浙教版九年级上册相似三角形章节知识点及典型例题同程教育

WORD完整---可辑---教资料享浙版年上数《似角》识与典型知框比例

四个数成比例两条线段的比数的比例中项

比例的基本性质成比例线段线段的比例中项

应用：求图上距离或实际距离黄金分割点金割比以及尺作图找出分割点概念：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形对应角相等，对应边成比例性质

周长比等于，面积比等于相似三角形

应用平行：判定

两角：两边一夹角：三边：相似多边形图形的位似

概念：对应角相等，对应边成比例的两个多边形，叫做相似多边形性质：周长比等于，积比等于位似图形的概念：一般地，两个相似的图形，如果它们每组对应点所在的直线都而且两个对应点到这个点的距离之比都彼此相等么们就说它们是位似图形，这个点叫做位似中心。位似多边形的性质：两个位似多边形的位似比等于它们的相似比。把一个图形按一定的位似比改变成它的位似图形，也叫做位似变换。任何一个平面图形及该平面上一点，都以该为位中心，作出两个符合要求的图形均与原图形位似，且这两个符合要求的图形关于位似中心对称以坐标原点为位似中心的位似变换有如下性质：若原图形上点的坐标为与原图形的位似比为k，则像上的应点的坐标为kx，ky或（-kx，-ky）温提：等三角形是相似比的相似三角形．知拓一：两直角三角形的斜边和一直角边对应成比例，则这两直角三角形相似。完整版学习资料分享----

WORD完整---可辑---教资料享重知点方黄分把段AB

分成两条线段AC,BC(BC

且

是

AB和B

的比例中项，即AC2

，叫做把线段AB

黄金分割，点

C

叫做线段AB

的黄金分割点，其中AC

52

≈AB

．即

BCAB

简记为：

长短5＝＝全长注黄三形顶是

0

的腰角或角的等三形黄矩：与长比于金的形、似角的念对应角相等，对应边成比例的三角形，叫做相似三角形。相似用符号“∽”表示，读作“相似于三角形对应边的比叫相似(或相似系似三角形对应角相等应成比例注对性：即两个三角形相似时，一定要把表示对应顶点的字母写在对应位置上，这样写比较容易找到相似三角形的对应角和对应边b等三角形是相似比为1的似三角形。二者的区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例c传性：若

ABC

∽

B'C

，且

'C

∽

，则

ABC

∽

用数学语言表述是：DE，∴ADE∽．、三形似判方1、定义法：三个对应角相等，三条对应边成比例的两个三角形相似．2、平行法：平行于三角形一边的直线和其它两或两边的延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似．3、判定定理：如果一个三角的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似．简述为：两角对应相等，两三角形相似．4、判定定理：如果一个三角的两条边与另一个三角形的两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似．简述为：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似．5、判定定理：如果一个三角的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似．简述为：三边对应成比例，两三角形相似．、几基图的体用（1）若∥BC型X型）△ADE△ABC（2）射影定理若CD为Rt△ABC斜上的高（双直角图形）则eq\o\ac(△,Rt)ABC∽Rt△ACD△CBD且AC，CD，BC=BD·AB；A

CD

E

B

C

ADB（3）满足、AC=AD·AB，2、∠ACD=∠B、，可判定△ADC∽eq\o\ac(△,．)ACB（4）当

ADAEAC

或AD·AB=AC·AE时eq\o\ac(△,∽)ADEeq\o\ac(△,．)ACBAADDB

EBC、相三形性(1)相似三角形对应角相等，对边成比例．完整版学习资料分享----

WORD完整---可辑---教资料享(2)相似三角形对应高的比，对中线的比和对应角平分线的比都等于相似比．(3)相似三角形周长的比等于相比．(4)相似三角形面积的比等于相比的平方．注：相似三角形性质可用来证明线段成比例、角相等，也可用来计算周长、边长等．、相三形有证解题律辅线法、证四线成例常方：(1)线段成比例的定义(2)三角形相似的预备定理(3)利用相似三角形的性质(4)利用中间比等量代换(5)利用面积关系、证题用法纳(1)总体思路:“等积”变“比例找“相似”(2)找相似：通过“横找”“竖”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明两个三角形相似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结.(3)找中间比：若没有三角形(即向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直线)，则需进行“转移“替换，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比代换、等积代.即：找相似找不到，找中间比。方法：将等式左右两边的比表示出来。mcmm①(为间比)

a②nbn'

③

acm'm'(m或)bndn(4)添辅助线：若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助(通常是添加平行线构比例，以上步骤可以不断的重复使用，直到被证结论证出为注：添加辅助平行线是获得成比例线段和相似三角形的重要途径。平面直角坐标系中通常是作垂线（即得平行线）构造相似三角形或比例线段。（5）比例问题：常用处理方法将“一份”看着k对于等比问题，常用处理办法是设“公比”为k。（6）对于复杂的几何图形，通采用将部分需要的图形（或基本图形出来的办法处理画似图的般骤（1）确位似中心（位似中心以是平面中任意一点）（2）分连接原图形中的关键和位似中心，并延长（或截取.（3）根已知的位似比，确定画位似图形中关键点的位（4）顺连结上述得到的关键，即可得到一个放大或缩小的图.①③④⑤注：①位似中心可以是平面内任意一点，该点可在图形内，或在图形外，或在图形上（图形边上或顶点上）。②外位似：位似中心在连接两个对应点的线段之外，称为“外位似”（即同向位似图形）③内位似：位似中心在连接两个对应点的线段上，称为“内位似”（即反向位似图形）（5）在平面直角坐标系中，如位似变换是以原O为位似中心，相似比（k>0原形上点的坐标（x,y那同向位似图形对应点的坐标(kx,ky),反向似图形对应点的坐标为(-kx,-ky),完整版学习资料分享----

WORD完整---可辑---教资料享考一比例的变形及求值考二黄金分割的应用考三相似三角形中的线段、面积问题考四相似三角形中的定值问题考五相似在实际生活中的应用考六巧证比例线段考七添加辅助线构造相似三角形求线段长度、证明考八在平面直角坐标系中的位似变换及位似作图考九相似三角形的综合题考点题型析考一比例的变形及求值1、若

357=，则的为（）完整版学习资料分享----

WORD完整---可辑---教资料享、已知

bc

，且，则考二黄金分割的应用、如图所示，乐器上的一根弦AB=80cm，两个端点AB固在乐器面上，支撑点C是近点B的黄金分割点（即AC是与的例中项撑D是近点A的金分割点（即BD是AB与AD的例中项AC=，CD=（留根号）A

DC

B2、美是一种感觉，当人体下半长与身高的比值越接是一种感觉，当人体下半身长与身高的比值越接近0.618时越给人一种美感，如图，某女士身高165，半身长身高的值是0.60，尽可能达到最好效果她应穿的高跟鞋的高度大约为（）A．4cmB．6cmC．8cm．10cm考三相似三角形中的线段、面积问题1、如图E为行四边形ABCD边DC延线上的一点，且CE＝DC，连接AE分交、BD于F．若BD＝12cm，DG的2、如图所示，△ABC是等边三形，被一有两边平行于BC的矩形所截，被成三部分，则图中的阴影部分的面积是△ABC的面积的（）A．

B．C．D．第2题

第3题3、如图为与△DEC重叠的形，其中E在BC，AC交DE于F点，∥DE．eq\o\ac(△,若)与△DEC的积相等，且EF=9，AB=12，DF=、已知：如图，在△ABC与CAD中，∥BC，与相于点，且AEEB=1，∥交AC于F点△的积为，eq\o\ac(△,求)BCE和的积完整版学习资料分享----

11213131123213431121313112321343235、如图，在eq\o\ac(△,Rt)ABC内有长别为、b、c三个正方形，则a、b、c满足的关系式是（）A.b=a+cB.b=ac=a+cD.b=2a=2c6、如图所示，在eq\o\ac(△,Rt)中AB⊥AC，AB=3，PBC边上一点，作AB于，PD⊥AC于D，设BP=x，（）A.

x+3B.4-C.

D.

x12525

7、在正方形ABCD中过点D作交AC于，交AB点，交CB的长线于点P。若，APN=3，求DM的长。NPB8、如图，M是△ABC内点，过M别作直线平行eq\o\ac(△,于)的各边，所形成的三个小三角形的面积分别是4，9，49，则△ABC面积是

M

DC第

第10题年温如直线m上故着三个正三角形eq\o\ac(△,:)ABCeq\o\ac(△,、)eq\o\ac(△,、)DCE,知BC=

12

，FG分是CE的点FMAC∥设中三个平行四边形的面积次是S,若S=10则S（2008年州如图，点A，A，AA在线OA上点B，BB在射线OB上且A∥ABA，AB∥ABAB若eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BB，eq\o\ac(△,A)eq\o\ac(△,)BB的积分别为，4则图中三个阴影三角形面积之和为．（2009温）张等腰三角形纸片，底边长15cm，边上的高长．沿底边依次从下往上裁剪宽度均为3cm的形纸条，如图所示．已知剪得的纸条中有一张是正方形，则这张正方形纸条是第张完整版学习资料分享----

WORD完整---可辑---教资料享

y第题第题12、如图，在正方形ABCD中，点是BC边一点，且BE，AE与BD交点F，则△与边的面积之比是

CE

P

M考四相似三角形中的定值问题1、如图所示，已知矩形ABCD中，角线AC、BD于点，点P是AD的

OB

x中点，⊥AC于E⊥BD于F，AB=3，BC=4）PE+PF的）当点P在上移时与AD的中点重合PE+PF值是否会变化？若不变化，请加以证明；若变化，请说明理由。

FC、如图，已知平面直角坐标系中，直线y交x轴点B，y轴点。M为一象限内一点，且MC垂于，OM，作⊥OM于P连BP，过作EP⊥BPy轴点E，问：当点运动，的是发生变化，若不变求出值；若变化求出变化范围。考五相似在实际生活中的应用1、一个铝质三角形框架三条边分别为24、30、36，要做一个与它相似的铝质三角形框架，现有长为27cm、45的两根铝材，要求以其中的一根为一，从另一根上截下两段（允许有余料）作为另外两边，截法有（）A.0种B.1种C.2种D.种2如所示已零件的外径为a要求出它的厚度x需先求出内径但不能直接量出AB现有一个交叉卡（两条直尺长A＝BD去量，若

OCOD1OAOBn

，且量得CD＝b，求厚度x．完整版学习资料分享----

WORD完整---可辑---教资料享3某活小区的居民筹集资金1600元计划在一块上底为10m20m的形空地上种植花木（如图1（）们在AMDBMC地带上种植太阳花单价为8/m2，AMD地带种满花后（图1中影部分花160元，请计算种满BMC地带所需的费用；（）其余地带要种的有玫瑰和茉莉花两种花木可供选择，单价分别为12元/2和10元/，应选择哪种花木，刚好用完所筹集的资金；（3）若梯形为腰梯形，面积不变（如图2你计一种花坛图案，即在梯形内找到一点P，使得△APB≌△DPC且，说出你的理由．eq\o\ac(△,S)考六巧证比例线段1、如图所示，∠B=∠C，证

ABBDAC

）×CF=CD×BF

2、如图所示，在中，，∠B=∠E，求证：AB=AD×AE

3、如图所示，点E是行四边ABCD的一边DA延长线上的一点CE交BD于F，交AB于点G。求证：=EF×GFE

ADGFBC完整版学习资料分享----

WORD完整---可辑---教资料享4、如图，在O的接ABC中，，D是上一点，AD的延长线交BC的长线于点P，（1）求证：=AD×AP（2若O的径为，AB=20求和的5、如图，在△ABC的外接圆O中，是BC的点，AD交BC于，连接BD（1）列出图中所有相似三角形（2接DC在

上任取一点点A除CK交BC于点是否成立？若成立，给出证明；若不成立，举例说明。6）图1，在△中，点D、Q别在、BC上，且DE//边长，AQ交DE于点P,求证：

DPPE=BQQCAD

E

Q图

C(2)如图，△ABC中，∠BAC=90°正方形DEFG四个顶点在ABC的上，连接AG,AF分别DE于M,N两。①如图2，若，直接写出MN的；②如图3，求证：MN2=DM·EN完整版学习资料分享----

A

WORD完整---可辑---教资料享AD

M

E

D

M

N

EGBF图2

GBFC3考七添加辅助线构造相似三角形求线段长度、证明1、如图，ABC中D是AB上点EAC上的，延长ED与射线CB交于点F．若AE∶EC=1∶2，AD∶BD=3．：FB∶FC的值EDFB、如图所示，点M、分在△ABC的AB、AC，且BM=CN，MN、BC的长线交于点，求证：ACNP=AB×AM

NBCP3、如图所示，在等边三角形ABC中，BC任意一点，线段AP垂平分线分别交AB、AC于点M、N，求证：完整版学习资料分享----

11WORD完整---可辑---教资料享11AMB考八在平面直角坐标系中的位似变换及位似作图、如图，矩形OABC的点是标原点，边在x轴，边OC在轴．矩形OAC与矩形关点位且形B的面积等于矩形OABC面的则点的标是114

y

C

B（）A3，2

B．(－，－)

C．(23)或(－，－)

D．(3，2)或－，－2

O

A、如图，正方形ABCD和正方形OEFG中点A点的标分别为(3,2)(－－1)，则两个正方形的位似中心的坐标_________．3、如图所示，已知等边三角形ABC求作等边三角形DEF使它的三个顶点分别在三角形ABC的边上，且EF∥BCC考九相似三角形的综合题、如图ABCD，∠A=90°，AD=5，是上一动点(不与AD重合，PE⊥，为垂足，PE交DC于点，(1)设，DE=y求y与x间的函数关系式，并指出x的值范围；(2)请你探索在点运的过程中，四边形ABED否构成矩形？如果能，求出AP长；如果不能，请说明理由完整版学习资料分享----

WORD完整---可辑---教资料享、如图，在ABC中，边的高AD