自学考试 线性代数试卷及答案集合

2014年10月等教育自学考试全国统一命题考试04184线代（管类试本试卷共8页，满分分，考试时间分钟。说明：本试卷中，A表矩阵A的置矩阵，*示矩阵的随矩阵，E单位矩阵，表方阵的行列式，r的秩。一、单项选择题（本大题共5小题，每小题分共10分）在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。1.设阶列式

1121

1222

1323

，若元素a的数余子公式为ij

A

ij

（i,j=1,2,3)，则A31

【】A.

B.0C.12.设

A

为3阶阵，将

A

的第3行以

12

得到单位矩阵

E

，则A=【】A.

B.

12

D.23.设量组

1

,2

3

的秩为，则

,1

,2

3

中【】A.有一个零向量B.B.任两个向量都线性无关C.存在一个量可由其余向量线性表出每个向量均可由其余向量线性表出34.设阶矩阵A3【】

,则列向量中是的于特征值的特征向量为A.

B.5.二型

f(,x)x13

22

23

1

的正惯性指数为【】A.0B.1C.2二、填空题（本大题共10小，每小题2分，共20分请在每小题的空格中填上正确答案。错误、不填均无分、/

20206.设

fx)

1

，则方程

f(x

的根是7.设阵

1A*=8.设为3阶阵，

A

12

,则列式

)

=9.设阵

2B42

,若矩阵

A

满足

PAB

,则

A

=10.设向量

(1

,

2

(1,2)

,

(4,2)3

,则由3

线性表出的表示式为11.设向量组

T,1

(4,1,0)T2

(1,0,k)3

线性相关，k则数12.3元次线性方程组为

xx1x23

的基础解系中所含解向量的个数13.设3阶阵

A

满足

3EA

，则

A

必有一个特征值为14.设2阶对称矩阵

A

的特征值分别为

和1，则

A

15.设二次型

f(x,xtx112

x1

2

正定，则实数

t

的取值范围是三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）10016.计算4阶列式

1013

的值。0/

11217.已知矩阵

a1

aa10

a11000

，求

A

。18.设矩阵10

,且阵

X

满足

AXE

,求

X

。19.设向量(1,1,1,1)

T

,

(1,2,1,1)

T

,

(kk

T

,

k

T

,确定当取值时

能由

,1

,2

3

线性表出，并写出表示式。20.求线性方程组系表示）。

123xx23xxx14

的通解（要求用其一个特解和导出组的基础解021.设矩阵矩阵2

相似，求数与逆矩阵，使得

。22.用正交变换将二次型

f)213

22

x

23

2x1

化为标准形，写出标准形和所作的正交变换。/

．．．．．．．．四、证明题（本题7分）23.向量组

,,123

线性相关，且其中任意两个向量都线性无关。证明：存在全不为零的常数

k,k使得k13

1

2

2

033

。2014年10月等教育自学考试全国统一命题考试线代（管）题案评参（课程代码04184）一、单项选择题（本大题共5小题，每小题分共10分）1.D2.A3.C4.B5.C二、填空题（本大题共10小，每小题2分，共20分5

14

10.11.12.

31

213.14.

E

3215.

＜

t

＜

1三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）16.解

1003103100=110131

......3分0130013

3

......9分0/

1000100001可得(A)(A12117.解

a1

aa10

a100

1000

1000

0100

0010

000

1aaa3

01aa

001a

0001

0001

0010

0100

1000

......2分

0000011100

..........7分从而

A

01

......918.解由

AXEA

X

,得

AA

3

......2分又由

001E1

可逆......5分由

AA

3

A两边左乘

A)

,得X

213010

......9分19解设

xx13

，......2分该线性方程组的增广矩阵为

1111

1k2111k01k10

1k1000

......6分由于能,,12

3

线性表出，则必有

r(A))此时，方程组有唯一解

x012表示式为

......920.解方组的增广矩阵/

330003300000111

110122

0121

......2分可知

r(A)()2

＜＜，程组有无穷多解......4分由同解方程组

xx3x4求出方程组的一个特解*

1,1,0,0)

,导出组的一个基础解系为

2,1,0)1

T2

......7分从而方程组的通解为

11

2

2

1

2

(cc

为任意常数）......9分21.解由件可知矩阵的特征值为

1

22

......2分由

x0

，得

x

......4分

对于

，由线性方程组

()

求得一个特征向量为

1

对于

2

，由线性方程组

(2EAx

求得两个线性无关的特征向量为,(0,1,1)2

令

10,1

,则

......9分0122.解二型的矩阵A20

......2分

由

A

/

1131133故

A

的特征值为

2,1

03

......4分对于

，求解齐次线性方程组

()

，得到基础解系

3

(

将其单位化，得

3

12

,0,

12

)

......7分令

,13

)1

则P为交矩阵，经正交变换22

，化二次型为标准形

221

......9分四、证明题（本题7分）23.证由向量组

1

2

3

线性相关，故存在不全为零的常数

k,k,k12

3

，使得k

1

2

2

03

......2分其中必有

1

。否则，如果

1

，则上式化为

k

2

2

03其中

kk2

3

不全为零，由此推出

2

3

线性相关，与向量组中任意两个向量都线性无关的条件矛盾......5分类似地，可证明

k0,23

........7分2015年4月高等教育自学考试全国统一命题考试线性代数经管类）试课程代码04184一、单项选择题（本大题共5小题每小题2分，10分/

1112211111y00111112211111y0011131212231、设行列式=A.-DB.D

12

a，a22C.2D

ba1b2D.3D

，则

【】2、若A=

0xB=

，且2AB，则【】A.x=1，B.x=2，C.x=1，y=1，3、已知A是3阶逆矩阵，则下列矩阵中与A等的是【】A.

00

00

C.

0

0

4、设2阶对称矩阵A的部特征值味，，，齐次线方程组+A）x0的础解系所含解向量的个数为【】A.0B.1C.25、矩阵

有一个特征值为【】A.-3B.-2C.1D.2二、填空题（本大题共10小，每小题2分，共20分请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。6、设A为3阶阵，且A=3，3A

=.7、设A

1

，则A

=.8、已知A

1211

，若矩阵X满AXB，则X.9、若向量组，，T，，，2)T1

线性相关，则数k=.ax01310、齐次线性方程组01x013

有非零解，则数

=.11、向量

1

(1-2，，

2

(2，，T，内积（

,

）.12、量空间V={x=(x，，|x，}的数为.13、向量（，，）

和（，，）

均正交的一个单位向量为

.14、阵

的两个特征值之积为

./

5050115、实二次型，，

1

222

x1

正定，则数a的值范围是.三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）211116、算行列式

13111111

的值.17、2阶阵A的列式

A

，求行列式

(2)A*

的值.18、矩阵A

01

=0

，矩阵X满足XAXB求X19、向量组

T(2,5,1)T(T1,10)124

的秩和一个极大线性无关组，并将向量组中的其余向量由该极大线性无关组线性表.20、用克拉默法则解线性程组

2212x12c213

，其中

,,

两两互不相同.021、知矩阵A1B1

相似，求数a的.22、正交变换化二次型

f(x,x)x122

为标准型，并写出所作的正交变换四、证明题（本题7分）23、A，均为n阶矩阵，且AB+E，BB，证明A可.答案：一、单项选择题（本大题共5小题，每小题分，共10分1.C2.A3.D4.C5.B二、填空题（本大题共10小，每小题分，共20分）9

310.-211.0/

2015201510012.213.

13

或

13

14.-115.

＞三、计算题（本大题共7小题，每小题9分，共63分）1

116.解D=

1114

30=

1152074

42

0

417.解由于

12

，所以

可逆，于是

*AA

故

(2A)

A

*

A

AA

=

1A2218.解由AX

，化为

，而

0E0

可逆，且

0211故

0019.解由

0,,1513所以向量组的秩为，

,

是一个极大线性无关组，并且有,31

1741

2注：极大线性无关组不唯一。20.解方组的系数行列式/

即22即22aa

D=

bb2cc因为a,b,c两两互不相同，所以

，故方程有唯一解。

aa

13a

a

又D3b

bc

，D13b13c

b

0

，13a

Db2D1c3D310,x2xD21.解因矩阵A与相，故trAtrB且AB所以

由克拉默法则得到方程组的解22.解二型的矩阵

由于

EA

，所以的特征值

对于特征值

，由方程组

得到A属特征值

的一个单位特征向量

1

对于特征值

由方程组

得到A属特征值

的一个单位特征向量.1得正交矩阵Q1

1

，作正交变换

，二次型化为标准形

f1

22

四、证明题（本题7分）23.证因BE,所以EB,又,/

故

,化简得

A

,

于是

1AE2

,故可。2015年10月高等教自学考试全国一命题考试线性代数管类)

试卷(课程代04184)本卷3页满l00分考时分钟。考答注事：．本所试必在题上答答试上无，卷白和面可草纸．第部为择。须应卷的号用2B铅将答卡的应码黑．第部为选题必注大小号使0．5毫米色迹字作。．合安答空。出题域效说：本中A示矩A的置阵A*表矩的随阵E是位阵，︱︱表方A的列，r(A)表矩A的。第一部分

选择题一单选题本题5小，小2分共10分)在小列的个选中有个符题要的请其选并“题”的应码黑未、涂多均分1．已知阶行式A．-2．1D．23．设向量组正确的是A．若s≤t，B．若s≤t，则C．若D．若

可由向量组必线性相关必线性相关线性无关，则s线性无关，则s≤t/

线性表出，则下列结论中

4．设有非齐次线性方程组Ax=b其中A矩阵，且r(A)=r，r(A，下列结论中正确的是A．若r=m，则Ax=O有非零解．若r=n，则Ax=0仅零解C．若r=m，则Ax=b有无穷多解．若r=n，则Ax=b有惟一解5.设n阶阵A满︱E-3A︱0则必有个特征值=第二部分

非选择题二填题(大共l0小题每题2分共20)请答卡作。6．设行列式aA+a+A=__________．

中元素a的代数余子式为A(i,j=1,2)，则7．已知矩阵8．设矩阵

，则A．，若矩阵A满足AP=B，则A=________9．设向量

，

，则

由向量组线性表出的表示式为=____________10．向量组a