浙江省高考数学模拟题分项汇编 6 数列与数学归纳法( 解析版)(36道题)

21nn21nn第章数与学纳数列是高考重点考查的内容之一，命题形式多种多样，大小均其中，小题重点查等差数列、等比数列基础知识以及数列的递推关系，和其它知识综合考查的趋势明显，小题难度加大趋势明显；解题的难度中等或稍难，随着文理同卷的实施，数列与不等式综合热门难压轴题，有所降温，难度趋减，将稳定在中等变难程度往往在解决数列基本问题后考查数列求和，在求和后往往与不等式、函数、最值等问题在考查等差数列、等比数列的求和基础上，进一步考查“裂项相消法法”等，与不等式结合，“放缩”思想及方法尤为重要．关于数学归纳法的考查，主要与数列、不等式相结.一选题1．(浙江省杭州市第二中学2020届高三上学期开学)已知等比数列

{}

的各项均为正数，且

1，3，24a2

成等差数列，则

a20a18

()A．

9

B．

6

C．

3

D．1【答案】【解析】设公比为.由

a1，，24

a

2

成等差数列，可得

3a12

，所以

3aaq1122

2

，则

2

，解

q

(舍去或

q

.所以

a219a

.故A.2.(2020届江省浙南名校联盟高三上学期第一次联已知数列

11anaan

*

，则()A．当

0n

*

时，则

an

B．当

an

*

时，则

an

annnnnn21211aannnnnn21211aC．当

a

12

时，则

1a2nnn

D．当

1

时，则

a

n

1an

20【答案】【解析】a

n

11111a即()(1)aaannnnn

n当

an

时，

1

a

1n

a

n

，故

ann

，A错误当

n

时，

11aann

，故

a

，B错误对于D选项当，

21

，

19a23aa21

，D错用数学归纳法证明选项C易知

n

恒成立当

时，

a6a21

，成立假设当

时成立，

a

12，aa

2

a

12

k当

n

时：

a

a

1

22

2

1aa2a2k

2

k即

a

a

1

2k

成立故

a

n

1an

恒成立，得证故答案选C3.(2020届江省五校高三上学期联)已知数列

d

的等差数列前n项和为S(nA．d时S一存在最大值B．d时一存在最大值n

nnC．

存在最大值时，

D．

存在最大值时，

【答案】【解析】对A：因为对B：因为

，所以数列单调递减，故S一存在最大值，正；，所以数列单调递增，故S不在最大值错；对C：因为当，

a0，存最大值，错1对D：由C的解析知，错故选A4.(2020届江省宁波市慈溪市高三上期已知数列

aaan2nn

*

,2

，若aa1

37

，则a

()A．

3B．80756054

C．

56058

D．

54036【答案】【解析】由题意数列

{}

满足：

aa

*2)

，可得

12a

1，所以数列差列，

174a33

，所以

4n3

，

3342019

．故选：A．5.(2020届江省宁波市镇海中学高三上期已知是等差数列

项，

，则S等于(A．50【答案】【解析】

B．42C．38D

由

S42

成等差数列，所以

所以

，故选：6.(2019·9月江省丽水四校高三联数列

a1

43

，

a*nn

，则11aa122013

的整数部分是()A．1C．3

BD【答案】【解析】因为,则则,故a1

,因,,又

,进而可得

a2

，故

a

,则,应选B.7.(2020届江省金丽衢十二校高三上学期第一次联设等差数列

a，，，n

(

，N

*

)的公差为d

，满足

an12n

，则下列说法正确的()A．C．存在iN

*

，满足

i

B．的可能为奇数D．m的能取值为1【答案】【解析】因为所以

2nn2

1iin1iina+dad111令则

f(xxxxxnnfa)f(af((1①当d0时

f(x)x

，不满足舍去.②当

时，由

)得

()

为平底型，故n为数

(≥4)

.f(x

的大致图像为：则

所以

n+

=d

，故A正确由

nd2nad2

nd2当

iL

n时iddii)d2当

i

n+2,,时aididid2故不存在i

*

，满足

i

，C错f(aaa2n2

an2

)=()2

*n2*n2由于

n

n所以md4

，故D错③当时令d由于

(

的图像与

f

的图像关于轴称，故只需研究

f()故令

)f(nx

d

因为所以

f(a)f(f(a1g(gg(11由②知

)

为平底型，故为数

(≥4)

，故错令ii所以g((aiii

，故A正由②知，不存在i*，满足，Ciii由②知，(i

n4

d

，故D错综上所述，正确,错故选A.8.(2020届江省高三上学期百校联)设无穷数列

a

(p0)

，

aq(q0)

，

，若

，则pq

的值为)A．

BCD．4【答案】【解析】

1aa2

，aan

1(n

22pqn22pqn1aa)n12

n因为数列是周期数列，所以存在1naaa2)()apq12212故的为2.故选C.9.(2020届江省台州五校高三上学期联若集合，则集合中元素个数是)A．2016B．2017C．2018．2019【答案】【解析】由题意知，必为一奇一偶，即选A.

共2016种况，又

，所以，.故10.(2020届浙江学军中学高三上期中)知数列

a1

12

，

an

2

an

，若bnA．

1an

，设数列

S，使得nC．B．

2019

最小的整数的为)D．【答案】【解析】因为

a2an

，所以

an

2an

0

，所以a为递增数列，n而

an

n

2

an

所以

1a

1

11aa所以

11bann

，因为数列

n

为，an1

12

2121所以

2019

1111aaaaa1232020

a

12020

而

a211

34

，a3

22

7716

，所以

a2020

a3

7716从而得到

2

a

1所以

要取最小，的数为2，故选：11.(2020届浙省名校新高考研究联(Z20盟高三上学期第一次联)已知数列．则下列说法正确的()nnn

{}

满足

12

，A．

0

12

B．

12

C．

1

32

D．

32

【答案】【解析】考察函数

)ln(2

，由

f'(x)

122

可得

(x)

在由

f'(0

可得

()

在

单调递减且

f(x)，列{}nn

为单调递增数列，如图所示：且

fln24

11，f)f(0)22

，

1212图象可得

10aaa23n

，所以

12

，故选B.二填题12.(2020届浙江省台州五校高三上学期联设等比数列

的前项为满对任意的正整数均有，则_______，公比_______.【答案】2【解析相减得，由等比数列前项公式得，从而解得.

，即

，，13.(2019年9月江省嘉兴市三测)知

{}

是公差为等差数列，

为其前项，若

a

，a

，

a

成等比数列，则

a

_____，当n时

取得最大值．【答案】19.10.【解析】因为

a，a，

成等比数列，所以

a27

，又

{}

是公差为的差数列，所以

11

，即

a1

，解得

a

，

22所以

S(nn100n

，因此，当

时，

取得最大值．故答案为1).19.(2).10.14.(2020届浙江学军中学高三上期中)比数列

3

282019

__________，aa234

__________．【答案】【解析】

89

因为等比数列

n

，2

，a3所以，a21所以

a122013a6q682

6

aa42

2

982

.89故答案为：；9215.(2019·9月江省丽水四校高三联)已知数列

n

a1

12

,a2nn

用x表示不超过x的最大整数，则

1aa

的值等于_____【答案】【解析】由题意知，

0

，

1(ann

移项得

1aan

2nn231112nn23111又

11111=++==2aaaaaa220131a，a,2又因

an

2n

，所以数列

n故

a所以

2

，故

11=1a2故填116．(2020届江省宁波市慈溪高三上期)设等差数列

n

为

S

n

a，a，S________.5【答案】【解析】依题意，a

a22

；

a2

a

．故答案为：，．17.(2019年浙江省超级全能生高三第一次联)已知数列

n

an

nn

2

.若1a，k2

则小是___________，

21

，且存在常数

，使得任意Mn

，则

的取值范围______________【答案】【解析】

(1)令

xayan

n

，

，表示点

an

1与原点连线的斜率，因为，以2

a，a124a，a1241a(0,]由于为yx,x]

a最高点，所以最，等于.a1(2)当

时存

时

a2

M

y()

图象可知任

MkM,成立，则需k(M),

kM即M

,

又

4M

11(M,以MM

,故

的取值范围是

18.(浙江省杭州市第二中学2020高三上学期开学)已知正项数列

n

2

，a

，则数列

a

项和为．【答案】【解析】

2n

由已知得

n(2a

2nnn

an

n

所以所以所以

(a)(2na)nn2na0.nanann

又因为

a所以4a22;a1322

；a44;a33Lann;ann

231nnnn1nnnnn231nnnn1nnnnnnn累乘得

所以

an2nnnnn所以

a

=

2n所以

a2321;13a

243;4aL

252;5a2n;nnn累加求和得

2n

2;2故答案为n19.(2020届浙江省五校高三上学期联)数列

项和为

，满足S1【答案】16

，S7

______.【解析】当时，S1

12

；当

a时nn

n

n

n

n

annn

n

237，7882244354p237，7882244354pn当为偶数时，n111a即为奇数时，所以a；2nn11a72220.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期已知

.{}

是等比数列，且

a

，aaa25，a4545

__________，a的大值为_________．【答案】【解析】

aa243

235

(a)3

2

Qan5a55a5)a，即a的最大值为221.(浙江省宁波市宁波十校2020高三11联)知常数p＞0，数列{a满足＝|﹣aa|+2(n∈N)，首项为a，n项为．若≥对意nN成立，则1的取值范围为．n【答案】﹣6，﹣4]【解析】由题意，

ppnn

，及

a

，所以数列

，要使得

对任意

恒成立，则必有

a0,a

，所以

ppap11

，appp)p111

，apap31111

，所以

aa1即1的值范围p

[

．故答案为：

[

．

n1nn1nn1nn1n三解题届江省名校新高考研究联(联)高三上学期第一次联)已知数列

n

列

n

是数列

n

和，且

，Sa，数列53

4,bb212nnn

．(1)求数列

n

n

式(2)令

nnn

*

，证明：

2n

．【答案】(1)

a

.

2n

n

.(2)证见解析【解析】(1)设等差数列

n

，d，解得，3a1∴数列

n

式

a

.bbnbn

，当

时，

bb(bnb(2nbn

bnbn

，即

n

列且

b

，

2

，2n

n

.(2)

anb2nn

，记

12nS2n

，则

232S12n

，SS

11n222nn

．23.(2020届浙江省高三上学期百校联)知各项为正数的数列

n

n项为S，8

，且

a

.(1)求数列

n

式

(2)若

ba2nn

，求数列

n

项

T

.【答案】(1)

n

.(2)

n

2

【解析】(1)由

平方，得

8nn

，所以

8S

n

n

n

n

，将以上两式相减，可得

n

n

n

，则

n

n

，所以

a

，所以

aa，nn

是首项为1，差为的差数列，从而可得数列

n

式

an

.(2)由题意可得

bn

n22n

，则

n

2n

，3Tn

2

2

3

n2

n

2

n

，将以上两式相减，可得

n

2n2n

.设

Q2nn

，则

3Q3nnnnn

，将以上两式相减，可得

n

n由此可得

n

，则Tn

.24.(2020届浙江省台州五校高三上学期联已知函数

.(Ⅰ)求方程

的实数解；(Ⅱ)如果数列

满足

，(

)存实数

对所有的都成立？证明你的结论．(Ⅲ)在的件下，设数列

的前项和为，明：

．【答案】Ⅰ)

;(Ⅱ)存在

使得

;(Ⅲ)见解析

【解析】(Ⅰ)(Ⅱ)存在证法1：因为因为

使得得

，当

；．时，单调递减，所以．为，所以由且．面用数学归纳法证明．，所以当时结论成立．假设当

时结论成立，即

．由于

为

上的减函数，所以，从而

，因此即

，．综上所述，对一切

，

都成立，即存在

使得

．证法2：，且是以为项，

为公比的等比数.所以易知即存在

.，所以当为数时，，使得.

；当为数时，(Ⅲ)证明：由(2)，们有设，由由于，

，从而.得.

nn因此n，2，3时，

成立，左边不等式均成立．当n>3时，

，因此

．从而解法2:由Ⅱ)知所以

．即，所以，所以

．所以当为数时，即.(其他解法酌情给)

；所以当为数时，25.(2019年9月江省嘉兴市三测)知数列{}(Ⅰ)求数列的通项公式；

{}

的前项和为S，满足

2S(．(Ⅱ)设

b

a

，为列

{b}前项和，求证：

n

154

．【答案】a；(证明见解析【解析】(Ⅰ)当

时

a

．当

n

时，

SnSn

，两式相减得：

ann

．故

为比的等比数列，且

a

，所以

n

n

．(Ⅱ)由得

bn

nn

，由错位相减法n1

23n3313n

(1)123nn31333n

(2)

则11253n1则11253n1两式相减得：

23

Tn

13

13n

n52n3

，15n求得：．n4415所以．n4．年浙江省超级全能生高三第一次联)知等比数列

n

q且a

为，的2等比中项，

a为a，a的差中项2(Ⅰ)求值；(Ⅱ)设

an

5数列项和为，求证：S.n【答案】Ⅰ【解析】

q=

(Ⅱ)详见解析(Ⅰ)由题意得

a，，234a，3324

解得q=2.(Ⅱ)由题知

a2n

n

，则

11b2nn

.当n

时，

15b31

；当n2

时，

1bn

13

13

，故n

112

，5综上所述，.327.(2020届浙江学军中学高三上期中)知正项等差数列

n

S

2a333nn

，其中是数列

n

项和(1)求数列

n

式

n即1nn即1n.3n3(2)令

bn

n

4nn

，证明：

b1

2n2n

.【答案】(1)【解析】

a

；(2)明见解析；(1)因为

Sn1n

时，

S21

a31

；n

时，

S

22

1

32

，联立得：

S1S22

231

解得，以公差2

da1所以

a

；(2)

bn

4n

112nn所以

1n

11111132n2n

122n

.28.(2020届浙江湖州衢丽三地市高三上期)已知数列

n

a1

a

n

n

1n

(n

*

)

.(1)求

a,a3

，并猜想

n

式不证明)；(2)求证

a1

an

*

【答案】(1)

a2

11,;猜想a2n

;(2)证见解析【解析】(1)

a2

1,a2猜想

an

1n

2352n2a2352n2a(2)

a

12nn2

2

2n

所以

a

2

2(2)方法二用数学归纳法证明:(1)当时左

，边2

2

6

，左边边不等式成立；(2)假设(N*)时不等式成立，即a那么当n时只要证明aa2k只要证明2k

2

2k即证

1k

22只要证明

1k2kk

即证

12kkk

，即证

只要证明k2k2k，然成立，所以

n

时不等式也成立.综合(1)(2)可得对一切的*不式均成.*.29.(2020届浙江省金丽衢十二校高三上学期第一次联在数列nN{}(Ⅰ)证明：数列是等比数列；

n

a2，a4

，(Ⅱ)记

bn

，求数列

n

项.

nn【答案】Ⅰ)证明见解析；Ⅱ)Sn

9

n

【解析】(Ⅰ)证明：由a又，

an，得nn

n

.所以数列

1，比4的比数列；(Ⅱ)由知

n

n

，即

4

，所以

bn

n

，Sn

0

n

，①4n

2

n

，②①②，

n

2n

n

43

n

，所以n

n

30.(2020届浙江省五校高三上学期联)数列

n

列数列

n

列若

a

，a5

.(1)若

nnan

，数列

n

项第

项，求

的值(2)设

nnn

，求数列

项和

T

【答案】(1)

k(2)

【解析】(1)设公差为

，公比为

，，则

q11q2d

，所以a

，

bn

；cn

2nn3nn

，cn

2n

2

ncn

n

2

2

n2n2n3nn当n

时，n，于是

；当

时，n于是

n

；综上所述：

23

，于是

，

(2)错位相减求和法

12

，

nn3

31.(浙江省宁波市宁波十校2020高三11联)知等差数列的前和为S，且a+2＝n＝36．(1)求，；(2)若数列}满足b，

bSnn

n

，求证：

111nbb12

()【答案】(1)a﹣1＝nn

(2)证明见解析【解析】(1)设等差数列a}的公差设为d，前项为S，且+2a＝，＝36，n可得a+da+3)＝+8，即a，

bbbb又6+15＝36即2a+5，解得a＝1d＝2，则＝1+2(﹣1)＝2﹣1，＝+n(＝；(2)证明：数列b}满足＝1

bn

S

n，当n＝1时，，可得＝1n≥2时bb﹣1，1相减可得b(b﹣＝1即﹣b，当n≥2时，

1111bbbb1

b+﹣+b﹣+…+﹣1b1

b﹣b+≥﹣1+2n

b

2；1当n＝1时，1＝21不等式成立，1综上可得，

11nbb12

(∈N)．32.(2020届浙江省宁波市镇海中学高三上期已知数列

n

项为

，且满足：a，an

(1)求数列

n

式(2)数列

n

b

，

，求数列

n

．【答案】(1)

；(2)

bn

n

n

.【解析】(1)数列a}的n项和为S，且满足：n

a，a

*

．当n≥2时，＝﹣3，两式相减得a＝﹣2，所以数列{a}是以2为首﹣为公比的等比数列．所以

an

n

．

n2020202020202020n2020202020202020(2)由于

，所以b

，由于

(n

，所以b

，n．所以bnn33.(2020届浙江省宁波市慈溪市高三上期记数列

n

项和为Sn123

ai

，i已知数列

n

aNn

*

,

A0,aii

.i

i(1)若数列

n

列求

2020

ia

i

的值；i(2)证明：

i

iai

.【答案】(1)【解析】

(2)证明见解析(1)设等比数列

n

q易知

0,q所以由aii

得

q2020

，所以

，又由

2020i

ai

得

a

12020设

2020

ia2019i12

2019

2020

2020iqS

2020

iaai3

2020

2021i

2122020i2222n2122020i2222n(1S

2020

1

2020

a2011

2000iia

2011

q2020a11

a故

2020i

iai

2020

(2)证明：设

k{1,2,,2019}

，因为

2020

aik

2020

i所以

kk

ak

所以

ak

2020

1a12kk

2020

1aa2i

12故

2020

iai

aaa13ia2020

2020

a

a

a

a111444即个

2020i

iai

得证34.(2019·9月江省丽水四校高三联)已知数列

0an1

n

Nn

Sn12

n

．

11T1)(1)(1)L112n求证：当nⅠ)

0a

；(Ⅱ)(Ⅲ)

n

；【答案】Ⅰ)证明见解析；Ⅱ)明见解析(Ⅲ)明见解析

【解析】(Ⅰ)证明：因为

2a2(1)n2a2nnnn(1)-(2)

2所以(1)-(2)可得

a与a

同号，即与

a1

一致.因为

2

，且

a01

，a

n

nQa

2n

n

a

n

2n

2n

n

0

即

n根据①和②，可知

ann

对任何*都成立．(Ⅱ)证明：由

k

，

2)，得

)31

．因为

，以S1

．Q

n

，所以

Sn

．(Ⅲ)证明：由

2≥2k

，得

≤(k，≥3)所以

n(3)(1)L(1)2na2

，于是

a≤n(1)(1)L(1)2n(a2

1n(≥)2n2

，故当时Tn

122n

，又因为

T2

，

nn