三角函数知识点总结

高中数学第四章-三角函考试内容：角的概念的推广.弧度制.任意角的三角函数.单位圆中的三角函数线.同角三角函数的基本关系式正弦、余弦的诱导公式.两角和与差的正弦、余弦、正切.二倍角的正弦、余弦、正切.正弦函数、余弦函数的图像和性质.周期函数.函数y=Asin(sx+@)的图像.正切函数的图像和性质.已知三角函数值求角.正弦定理.余弦定理.斜三角形解法.考试要求：(1)理解任意角的概念、弧度的意义能正确地进行弧度与角度的换算.(2)掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义；了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式；了解周期函数与最小正周期的意义.(3)掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式.(4)能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明.(5)理解正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质，会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数y=Asin("+@)的简图，理解A.s、e的物理意义.(6)会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx\arc-cosx\arctanx表示.(7)掌握正弦定理、余弦定理，并能初步运用它们解斜三角形.(8)“同角三角函数基本关系式:sin2a+cos2a=1,sina/cosa=tana,tana*cosa=1”.§04.三角函数知识要点SINCOS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、四象限一半所在区域.①与a(0°<a<360°)终边相同的角的集合(角a与角P的终边重合):②终边在％轴上的角的集合：1|P=kSINCOS三角函数值大小关系图1、2、3、4表示第一、四象限一半所在区域③终边在y轴上的角的集合：1|B=kx180。+90。,keZ}④终边在坐标轴上的角的集合：B邛=kx90。,keZ}⑤终边在尸％轴上的角的集合：X|B=kx180。+45。,keZ}⑥终边在y=—%轴上的角的集合：1|P=kx180o-45。,keZ}⑦若角a与角B的终边关于％轴对称，则角a与角B的关系：a=360。k-B⑧若角a与角B的终边关于y轴对称，则角a与角B的关系：a=360。k+180。-8⑨若角a与角B的终边在一条直线上，则角a与角B的关系:⑩角a与角B的终边互相垂直，则角a与角B的关系：a=360。k+B±90。.角度与弧度的互换关系：360°=2式180°=兀1°=0.017451=57.30。=57。18'注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零、弧度与角度互换公式：1rad=180°^57.30°=57°18'. 1°=工心0.01745(rad)冗 180

3、弧长公式：l1扇形面积公式：s扇形21r21|r24、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r则sin上;r,x；cot一，

ysecr；;xcsc5、三角函数在各象限的符号：r.y（一全二正弦，三切四余正弦、余割+o余弦、正割+x3、弧长公式：l1扇形面积公式：s扇形21r21|r24、三角函数：设是一个任意角，在的终边上任取（异于原点的）一点P（x,y）P与原点的距离为r则sin上;r,x；cot一，

ysecr；;xcsc5、三角函数在各象限的符号：r.y（一全二正弦，三切四余正弦、余割+o余弦、正割+x正切、余切tancos弦）6、三角函数线正弦线：MP；余弦线：正切线：AT.7.三角函数的定义域：16.几个重要结论(3)若o<x<9，则sinx<x<tanx

2三角函数定义域f(x)siixxxRf(x)cosxxxRf(x)taixx|xR曰xk-,kZ2f(x)cotxxxR且xk,kZf(x)secxx|xR且xk—,kZ2f(x)cscxxxR且xk,kZsin cos tanc°^cotcos sin8、同角三角函数的基本关系式：tancot1cscsinsin2 cos2 1sec21sectan2cos11csc2 cot2 19、诱导公式：把^ 的三角函数化为的三角函数，概括为:2“奇变偶不变，符号看象限”三角函数的公式：（一）基本关系公式组二公式组三

公式组二公式组一密网#羔古身=si赊=9x）=sln亚&2x=1cos（2k冗+x）=cosxCOSJx）=cosxtaS2k版cx=1=tanx=®^x）=n+taa2及=sec2xsinxcot（2k冗+x）=cotxcot（-x）=-cotx公式组四 公式组五公式组六tanx,cotx=1 1+cot2x=csc2公式组四 公式组五公式组六sin（冗+x）=-sinxsin（2冗-x）=-sinxsin（冗-x）=sinxcos（冗+x）=-cosxcos（2冗-x）=cosxcos（兀-x）=-cosxtan（冗+x）=tanxtan（2冗-x）=-tanxtan（兀-x）=-tanxcot（冗+x）=cotxcot（2冗-x）=-cotxcot（兀-x）=-cotx（二）角与角之间的互换公式组一 公式组二cos（a+B）=cosacosB-sinasinBsin2a=2sinacosacos（a-B）=cosacosB+sinasinBcos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2asin（a+sin（a+B）=sinacosB+cosasinBtan2a=2tana1-tan2asin（asin（a-B）=sinacosB-cosasinBsina=±.,'2 1tan（a+Btan（a+B）=tana+tanB

1-tanatanBa

cos—=2±［1+cosatan（a-tan（a-B）=tana-tanB

1+tanatanBta±|1-cosa sina 1-cosa2 11+cosa1+cosasina公式组三a2tan. 2sina= a+tan2-2公式组四公式组三a2tan. 2sina= a+tan2-2公式组四I/ 、/sinacosB=鼻kin'a+B）+sin匕-cosasinB=2kinG+B）-sinG-B）］B）］公式组五cosacosB=losQ+B）+cosG-B）］a1—tan2—2cosa= a1+tan2一2ca2tan—, 2tana= a1—tan2一2sinasinB=—-fcosCx+B）-cosG-B）1a+Ba-Bsina+sinB=2sin cos 2

a+B

sina-sinp=2cos sin-2

a+B

cosa+cosB=2cos cos222

a-B2

a-Bcosa-cosB=-2sina+B.a-B

sin Z1cos（2-兀-a）=sinasin（-2-兀-a）=cosa,zl… …tan（-2-兀-a）=cotacos（-2兀+a）=-sina,zl… …tan（-2兀+a）=-cotasin（-2-兀+a）=cosaTOC\o"1-5"\h\z■- 厂：- L L力"6-•2F75。—rc<15。-'6+'2,tan15。=cot75。=2--3,tan75。=cot15。=2+、：3.sin15。=cos75。= sin750=cos15°= "4 410.正弦、余弦、正切、余切函数的图象的性质:y=sinxy=cosxy=tanxy=cotxy=Asin（tox+隼）（A、①>0）

定义域RR<%1%eR且%wk—+，—,keZ>{%1%eR且%wk—,keZ}R值域[-1,+1][-1,+1][ 2 JRRLAA]周期性2—2———2—①奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数当中w0,非奇非偶当中=0,奇函数单调性——…[-——+2k—,2—…—+2k—]上为增函数 ；—[―+2k—,3— r-2-+2k—]上为减函数(keZ)[6k-1%,2k—] '上为增函数[2k—,(2k+11]上为减函数(keZ)-—+k—,—+k—I2 2J上为增函数(keZ)（k—,（k+1%）上为减函数（keZ）…— ]2k—---9^(A),312k—+7—-92 (-A)L 3 」上为增函数；— —2k—+19 2—(A),3c, 32k—+T—-9 2 (-A)_ 3 」上为减函数(keZ)注意：①y=-sin%与y=sin%的单调性正好相反；y=-cos%与y=cos%的单调性也同样相反.一般地，若y=f（%）在［a,b］上递增（减），则y=-f（%）在［a,b］上递减（增）.②y=sin%1与y=Icos%I的周期是冗.2几③y=sm(3%+隼)或y=cos(①%+9)(①w0)的周期T= .3|%tan—2的周期为2冗（T5nT=2冗%tan—2④y=sin（3%+隼）的对称轴方程是％=kn+—（keZ），对称中心（kn,0）；y=cos（0%+中）的对称轴方程是2k—一、%=k—(keZ)，对称中心(心…14n)；y=tan(3%+6的对称中心(一,0).TOC\o"1-5"\h\zk—+—,0 n2 2y=cos2%―原点对称=-cos(-2%)=-cos2%— —⑤当tana-tanp=1,a+0=k—+—(keZ)；tana-tanp=-1,a-0=k—+—(keZ).22⑥y=cos%与y=sin%+—+2k—1⑥y=cos%与y=sin%+—+y=©%+*=疝(3%+M+2九八±°0s(3%>⑦函数y=tan%在R上为增函数.（x）［只能在某个单调区间单调递增.若在整个定义域，y=tan%为增函数，同样也是错误的］.

是定义域关于原点⑧定义域关于原点对称是f（x）具有奇偶性的必要不充分条件.（奇偶性的两个条件:对称（奇偶都要），二是满足奇偶性条件，偶函数：f（-x）=f（x），奇函数：f（-x）=-f（x））是定义域关于原点奇偶性的单调性：奇同偶反例如：y=tanx是奇函数，y=tan（x+3冗）是非奇非偶.（定义域不关于原点对称）y-lcos2x+1/21图象奇函数特有性质：若0ex的定义域，则f（x）一定有f（0）=0.y-lcos2x+1/21图象⑨y=sinlxl不是周期函数；y=|sinx|为周期函数（7=兀）； Ty=coslxl是周期函数（如图）；y=Icosx|为周期函数（7=兀）；v-cos\x\图象v_ros2r+1的周期为冗（如图），并非所有周期函数都有最小正周期，例如:v-cos2x+2y=f(x)=5=f(x+k),keR.⑩y=acosa+bsinB=aa2+b2sin(a+隼)+cos隼=—有aa2+b2>|y|a11、三角函数图象的作法:1）、几何法：2）、描点法及其特例——五点作图法（正、余弦曲线），三点二线作图法（正、余切曲线）.3）、利用图象变换作三角函数图象.三角函数的图象变换有振幅变换、周期变换和相位变换等.函数y=Asin（sx+q）的振幅|A|,周期T=型，频率f=1=®，相位3x+p；初相干（即当x=013| T2冗时的相位）.（当A>0,3>0时以上公式可去绝对值符号），由y=sinx的图象上的点的横坐标保持不变，纵坐标伸长（当A|>1）或缩短（当0<|A|<1）到原来的|A|倍，得到y=Asinx的图象，叫做振幅变换或叫沿y轴的伸缩变换.（用y/A替换y）由y=sinx的图象上的点的纵坐标保持不变，横坐标伸长（0<|3|<1）或缩短（|3|>1）到原来叫"3倍，得到y=sin«x的图象，叫做周期变换或叫做沿x轴的伸缩变换.（用sx替换x）由y=sinx的图象上所有的点向左（当q>0）或向右（当q<0）平行移动IqI个单位，得到y=sin（x+q）的图象，叫做相位变换或叫做沿x轴方向的平移.（用x+q替换X）由y=sinx的图象上所有的点向上（当b>0）或向下（当b<0）平行移动IbI个单位，得到y=sinx+b的图象叫做沿y轴方向的平移.（用y+（-b）替换y）由y=sinx的图象利用图象变换作函数y=Asin（sx+q）（A>0,s>0）（x£R）的图象，要特别注意：当周期变换和相位变换的先后顺序不同时，原图象延X轴量伸缩量的区别。4、反三角函数：函数y=函数y=sinx,兀兀一2，2八的反函数叫做反正弦函数，记作y=arcsinx，它的定义域是[—1,1],值域是「函数y=cosx,（x£[0,n]）的反应函数叫做反余弦函数，记作y=arccosx,它的定义域是[—1,1],值域是[0,n].

函数y=函数y=tanx，[1))的反函数叫做反正切函数，记作y=arctanx,它的定义域是（一8,十8）,值域是函数y=ctgx,［x£（0,n）］的反函数叫做反余切函数，记作y=arcctgx，它的定义域是（一8,十8）值域是（0,n）.II.竞赛知识要点反三角函数.1.反三角函数：⑴反正弦函数y=arcsinx是奇函数，故arcsin（-x）=-arcsinx,X8）值域是（0,n）.II.竞赛知识要点反三角函数.1.反三角函数：⑴反正弦函数y=arcsinx是奇函数，故arcsin（-x）=-arcsinx,Xel-1,1］（一定要注明定义域，若xe（—8,+8），没有x与y一—对应，故y=sinx无反函数）注：sin(arcsinx)=x,xeL1,1],arcsinxe⑵反余弦函数y=arccosx非奇非偶，但有arccos(-x)+arccos(x)=兀+2k兀,xeL1,1].注：①cos(arccosx)=x,xeL1,1]，arccosxeb,九].②y=cosx是偶函数，y=arccosx非奇非偶，而y=sinx和y=arcsinx为奇函数.兀兀,⑶反正切函数：y=arctanx，定义域(-8,+8)，值域(—-,—)，y=arctanx是奇函数，) 22arctan(-x)=-arctanx，xe(-8,+8).

注：tan(arctanx)=x,xe(-8,+8).兀兀⑷反余切函数：y=arccotx，定乂域（一8,+8），值域（ ,—）,y=arccotx是非奇非偶.2<21arccot(-x)+arccot(x)=兀+2k兀，xe(-8,+8).注：①cot(arccotx)=x,xe(-8,+8).②y=arcsinx与y=arcsin(1-x)互为奇函数，y=arctanx同理为奇而y=arccosx与y=arccotx非奇非偶但满足arccos(-x)+arccosx=8+2k8,xe[-1,1]arccotx+arccot(-x)=8+2k8,xe[-1,1]•⑵正弦、余弦、正切、余切函数的解集：a的取值范围 解集a的取值范围解集①sinx=a的解集②cosx=a的解集a>10U>1=1尸11x=2k兀+arcsina,kez}[I1 {dx=2k兀+arccosa,ke