浙教版八年级数学上册一次函数综合讲义

C一函综讲C关于基概念和性质知识点1、变量：在一个变化过程中可以不同数值的量。常量：在一个变化过程中只能取同一值的量。例题：在匀速运动公,表示速度表示时间,s表示在时t内所走的路程则变量是________,常量是_______圆的周长公式C=2π中量是________量是________.2、函：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x每一个确定的值y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x为自变量，把y称为因变量，y是x的函数。★★★判断y是否为x的函数，只要看取值确定的时候，y是否有唯一确定的值与之对应例题：、下列说法正确的是）A变量x，y满足y2=x，则y是x的函数B变量x，y满足x+3y=1，则是x的函数44C等式πr3是所含字母r的函数D在V=πr3，是常量r是自变量V是33πr的函数例题：、下列解析式中，不是x的函数的是（）Ay+x=0B|y|=2xCy=2|x|Dy=2x

2

+4例题：、下列各曲线中，能表示y是x的函数的是（）yyOA

xOxOBD函数的示方法列表法一目了然，使用起来便，但列出的对应值是有限的，不易看出自变量与函数之间的对应规律。解析式：简单明了，能够准确地反映整个变化过程中自变量与函数之间的相依关系，但有些实际问题中的函数关系，不能用解析式表示。图象法象直观，但只能近似地表达两个变量之间的函数关系。例题：东方超市鲜鸡蛋每个0.4，那么所付款与买鲜鸡蛋个数x（个）之间的函数关系式是_______________．例题：平行四边形相邻的两边长、y，周长是30，则y与x的函数关系式是__________．自变量值范围：一的，一函数的自变允许取的范围。确定函自变量取值围的方：（1）必须使关系式成立。①当关系式为整式时，自变量取值范围为全体实数；②当关系式含有分式时，自变量取值范围要使分式的分母的值不等于零；③关系式含有二次根式时，自变量取值范围必须使被开方的式子不小于零；④当关系式中含有指数为零或负数的式子时，自变量取值范围要使底数不等于零；（2）当函数关系表示实际问题时，自变量的取值范围还要符合实际情况，使之有意义。（3）当函数关系表示一个图形的变化关系时，自变量的取值范围必须使图形存在。

例题：列函数中，自变量x的取值范围是x≥的是（）A．y=

B．y=

1

C．y=

D．y=·例题：数y=中自变量x的取值范围是__________.例题：知函数y时，取值范围是（）353yB.yC.D.y2222223一次函数概念及定系数数）自变量x和因变量y有如下关系：y=kx+b（k为任意不为零实数，b为任意实数）则此时称y是x的一次函数。特别的，当b=0时，y是x正比例函数。即：y=kx（k为任意不为零实数）定义域：自变量的取值范围，自变量的取值应使函数有意义；要与实际有意义。例题：下列函数中）y=x(2)y=2x-1(3)y=

1x

(4)y=2

-1

-3x(5)y=x

2

-1中，是一次函数的有（）（A）4个（B）3个（C）2个（D）1个用待定系数法确定函数解析式的一般步骤：确定一次函数的表达式已知点A（x，y（x，y确定过点A、B的一次函数的表达式。1122（1）设一次函数的表达式（也叫解析式）为。（2）代入得2个方程y=kx+b……①和y=kx+b……②1122（3）解这个二元一次方程组，得到，b的值。（4）写出这个一次函数的表达式。例题：、若x＝－1，y＝4满足一次函数y＝kx－，则k＝；2、若x＝－3，y＝3满足一次函数y＝x＋3b则b＝．3．如图，线段AB的表达式为＝．4湖州中考）已知yx的一次函数，当x3时，y＝；当x＝－2时，y＝－4，求这个一次函数的表达式．

4一次函数的像（图象与质）一般来说，对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象．描点法函数图形的般步骤第一步：列表（表中给出一些自变量的值及其对应的函数值第二步：描点（在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点第三步：连线（按照横坐标由小到大的顺序把所描出的各点用平滑曲线连接起来一次函y=kx＋图象的画.根据几何知识：经过两点能画出一条直线，并且只能画出一条直线，即两点确定一条直线，所以画一次函数的图象时，只要先描出两点再连成直线即可.一般情况下：是先选取它与两坐标轴的交点，b

k

，0）.b>0b<0b=0经过第一、二、三象限经过第一、三、四象限经过第一、三象限k>0图象从左到右上升，y随x的增大而增大经过第一、二、四象限经过第二、三、四象限经过第二、四象限k<0图象从左到右下降，y随x的增大而减小判断函图象的位置例题：＜0,＞0,则一次函数的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限例题：一次函y=kx+b满足kb>0，且y随x的增大而减小，则此函数的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限一次函性质1在一次函数上的任意一点P（x，y满足等式：y=kx+b(k≠0)。2一次函数与y轴交点的坐标总是（，b)，与x轴总是交于-b/k，0正比例函数的图像总是过原点。3．函数不是数，它是指某一变量过程中两个变量之间的关系。特别地，当b=0时，直线通过原点O（0，0）表示的是正比例函数的图像。这时，当k＞0时，直线只通过一、三象限；当＜0时，直线只通过二、四象限。4、特殊位置关系当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中值（即一次项系数）相等★★★当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中K值互为负倒数（即两个K值的乘积为-1）

正比例数性质解析式：y=kx（k是常数，≠0过点，0）走向：k>0时，图像经过一、三象限；时，•图像经过二、四象限增减性：k>0，y随x的增大而增大；，y随x增大而减小倾斜度：|k|越大，越接近轴；|k|越小，越接近x轴例题：比例函数y(3，当m

时，y随x增大而增大.例题：yx是正比例函数，则b值是（）A.0B.

例题：数y=(k-1)，yx增大而减小，则k范围是()5一次函数的单应用也就是应用的概念图象或性质题确定字系数的取值围例题：知正比例函数，则当时，y随x的增大而减小。比较或值的大小例题：知点Px，yx，y）是一次函数的图象上的两个点，且y>y，则11122212xx大小关系是（）12A.x>xB.x<xC.x=xD.无法确定121212例题：一个弹簧，不挂物体时12cm，挂上物体后会伸长，伸长的长度与所挂物体的质量成正比例挂上3kg物体后总长是簧总长是与所挂物体质量x(kg)之间的函数关系式，如果弹簧最大总长为23cm，求自变量x的取值范围.例题：关于x函数yxm是一次函数，则m=，n

.例题：=ax+by=+图象在同一坐标系内的大致位置正确的是（）例题：将直y＝x向下平移5个单位，到直线；将直线y＝x-5向上平移5个单位，得到直线.例题：直线y和直线y的交点坐标为(,8),则a____________.例题：知函数y＝+1，当自变量增加m，相应的函数值增加（）A．3m+1B．3mC．mD．3m－拓展一：正例函数一次函数图之间的系一次函数y=kx＋b的图象是一条直线，它可以看作是由直线平移|b|个单位长度而得到（当b>0时，向上平移；当b<0时，向下平移）

直线x+b与y=k的位置系1122（1）两直线平行：=k且b（2）两直线相交：k（3）两直线重合：121212k=kb=b1212一元一方程与一次数的关任何一元一次方程到可以转化为ax+b=0（，b为常数a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0时，求相应的自变量的值从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与x轴的交点的横坐标的值考点一变量、常量函数定考点二自变量取值围考点三函数的图像解析式关系：特别注意分段函数的解析式及图像考点四一次函数和比例函的定义考点五待定系数法—求函解析式考点六一次函数图的位置考点七一次函数的减性考点八两直线的位关系考点九用函数的观看方程组、等式

将考点相关习题联起来考点一变量、常量函数定1、下列函数关系式中不是函数关系式的是（）A.2xB.2C.D.y2x2x2、下列各图中，不能表示y是x函数图像的是（）考点二自变量取值围1、函数y的自变量x取值范围是x2、函数x自变量x的取值范围是3、函数量取值范围是4、小强在劳动技术课中要制作一个周长为10cm的等腰三角形．请你写出底边长y（cm）与一腰长x（cm）的函数关系式，并写出自变量的取值范围．考点三函数的图像解析式关系：特别注意分段函数的解析式及图像注意把1）点、点、拐的坐标及实意义（2）条线段射线）的解式、取范围、实际义（3）个解析中K的实际义1如图反映的过程是晓明从家跑步到体育馆那里锻炼了一阵后又走到新华书店去买书，然后散步走回家。其t表示时间（分钟表示晓明离家的距离（千米么晓明在体育馆锻炼和在新华书店买书共用去时间是______________分钟．你还能分析出什么？

2、如图，已知蚂蚁以均匀的速度沿台阶A→B→C→D→E爬行，那么蚂蚁爬行的高h随时间t变化的图像大致是（）

E

hhBCA

A

t

t

t3、如图，平面直角坐标系中，在边长为的正方形ABCD的边上有一动点P沿D运动一周，则P纵坐标y与点P走过的路程s之间的函数关系用图象表示大致是（）y

y

y

第3题图1O24

s

O24s12

O123A.B.C.4、某学校组织团员举行宣传活动，从学校骑车出发，先上坡到达A地后，宣8分钟；然后下坡到B地宣传8分钟返回，行程情况如图．若返回时，上、下坡速度仍保持不变，A地仍要宣传8分钟，那么他们从B地返回学校用的时间是（）A.45.2分钟B.48分钟C.46分钟D.33分钟5、小强骑自行车去郊游，右图表示他离家的距离（千米）与所用的时间（小时）之间关系的函数图象，小强9点离开家，点回家，根据这个图象，请你回答下列问题：（1）小强到离家最远的地方需要几小时？此时离家多远？（2）若第一次只休息半小时，则第一次休息前的平均速度是多少？(3）返回时平均速度是多少？

6如图表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程随时间变化的图象（分别是正比例函数图象和一次函数图象）根据图象解答下列问题：（1）请分别求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式（写出自变量的取值范围（2）轮船和快艇的行驶速度分别是多少？（3）问快艇出发多长时间赶上轮船？考点四一次函数和比例函的定义1、函数y是一次函数，则k值为_______________2、函数是ym

2

)x

正比例函数，则m值为_______________3、函数是yk22正比例函数，则k值为_______________考点五待定系数法—求函解析式1、已知一次函数的图象过3，-3点，并且与直y4相交于x轴上一点，求此一函数的解析式。2.声音在空气中传播的速度y（m/s）是气温（℃）的一次函数，下表列出了一组不同气温的音速：气温（℃）音速y

0331

5334

10337

15340

20343（m/s）（1）请求x间的函数关系式；（2）当气温x23℃时，某人看到烟花燃放2s才听到声响，那么此人与烟花燃放地约相距多远？(光的传播时间忽略不计)3、如图，一次函数图象经过点且与正比例函数图象交于点B，则该一次函数

的表达式为（）A．

B．

C．y

D．y

yA

B

x4、已知一个正比例函数与一个一次函数交与点（-2,次函数与x轴、y轴交与A、B两点，且B（0，6）（1）求两个函数的解析式（2）求△AOP的面积

BAOX5、已知直线AB：yxx轴、y轴分别交与点A、B，y轴上点C坐标为（0，10）且△COM≌△AOB，求直线的解析式CBNOMAX考点六一次函数图的位置1、若一次函数y图象经过第一象限，且与y轴负半轴相交，那（）A

Bk

C．k

D2.一次函数ykx与y图象如图，则下列结论；③当x时，2y中，正确的个数是（）

yO3

y2xykx1

OMAXA．0B．1C．2D．3[来源OMAX3、若一次函数y图象不经过第一象限，则K_______b_______考点七一次函数的减性1、在函数y＝（k＜）的图象上有（1，（－1，（－2，）三个点，则下列1各式中正确（）A、y＜y＜yB、y＜y＜yC、y＜y＜yD、y＜y＜y123132321232、若一次函数ykx,值的范围为y则此一次函数的解析式为3、一次函数（2a-3）x+a+2的函数在-2≤≤1的一段都在x的上方，求的取值范围．4、已知一次函数y，y随x的增大而减小，则它的大致图像为（）x

yyox

ABCD考点八两直线的位关系（1）相交：两直线相交，则可将解析式联立形成方程组，方程组的解就是______________（2）平行：两直线平行，则值_____________特殊的垂直两直垂直，之积_____________1、已知直线AB：yxx轴、y轴分别交与点A、B，y轴上点C坐标为（0，10）且△COM≌△AOB，求点N坐标

CBN72、已知直线yx与线x相交于第四象限，求k的取值范围。

43、如图，直线y－+4与y轴交于点，与直线y＝x+交于点，且45直线y＝x+与x轴交于点C，则△的面积为．AC

y

BO

x4、将直线下平移m个单位得到的直线是（）A.yxB.

y

C.yx)

D.y)5、已知直lyk经过点（1，6）和1，它和x轴、y轴分别交于B和A；直111l:yx经过点（，－4）和（0，－3它和x轴、y轴的交点分别是D和C。21（1）求直ll的解析式；12（2）求四边形ABCD的面积；（3）设直ll交于点，求△PBC面积。[来12科网

源:学考点九用函数的观看方程组、等式（1）一元一次程与一函数的关系任何一元一次方程都可以转化为ax+b=0（ab为常数a≠0）的形式，所以解一元一次方程可以转化为：当某个一次函数的值为0，求相应的自变量的值.从图象上看，相当于已知直线y=ax+b确定它与轴的交点的横坐标的值.

（2）一次函数一元一不等式的关任何一个一元一次不等式都可以转化为ax+b>0ax+b<0（a，b为常数a≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数值大（小）于时，求自变量的取值范围（3）一次函数二元一方程组①二元一次方程组

xy11axy

的解可以看作是两个一次数y=11

和y=22

的图象交点1、如图，一次函数

ax

的图象经过A、B两点，则关于x不等式

ax

的解是

ll-1Ox第1题第2、直l直l:y在同一平面角坐标中图像的位置如图所示，则关于x1的不等kk的解集为2拓展一、倾斜度—K作用

|k|越大，图象越接近于y；|k|越小，图象越接近于x轴.1、结合图像，试说明三条直线值之间的大小关系________________

综合练1.如图,直线y=2x+4与x轴分别交于点C点坐标为(4,0),点B作BD⊥AC于D,BD交OA于点H.(1)请求直线BD的解析式；(2)有两个动点和Q分别从点C和点O同时沿x正方向匀速运动,速度分别为2单位每

秒和单位每秒,设△PQD面积为，点P、点的运动时间为t,请求St之间的函数关系式.（请直接写出相应的自变量t的取值范围(3)请问t为何值时，△PQD面积是△BCD的面积的.yyAAD

DHHCOBxCOBx2、已知直：xx轴、y轴分别交与点A、B，y轴上点坐标为（0，）（1）求A、点坐标（2）动MA点出发，以每秒单位长度的速度，沿x轴向左运动，连接CM.设点M的运动时间为t，△COM的面积为St的函数关系式（并标出自变量的取值范围）（3）直线AB与直线交于点；点P为y轴上一点，且始终保持短，当t何值时，△≌△，并求出此时点的坐标YYNNMAXMX3、现从A，B甲、乙两地运送蔬菜，A，个蔬菜市场各有蔬菜，其中甲地需要蔬菜吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50/吨，到乙地30/吨；从B到甲运费60元/吨，到乙地45元吨．（1）设A到甲地运送蔬菜吨，请完成下表：运往甲地(单位：

运往乙地(单位：

23吨)23

吨)AB

x（2）设总运费为W，请写出Wx的函数关系式．（3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？巩固练习一、选择题1．下列说中正确的是()A．一次数是正比例函数B．比例函数包括一次函数C．一次函数不包括正比例函数D．正比例函数是一次函数2．下列函中是正比例函数的是()A．矩形面积固定，长和宽的关系系

B．正方形的面积和边长的关C．三角形的面积一定，底边和底边上的高之间的关系D．匀速运动中，速度固定时，路程和时间的关系3．已知yx成正比例，如果，y=1，那么x=3时，y为()A．

32

B．2．3D．04．当x=3时，函数与数值相等，则的值是

()A．1B．23

D．5．下列函：①y=8x；②y=-；③；④y=-2x+1．其中是一次函数的个数为8

()A．0B．12

D．6．在一次数，当x=3时，，则k的值为

()A．B．1．5

D．7．过点（，）的正比例函数解析式是

()A．y=x3C．

B．y=D．x2

68．已知关x的一次函数的图象经过第二、三、四象限，则有A．m0，n＞0Bm＜0，n＞0C．m0，n＜0．m0，n＜09．如图所，档可能是一次函数y=px-(p-3)图象的是()

()

11二、填空题10．对于函数，当m=__________时，它是正比例函数；当时，它是一次函数．．已知y与x成正比例函数，x=时，，则此函数的解析式为，当4时，．

1212．若函数y=x+a-1正比例函数，则．13．一次函数y=-3x-5的图象与正比例函数__________的图象平行，且与y轴交于点__________．14一次函数y=px+m的图象过一次函数解析式为_________．15．已知m，4）在直线上，则直线经过第_____________象限．16．一次函数，请你补充一个条件___________，使y随x的增大而减小．17．如果直线y=mx+n经过第一、二、三象限，那么“＞”或“=18．一次函数y=ax-b图象不经过第二象限，则，b__________．三、解答案19．已知一次函数-75．问：m为何值时，它的图象经过原点？20．已知一次函数y=mx+n的图象如图14-2-2示．求，的值；在直角坐标系内画出函数的图象．3、某报亭从报社买进某种日报的价格是每0.30元，卖出的价格是每0.50元，卖不出的报纸可以按每份0.10元的价格退还给报社。经验表明，在一个月（30天）里，有20天只能卖出150份报纸，其余10每天可以卖出200份。设每天从报社买进报纸的份数必须相同，那么这个报亭每天买进多少份报纸才能使每月所获利润最大？最大利润是多少？4、A，B两城相距600千米，甲、乙两车同时从城出驶向B城，甲车到达后立即返

回．如图是它们离A的距离y（千米）与行驶时间x（小时）之间的函数图象．（1）求甲车行驶过程中y与x间的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）当它们行驶7了小时时，两车相遇，求乙车速度．

y千米CEFO

Dx/小时5有甲乙两个均装有进水管和出水管的容器，初始时，两容器同时开进水管，甲容器到8分钟时，关闭进水管打开出水管；到16分钟时，又打开了进水管，此时既进水又出水，到28分钟时，同时关闭两容器的进水管。两容器每分钟进水量与出水量均为常数，容器的水量y(升)与时间(分)之间的函数关系如图所示，解答下列问题：（1）甲容器的进水管每分钟进水______升，出水管每分钟出水_____升.（2)求乙容器内的水量y与时间的函数关系式.（3）求从初始时刻到两容器最后一次水量相等时所需的时间.y(升）

28

提

高

练

习一、选题：

1．已知y与x+3成正比例，并且时，y=8，那么y与x之间的函数关系式为（）（A）y=8x（B）y=2x+6（C）y=8x+6（D）y=5x+32．若函数y=（m-5）x+4m+1）x

2

（m为常数）中的y与x成正比例，则m的值为（）（A）m>-（B）m>5（C）m=-（D）m=53．直线y=-2x+4与两坐标轴围成的三角形的面积是（）（A）4（B）6（C）8（D）164．若直线y=3x-1与y=x-k交点在第四象限，则k的取值范围是（11（A）k<（B）<k<1（C）k>1（D）k>1或k<335．无论m为何实数，直线与y=-x+4的交点不可能在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限4若甲乙两弹簧的长度cm所挂物体质量kg之间的函数解析式分别为y=kx+a1和y=k，如图，所挂物体质量均为2kg时，甲弹簧长为y乙弹簧长为y，则y与22y的大小关系为（）2（A）y>y（）=y12（C）y<y（D）不能确定15设b>a将一次函数与y=ax+b的图象画在同一平面直角坐标系内•则有一a，b的取值，使得下列4个图中的一个为正确的是（）6．若直线y=kx+b经过一、二、四象限，则直线不经过第（）象限．（A）一（B）二（C）三（D）四7．一次函数y=kx+2经过点（，1那么这个一次函数（）（A）y随x的增大而增大（B）y随x的增大而减小（C）图像经过原点（D）图像不经过第二象限8．无论m为何实数，直线与y=-x+4的交点不可能在（）（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限9．要得到y=-

x-4的图像，可把直线y=-x（

（A）向左平移4个单位（B）向右平移4个单位（C）向上平移4个单位（D）向下平移4个单位10过点-1直线它与两坐标轴围成的三角形面积为这样的直线可以（）（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条★★当-1≤x≤2时，函数满足y<10，则常数a的取值范围是（）（A）-4<a<0（B）0<a<2（C）-4<a<2且a≠0（D）-4<a<2★★在直角坐标系中，已知A（，1x上确定点P，使△等腰三角形，则符合条件的点P共有（）（A）1个（B）2个（C）3个（D）4个★★一次函数y=ax+b（为整数）的图象过点9819x轴于p，0y轴于•0，qp为质数，q为正整数，那么满足条件的一次函数的个数为（）（A）0（B）1（C）2（D）无数★★在直角坐标系中纵坐标都是整数的点称为整点k为整数线y=x-3与的交点为整点时，k的值可以取（）（A）2个（B）4个（C）6个（D）8个★★甲、乙二人在如图所示的斜AB上作往返跑训练．已知：甲上山的速度a米/分，下山的速度是b米/分a<b上山的速度是a/分，下山的速度是2b米/分．如果甲、乙二人同时从点A出发，时间为（分离开点A的路程为（米那么下面图象中，大致表示甲、乙二人从点A出后的时间（分）