充分（必要）条件，则p是r的充分（必要）条件．注意区分“p是q的充分不必要条件”与“p的一个充分不必要条件是q”两者的不同，前者是“p今q”而后者是“q今p”2．从逆否命题，谈等价转换由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而，当判断原命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假，这就是常说的“正难则反”．四种命题的关系及真假判断I典题导入［例1］下列命题中正确的是（ ）①“若12+y2W0,则％,y不全为零”的否命题；②“正多边形都相似”的逆命题；③“若机＞0，则12+1—m=0有实根”的逆否命题；④“若1—32是有理数，则1是无理数”的逆否命题.A.①②③④ B.①③④C②③④ D.①④［自主解答］①中否命题为“若12+y2=0,贝U1=y=0"，正确；③中，/=1+4m，当m＞0时，/＞0,原命题正确，故其逆否命题正确；②中逆命题不正确；④中原命题正确故逆否命题正确．［答案］B2解题方法归纳在判断四个命题之间的关系时，首先要分清命题的条件与结论，再比较每个命题的条件与结论之间的关系．要注意四种命题关系的相对性，一旦一个命题定为原命题，也就相应的有了它的“逆命题”“否命题”“逆否命题”；判定命题为真命题时要进行推理，判定命题为假命题时只需举出反例即可．对涉及数学概念的命题的判定要从概念本身入手．3以题试法1．以下关于命题的说法正确的有 （填写所有正确命题的序号）．①“若log产＞0,则函数f（1尸log尸（。＞0,aW1）在其定义域内是减函数”是真命题；②命题“若a=0,则ab=0”的否命题是“若aW0,则abW0”；③命题“若％,y都是偶数，则％+y也是偶数”的逆命题为真命题;④命题“若a£M，则bqM”与命题“若b£M,则aqM”等价.解析：对于①，若解析：对于①，若log2a>0=log21，则a>1,所以函数f(x)=logax在其定义域内是增函数，故①不正确；对于②，依据一个命题的否命题的定义可知，该说法正确；对于③，原命题的逆命题是“若x+y是偶数，则x、y都是偶数”，是假命题，如1+3=4是偶数，但3和1均为奇数，故③不正确；对于④，不难看出，命题“若a£M，则bqM”与命题“若b£M，则a+M”是互为逆否命题，因此二者等价，所以④正确.综上可知正确的说法有②④.答案：②④充分必要条件的判定1典题导入［例2］(1)“x<2”是“x2-2x<0"的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2)设a,b£R,“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件［自主解答］(1)取x=0，则x2-2x=0，故由x<2不能推出x2-2x<0;由x2-2x<0得0<x<2，故由x2-2x<0可以推出x<2.所以“x<2”是“x2-2x<0"的必要而不充分条件.(2)当a=0，且b=0时，a+bi不是纯虚数；若a+bi是纯虚数，则a=0.故“a=0”是“复数a+bi是纯虚数”的必要而不充分条件.［答案］(1)B(2)B2解题方法归纳充要条件的判断，重在“从定义出发”，利用命题“若p，则q”及其逆命题的真假进行区分，在具体解题中，要注意分清“谁是条件”“谁是结论”，如“A是B的什么条件”中，A是条件，B是结论，而“A的什么条件是B”中，A是结论，B是条件.有时还可以通过其逆否命题的真假加以区分．3以题试法2.下列各题中，p是q的什么条件?(1)在4ABC中，p：A=B,q：sinA=sinB；(2)p：Ix1=x,q:x2+x三0.解：(1)若A=B，则sinA=sinB,即p今q.又若sinA=sinB,则U2RsinA=2RsinB,即a=b.故A=B,即q0p.所以p是q的充要条件.(2)p:{xIIxI=x}={xIx三0}=A,q:{xIx2+x三0}={xIx三0,或xW-1}=B,.「AB,:.p是q的充分不必要条件.充分必要条件的应用1典题导入［例引已知p：-4<x—a<4,q：(x-2)(x-3)<0,且q是p的充分而不必要条件，则a的取值范围为 ．［自主解答］设q,p表示的范围为集合A,B,则A=(2,3),B=(a-4,a+4).由于q是p的充分而不必要条件，则有AB,a-4W2, fa-4<2,即1 或f、解得-1WaW6.a+4>3 ［a+4三3,［答案］［—1,6］2解题方法归纳利用充分条件、必要条件可以求解参数的值或取值范围,其依据是充分、必要条件的定义,其思维方式是：(1)若p是q的充分不必要条件，则p今q且q0/p;(2)若p是q的必要不充分条件，则p0/q，且q今p;(3)若p是q的充要条件，则p台q.3以题试法3. "x£{3,a}”是不等式2x2—5x—3三0成立的一个充分不必要条件，则实数a的

取值范围是( )A.(3取值范围是( )A.(3,+8)ci—2B.(—8,—1)u[3,+8)8,—1U(3,+8)解析：选D由2%2—5%—3三0得％W—5或%三3.•・•%£{3,a}是不等式2%2—5%—3三0成立的一个充分不必要条件，又根据集合元素的互异性aW3,；.aW-2或a>3.金雪全员必做题.已知向量a=(%—1,2),b=(2,1),则a±b的充要条件是()%=-2 B.%=—1C.%=5 D.%=0解析：选Da_Lb2(%—1)+2=0,得%=0.2.命题“若一个数是负数,则它的平方是正数”的逆命题是( )A.“若一个数是负数，则它的平方不是正数”“若一个数的平方是正数，则它是负数”“若一个数不是负数，则它的平方不是正数””若一个数的平方不是正数，则它不是负数”解析：选B原命题的逆命题是：若一个数的平方是正数，则它是负数..设a,b£R，则“a>0,b>0”是“生孕》Jab”的( )A.A.充分不必要条件C.充要条件B.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件a+b a+ba+b।~~-解析:选D由a>0,b>0不能得知~^>>a；ab，如取a=b=1时2-=yab；由~^~>7ab不能得知a>0,b>0,如取a=4,b=0时，满足卡>\痴，但b=0.综上所述，“a>0,b>0”是“中>'a”的既不充分也不必要条件..已知p：“a=\历"，q：“直线%+y=0与圆%2+。一a)2=1相切"，则p是q的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选A由直线％+y=0与圆％2+。—a)2=1相切得，圆心(0,a)到直线%+y=0的距离等于圆的半径，即有5=1,a=±T5.因此，p是q的充分不必要条件..命题：“若％2<1,则一1<%<1”的逆否命题是( )A.若％2三1,则%三1或％W—1B.若一1<%<1,则％2<1C,若%>1或％<—1,则％2>1D.若%三1或%W—1,则%2三1解析：选D%2<1的否定为：%2三1;一1<%<1的否定为%三1或%W—1,故原命题的逆否命题为：若%三1或%W—1,则%2三1..设集合A={%£RI%一2>0},B={%£RI%<0},C={%£RI%(%-2)>0},则“%£AUB”是“%£C”的( )A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选CAUB={%£RI%<0,或%>2},C={%£RI%<0,或%>2},・•.AUB=C,「.%£AUB是%£C的充分必要条件..下列命题中为真命题的是()A.命题“若%>y,则%>IyI”的逆命题.命题“%>1,则:%2>1”的否命题C.命题“若%=1,则%2+%—2=0”的否命题D.命题“若%2>0,则%>1”的逆否命题解析：选A对于A,其逆命题是：若%>IyI,则%>y,是真命题，这是因为%>IyI三y,必有%>y；对于B,否命题是：若%W1,则%2W1,是假命题.如%=-5,%2=25>1;对于C,其否命题是：若%W1,则％2+%-2£0,由于%=-2时，％2+%-2=0,所以是假命题；对于D,若%2>0,则%>0或%<0,不一定有%>1,因此原命题与它的逆否命题都是假命题.8.对于函数y=f(%),%£R,“y=f%)I的图象关于y轴对称”是“y=f(%)是奇函数”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选B若y=f(%)是奇函数，则f(-%)=-f(x),」.f(-%)I=I-f(%)I=f(%)I,「•y=f(%)I的图象关于y轴对称，但若y=f(%)I的图象关于y轴对称，如y=f(%)=%2,而它不是奇函数..命题“若%>0,则U%2>0”的否命题是 命题.(填“真”或“假”)解析：其否命题为“若％W0,则％2W0”，它是假命题.答案：假.已知集合a={%ly=lg（4一%）},集合5={%l%vq},若尸：是。：“xWB”的充分不必要条件，则实数4的取值范围是 .解析：A={xlx<4},由题意得A5结合数轴易得q>4.答案：（4,十8）. “一3V4V1”是“方程苫三+F=1表示椭圆”的 条件.q十31~aa+3>0,解析：方程表示椭圆时，应有<1-4>0,.a+3W1-a解得-3<«<1且aW~1,故"-3vqvl”是“方程表示椭圆”的必要不充分条件.答案：必要不充分.若“%2>1”是“%〈优的必要不充分条件，则4的最大值为.解析：由％2>1,得％V-1或%>1,又“%2>1”是“%〈优的必要不充分条件，知由“%va”可以推出反之不成立，所以qW-l,即4的最大值为-1.答案：一1.下列命题：①若ac2>bc2,则a>b-,②若sinot=sin%贝Ua=£；③“实数4=0”是“直线％—2ay=l和直线2%—24y=1平行”的充要条件；④若"r）=log2%，则川刈是偶函数.TOC\o"1-5"\h\z其中正确命题的序号是 .解析：对于①，ac2>bc2,C2>O,正确；对于②，sin30°=sin150°^/30°=150°,所以②错误；对于③，-2a=~ =0JLAC^/AC.,所以③正_LN_LNN_L _L4 4_L确；④显然正确.答案：①③④.已知集合4=卜出%2—%—6<1bB={xllog4（x+^）<1},若％£4是%£5的必要不充分条件，则实数4的取值范围是 .解析：由❷%2-％-6vl,即％2-％-6>0,解得%〈-2或%>3,故4={%1%〈-2,或%>3};由log4（x+d）<l,即0<x+«<4,解得-«<x<4-a,故B={%1-a<x<4-a],由题意，可知5A,所以4-aW-2或-q三3,解得q三6或aW~3.

合案：(-8,—3]U[6,+8)B级重点选做题.在^ABC中，a,b,c分别是角A,B,C所对的边，则“A<B”是“cos2A>cos2B”的( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件解析：选C由大边对大角可知，A<B台a<b.ab由正弦定理可知^~~jj,故a<bOsinA<sinB.sinAsinB而cos2A=1—2sin2A,cos2B=1—2sin2B,又sinA>0,sinB>0,所以sinA<sinBOcos2A>cos2B.所以a<bOcos2A>cos2B，即“A<B”是“cos2A>cos2B”的充要条件..设%、y是两个实数，命题“%、y中至少有一个数大于1”成立的充分不必要条件是()A.%+y=2 B.%+y>2C.%2+y2>2 D.%y>1解析：选B命题“%、y中至少有一个数大于1”等价于“%>1或y>1”.若%+y>2,必有%>1或y>1,否则%+yW2；而当%=2,y=—1时，2—1=1<2,所以%>1或y>1不能推出%+y>2.对于%+y=2,当%=1,且y=1时，满足%+y=2,不能推出%>1或y>1.对于%2+y2>2,当%<—1,y<—1时，满足%2+y2>2,故不能推出%>1或y>1.对于%y>1,当%<—1,y<—1时，满足%y>1,不能推出%>1或y>1,故选B..已知不等式|%—m|<1成立的充分不必要条件是1<%<2则m的取值范围是 .解析：由题意知：“3<%<2”是“不等式|%-m|<1”成立的充分不必要条件.11 1〕所以,3<%<2:是{%||%-m|<1}的真子集.而{%||%-m|<1}={%|-1+m<%<1+m},,1+<1-1+m■瞋,3所以有 1、1+m三2，43

43

4m

112

-得所以m的取值范围是-1，3.

答案:[-答案:[-2,413_.在，，b是实数”的大前提之下，已知原命题是“若不等式12+如+bW0的解集是非空数集，则a2-4b三0”，给出下列命题：①若a2-4b三0,则不等式12+ax+bW0的解集是非空数集；②若a2-4b<0,则不等式x2+ax+bW0的解集是空集；③若不等式x2+ax+bW0的解集是空集，则a2-4b<0；④若不等式x2+ax+bW0的解集是非空数集，则a2-4b<0；⑤若a2-4b<0,则不等式x2+ax+bW0的解集是非空数集；⑥若不等式x2+ax+bW0的解集是空集，则a2-4b三0.其中是原命题的逆命题、否命题、逆否命题和命题的否定的命题的序号依次是(按要求的顺序填写).解析：“非空集”的否定是“空集”，“大于或等于"的否定是“小于”，根据命题的构造规则，题目的答案是①③②④.答案:①③②④.设条件p：2x2—3x+1W0,条件q：x2-(2a+1)x+a(a+1)W0,若幺弟p是幺弟q的必要不充分条件，求实数a的取值范围.解：条件p为：：Wx忘1,条件q为：aWxWa+1.…一一，….[-A1〕,幺弟q对应的集合B={xIx>a,幺弟q对应的集合B={xIx>a+1,或x<a}..%弟p是幺弟q的必要不充分条件，」.BA,」.a+1>1且aw2或a+1三1且a<2・••0・••0WaW；.故a的取值范围是0,

乙 —1一2_.已知集合M={xIx<-3,或x>5},P={xI(x—a)-(x-8)W0}.(1)求MnP={xI5<xW8}的充要条件；(2)求实数a的一个值，使它成为MnP={xI5<xW8}的一个充分但不必要条件.解：(1)由MnP={xI5<xW8},得-3WaW5,因此MnP={xI5<xW8}的充要条件是-3WaW5;(2)求实数a的一个值，使它成为MnP={xI5<xW8}的一个充分但不必要条件，就是在集合{aI-3WaW5}中取一个值，如取a=0,此时必有MnP={xI5<x・8};反之，MnP={xI5<xW8}未必有a=0,故a=0是MnP={xI5<xW8}的一个充分不必要条件..在命题p的四种形式的命题(原命题、逆命题、否命题、逆否命题)中，正确命题的

个数记为f(p),已知命题p：“若两条直线11：a1x+b1y+c1=0,12：a2x+b2y+c2=0平行，则a1b2-a2b1=0”.那么fp)=()A．1 B．2C．3 D．4解析：选B若两条直线11：a1x+b1y+c1=0与