数学分析简明教程答案09再论实数系

第九章再论实数 实数连续性的等价描述求数列{xn的上、下确界（若{xn无上（下确界，则称()是{xn的上（下确界1（1）xn1n（2）xnn[2(2)]n1（3）x2kk,x2k11 (k1,2,3)（4）xn[1(1)nn（5）xn12n(1)n

n；n；（6）xn

nn

．3解（1）sup{xn1inf{xn0（2）sup{xn},inf{xn}（3）sup{xn},inf{xn}1sup{xn}3,inf{xn}0sup{xn} 5,inf{xn}1sup{xn}1,inf{xn}2f(xDsup{f(x)}inf{f inf{f(x)}sup{f 证明(1)设inff(xa，则xDf(x)a，因而f(x)a0，都xDf(xa，因而f(xasup{f(x)}inf{f (2)设sup{f(xb，则xDf(x)b，从而f(x)b，又由于都xDf(xb，从而f(xbinf{f(x)}sup{f 3supEEE中可选取数列{xnxnlimxEnsupEE(1)xEx(2)0xEx对1x1E1x1 对2

x1}，x2E2

x2x2x1x1对

x2x3x2x2 …如此继续下去，得数列{xnxn互不相同，并且limxnEE1，则supE1x互不相同的数列{xn 使limx1n证明(1)由于收敛数列是非空有界数列，且既有上界又有下界，因而有确界定理知其设limxn，则NnNxn0，因而min{x1x2xN,0}{xn}的下界，由确界原理知数列{xn}存在下确界设limxn，则NnNxn0，因而max{x1x2xN,0}n{xn}的上界，由确界定理知数列{xn}存在上确界解（1）有上确界无下确界的数列，如{xnn有上确界sup{xn1

nn1(1)n既含有上确界又含有下确界的数列，如{xn}

n2k1,kZx

n2k,kZ 实数闭区间的 若{xn存在子列{xn}是常数列，则{xn}是{xn 若{xn不存在是常数列的子列，下证{xn有收敛子列，为此设X

{xn|n反设{xn}没有收敛的子数列，则x[a,b]都不是{xn}的任一子数列的x[ab]IxuxvxxIxIxX是有限集（的任一开区间(ux,vx)都有X的无穷项，则x是{xn}的某一子列的极限此所m

[a,b]Ix [a,b]X(Ix)X(IxX)(IxX)(IxX)(IxX) 注意到上式右端每一项都是有限集，故[a,b]X为有限集，综合（1（2）{xn}必有一收敛的子数列有收敛子数列{xn}，设limxnc，则由{xn单调递增知c必为数列{xn k n据数列极限的定义知0,K,当kK时，有 c，nkc

cn cnKNnk1nNnk1时，由数列{xn单调递增且cc xccnK xc，从而limxc n同理可证{xn}单调递减有下界时必有极限，因而单调有界原理成立证明bRax1x2xnb，下证数列{xnbaabb，二等分区间[aba1b1a1b1仍为{x 则令aa,ba1b1；若a1b1不是{x}的上界，即存在m，使 a1b1， aa1b1bb[aba2b2a2b2为{x a,ba2b2；若a2b2不是{x a2b2,bb 依此类推得一闭区间套[anbn]，每一个区间的右端点都是{xn}的上界，由闭区间套定理知存在唯一的cR，使得c属于所有闭区间，下证数列{xn的极限为c．b由于lim(bnan)lim 0，故根据数列极限的定义，0，存在N， nN时，都有bnan2，而c[anbn][an,bn](c,c) 另一方面，由闭区间套的构造知KanxKbn，故对nKxnxK，anxKxnbn（*）知cxncxnc，从而limxnc 1n分析（1）若将闭区间列改为开区间列，结果不真．如开区间列 满足n lim100且010,1010,1rr n

2 n若将定理其它条件不变，去掉条件[a1b1[a2b2，则定理仍不成立， n

1 若去掉定理条件bnan0，则定理仍不成立，如闭区间序列1 ,3

a（a为有限数kmkkmkk证明由于{xn ，故kN，都存在xn，使得kk

k，因而limnk n

又由于{xn不是无穷大量，根据无穷大量否定的正面陈述知M0，对K0m mkK，使得|xm|M0.从而对于K0，数列{xm}为有界数列，从而必有收敛子列{x m k

a, b(ab)kmkkmk证明由于{xn}为有界数列，由性定理知数列{xn}必有收敛的子列{xn}，不妨kk nk a(k，又因为数列{xna，故从{xn中去掉{xnk nk无穷多项(否则数列{xna)．记其为数列{xn}，又因为{xn}为有界数列，故有收敛子列，设此子列的极限为bab，而此子列也是{xn的子列，故设其为{xmkm而limkmk

b(ab)k求证：数列{an}有界的充要条件是，{an}的任何子数列{an}都有收敛的子数列．证明必要性：由性定理知结论成立．kk充分性：反设数列{an} 子列 ；若{an}不是无穷大量，则由第5题知{an}有一子列{an}是无穷大量，从kkkf(x在[abf(x在[ab对t[ab]f(x在t处的极限存在，故设limf(xA，则对10存在t0x，当0|xt|t时，有f(xA1，从而f(x)|A|1 Mmaxf(t),|A|1xtttt)

f(x)Mf(x)在区间n对所有t[ab，在1下所取的t为半径的开区间(tt,tt|t[ab]构成闭区间[ab]上的一个开覆盖，由有限覆盖定理知，存在t1t2tn[a,b]，使得n[a,b](tit,tit) 在[ab上有界9．设f(x)在[a,b]，求证：存在c[a,b]，对任意0，函数f(x)(c,c)[a,b]上n反设结论不真，即c[ab，c0f(x在(cccc[ab上有界，则对所c(cccc)|c[ab]构成区间[ab的一个开覆盖，由有限覆n盖定理知其有有限子覆盖，即c1c2cn[ab]，使[ab(ciccic 于函数在每一个(ciccic[abnf(x在[ab f(x是(ab

f(x),

f(xf(x在(ab上有上界，故M0，对xab),f(x)M

f(x(abx0g(x)

f(x)f(x0，x则由f(x)是(a,b)上的凸函数知g(x)在(x0,b)上递增，在(x0,b)中任取一点x1，区间(x1b)x(x1b)，由于g(x)f(x)f(x0)Mf(x0)x x1g(x)在(x1bg(x)在(x1b上单调递增且有上界，由定理3．12limg(xlimg(x)A

lim

)

f(x)f(x0)f

)A(b

)f(x

lim xb

x

0 0

f(x

f(xf(x是(abg(x在(ax0在(a,x0)中任取一点x2 区间(a,x2)，x(a,x2)，由g(x)f(x)f(x0)f(x0)f(x)f(x0)Mx

x0

x0g(x在(ax2g(x在(ax23．12的推limg(x存在，设limg(x)B，则lim

)

f(x)f(x0)f

)(a

)Bf(x

lim xa

x

0 0

f(xf(x在[ab(x)f(x0)f(x0)求证：任意0,(xx,00，在[ab上使(x,记[abab，二等分区间[a,b，则在a

a1b1

a1b1b 1个区间含有无限多个x使(x)0，记此区间为[a2b2，再二等分区间[a2b2a,a2b2,a2b2,

x使(x 2 [a3b3],，如此继续下去，得闭区间套[anbn]，且每个区间[anbn]中含有无限多个x(x)0f(x在[abr[abf(r0)f(r0)设f(r0)

f(r0)B，则对上述0010xrr1) f(x)A 2f(x)A2，从而 (x0；同理存在20xr2r(x)0．取min1,2，则(rr上满足(x)0r一个NnN时，都有[an,bn](r,r)从而在[an,bn]中最多只能有一个点，使得(x)0，这与区间套的构造 f(x在[0,上连续且有界，对a,f(x)a在[0,

f(xf(x在[0,f(x在[0,v，下界为u，若uv

f(x)uv，结论必然成立，故以下假定uv令[uvuv]，二等分区间[uvu1v1f(xu1v1在 1 f(x连续，因而X

0,xX

f(x)u1v12f(xu1v1f(xu1v1，令[uvu1v1v，若f(xu1v1 2 1 [uv] u1v1，因此xXf(x[uv，即uf(x)v． u1 二等分区间[uv]u2v2f(xu2v2在[0, 或无根且f(x)连续，故 X,xX时，有f(x)u2v2或f(x)u2v2． f(x)u2v2，令[u,v]u2v2,v，反之令[u,v] u2v2，因此 2 u2 xX2f(x[u3v3，即u3f(xv3{[unvn，而且由区间套的构造知，XnXn1xXn时，unf(xvn

f(x)r事实上，对0，由闭区间套{[unvnNnN[un,vn](r,r)f(x[uN1vN1rrrf(xr

f(x)r

f(x)rf(x 实数的完备性设f(x)在(abf(x)在(ab

f(x

f(x证明f(x在(ab一致连续知，0,0，xxab且|xx|时，都有f(xf(x)xxaa)xxf(xf(x)Cauchy

f(x

f(x证法 0，由

f(x)存在知1，xxaa1)f(x)f(x

，又由于

f(x)也存在，故2xxb2b)时，f(x)f(x)取min12baf(x在(aabb 续，而又因为f(x)在[a,b上连续，因而一致连续，因此f(x)在(aa[ab、[bbf(x在(ab

f(x

f(x)

f(x)A,

f(x)BA xa;F(x)f(x) B xBF(x在[abF(x在(abF(x在(ab上就是f(x)，因而f(x)在(ab)上一致连续．

1nn1取0

0,N0nN，则2nN121

xn

11n11n

111n 111nn

1

1 11 当n时的极限不存在11 n（1）xna0a1qa2q2an (|q|1,|ak|M)

1sin1sin2sinn x111(1)n11

1|q

| MNnmN时（mnxnxmxn1xn2xmxn1xn2xn1xn2xm| ||q|n1| ||q|n2 M|q

|q

n2

|q1|q

1|q

1|q|

220，由lim10NnN1NnmN时（n 1mn1

xn

n

n

n

n

1由于 1n

n

(1)mn1m

xn

n

n

(1)mn11mxn

n

n

(1)mn1m

n n

n

n3 m m xn

n

n

(1)mn1m

1n n

n

n3 m 2先考虑数列{xn的偶子列{x2n} 111 111 2n 2n1111 1 2 4

2n 2n 2n 2n2

11

1

1

2n 2n 故偶子列{x2n}是单调递增的数列，又由 111(1)2n11111 11

3

2n 2n因而偶子列{x2n}是单调上升且有上界的数列，由单调有界原理知{x2n}必有极限存在，lim

a

x2n

且

0

2n

n2n1limx2n1limx2nlim a n2n于是我们证得数列{xn}的奇、偶子列均收敛而且极限相同，故数列{xn}证明：极限limf(x存在的充要条件是：对任意给定00x0xx00xx0时，恒有f(xf(x)证明limf(xA，则0,0,x,0x由0xx00xx0

xx0，就有f(x)A 2f(x)f(x)(f(x)A)(f(x)A)f(x)Af(x)A 设{xn是任意满足limxnx0xnx0的数列，由已知0,00xx00xx0时，有f(xf(x)对上述0，由于limxxn mN时，有0|xmx0|

xnx0，故NnN时，有0|xnx0|f(xnf(xm)，即f(xn)}Cauchy收敛准则知limf(x 反设limxnx0xnx0limxnx0xnx0，但limf(xnlimf(xn

由{yn的构造知limynx0ynx0，但limfynnlimf(y)不存在，n

x证明f(x)在x0点连续的充要条件是 0，存在0，当xx0xx0时，恒有f(xf(x) 证明f(xx0limf(x)x

f(x0，故0,0,x,xx0f(x)f

)x

，x

f(x)f(x)(f(x)f(x0))(f(x)f(x0f(x)f(x0)f(x)f(x0)设{xn是任意满足limxnx0的数列，由已知0,0x

xx0时，就有f(xf(x) n对上述0，由于limxx，故NnNn

|xnx0|mN |xmx0|，于是f(xnf(xm)，即f(xn)}收敛准则知limf(xn存在．由{xnx0的实数列{xn}limf(xn反设limxnx0xnx0limxnx0

x0，但limf(xnlimf(xn

x

f(x)存在．特别地，取{xn为恒为x0的常数列得limf(x)

f(x0limf(x)x

f(x0f(xx0（1）xn

nn

；3n（2）xn12n(1)nnxn n2n)xncosnxntann

3k 3k 3k

3k以得到lim 1．而当n3k1时，

cos2(3k

1 k1

3k

3k

23k而limx3k1k

.{xn}的两个子序列极限不等，故{xn}的极限不存在212k

（2）对{x}的奇子列，由于 2k11 2k 2 k

21klimx2k11；对{xn的偶子列x2k2k122k，而22k122k22k22k故limk

由于limn2nn1，故取1NnN n2nn2

141从 1

n2nn111 1 n 4从 n14

n2nn34n2nn34n为偶数时，由于sin(nsin22

sinn2n1n为奇数时，由于sin(n)sin，从而1

n2n 22因此取0

2 和xn1一个在 内，从而xnxn1 收敛原理的否定形式知数列{xn}极限不存在取0 2sin1，对N， 公理知，存在kN，使2kN14 3 在2k,2k 1，从而存在nN，使 4 n12k,2k3 4n22n22cos(n2)cosn2sinn2n2

2 2sin12

2sin10Cauchy收敛原理的否定形式知数列{xn}{cosn极限不取

30，对N， 3k ,kk ,k62362

1，从而在k

N若在k

,k

2n1k, (k1),(k1) 2 tan(n1)tanntanntan(n1)tanntan6

0 若在kk中有两个大于N的正整数点，则取较大的正整数为n 2n1(k1)k1) 3tan(n1)tanntanntan(n1)tanntan 0 f(x在(a,|f(x|

f(x

limxf(x)0f(xCauchy0,X0xX2x xX

f(x)f ．又因为f(x)在(a,)可导，故f(x)在 ,x上2 Lagrange中值定理条件，因而xxf(xfxf(x 2 2 2f(x)fxxf() 2

f(x)

xf(x)xf(x)xf()xf()2f(x)fx22 2 limxf(x)0设f(x)在(,)可导，且f(x)k1，x0，xn1f(xn n求证：(1)limxn(2)xf(x证明（1）0N

x1

lnknmNnm|xmxn|f(x在(,Lagrangexn1xnf(xn)f(xn1)f()(xnxn1)kxnxn1 xnxn1kxn1xn2,xn1xnknxx01xmxnxmxm1xm1xn1xnxmxm1xn1111km1xx (km1kn1kn)x k1 (knkn1)x x1k1 nN

x1(1x1

lnkk1nlnk

(1kx1x1k1xmk1

x1

nCauchylimxn（2）f(x在(,xn1f(xnnlimxnflimxnlimxnxf(x ab(abaf(abf(babf(a)f(b)f()abkabab f(x在[ab（1）f(x)f(y)kxy,x,y[a,b],0k1（2）f(x的值域包含在[abnlimxn

f(xnn0,1,2,xf(x的解在[ab(1k证明（1）0N

|x1x0xm

lnknmNnmxn1f(xnx0[abf(x的值域包含在[ab内，因而对nxn[ab]xn1xnf(xn)f(xn1)kxnxn1knxx01xmxnxmxm1xm1xn1xnxmxm1xn1111km1xx (km1kn1kn)x k1 (knkn1)x x1x0k1 Cauchylimxn（2）xf(x在[ab上有两个不同的解cdcdf(c)f(d)kcdcd 再论闭区间上连续函数的性质f(x在[abx0xn[ablimxx

f(xn)f(x0)n x0abx0ax0b对任意0min{x0abx0f(x在[abf(x在[ax0]、[x0x0]、[x0bf(x在[ax0]、[x0x0、[x0b上均有最大值，显然f(x)在[x0x0上的最大值为f(x0f(x在[ax0和[x0bMf(x0)Mf(x02

f

)f

知NnNf(x)f(x0)f(x0)M f

)f

)f(x0)M2

f(x0)2

Mf(x在[ax0和[x0bMxnx0x0|xnx0|limxxn f(x在[abminf(x)pmaxf(x)a af(x)pf(x0f(x)p的根只有有限多个．f(x)p在[ab上有无穷多个根，设[a1b1[ab，二等分区间[a1b1，则f(x)p的无穷多个根，设此区间为[a2b2]，再二等分区间[a2b2]f(xp为[a3b3．依此类推得一区间套{[anbn，由区间套的构造知f(x)p在任意[anbn有无穷多个f(rpg(x)f(xp，g(x也在[abg(r)f(rp0，从而由保号性知xrrg(x)0f(x)p，而由区间套知NnN时[anbnrrf(xp在[anbn．f(rpf(r0，即limf(xf(r)0，从而x，当0|xr| xf(xf(r)0f(xp，从而在(rrf(xrx由区间套知NnN时[anbnrrf(x)p在[anbn只有一个根，f(x)p在[abf(x在[abf(a0,f(b0，求证：存在abf(f(x)0(xbEx|x[abf(x0}f(a0,f(b)0f(x在[abEEEsupEf(0事实上，由于supE，由本章第一节习题3E中选取数列{xnlimxf(xnf()f(limxn)limf(xn)0 又对于xbxEf(x0f(b0f(x)0，因而结论必存在区间[,]，满足f(M,f(mf(m,f()Mmf(xMxc[abf(cM；d[ab]f(dmmM，故cdmin{cd}max{cd}，则在区间[（1）f()M,f()mf()m,f()M（2）对xf(Mf(mf(m,f(MM分别为[abmf(xM5f(x)[0,2a]上连续，且f(0)f(2a)，求证：存在x[0,a]f(x)f(xa)证明g(x)f(xf(xax[0,a若f(0)f(a)，根据已知条件f(0)f(2a)可知，取x0xaf(x)f(xaf(0)f(ag(0)f(0)f(ag(a)f(af(2a)f(af(0)g(0)g(a符号相反，由零点定理知x[0,a]g(x)0f(x)f(xaf(x在[abf(x)f(x不恒为常数，则x1x2[ab]f(x1f(x2f(x)定理知[a,b]，使得f()c，这与f(x)取值为整数．f(x在(ababf(x在[abf(x在[ab上一致连续，故取10，则0x1

f(x1f(x21.取定a1b1aa1a，bb1b，则xaa1，xa1f(xf(a11f(x)f(a11x[b1b)，有xb1f(xf(b11，因而f(x)f(b11f(x在区间(aa1M10，使得x[a1b1f(x)M1M

f(a1)

f(x)Mf(x在(ab若函数f(x)在(a,b)上满足（Lipschitz）条件，即存在常数K，使f(x)f(x)Kxx，x,x(a,b)f(x在(ab证明0,取1

则对xxab),xxLipschitzf(x)f(x

KxxK

f(x在(abf(x在[ac和[cbf(x[a,b]上也一致连证明对0f(x在[ac一致连续知10，对x1x2[acx1x21f(x1f(x2

x1x2[cbx1

2时，就有f(x1)f(x2) 2取min{1,2，则x1x2[abx1x2x1x2同属于[acf(xf(x)xx同属于[cb，也有f(xf(x)xx 个属于[ac，另一个属于[cb]x1

x1c,x2c f(x1)f(x2)f(x1)f(c)

f(c)f(x2)

因而x1x2[abx1x2时，f(x1f(x2) f(x在[ab

f(x

f(x存在．证明：f在(,对0

x1x2X1

f(x)f(x

f(xX20意x1x2X2，就有f(x1f(x2)由于f(x)(,)上连续，故f(x)在区间[X11X21][X11,X21上一致连续，由一致连续的定义知，对上述0，存在10x1x2[X11X21]x2x11，就有f(x1f(x2)取min{1,1}0，则x1x2,

x1

x1x2同属区间(,X1、[X11X21]或X2，由上述讨论知，不管在哪种情况下，都有f(x1f(x2)f(x在(,上一致连续．f(xX（有穷或无穷）中具有有界的导数，即f(x)MxXf(xX对0，取

X，只要|x

中值定理，存在x1,x2之间f(x1)f(x2)|f()(x1x2)|Mx1x2Mf(xX求证：f(x) xlnx在(0,)上一致连续证明由于f(x) xlnx故f(x)1 lnx ，f(x)lnx1 2

ln2

f(x0x1x1f(xx0,1),f(x)0f(x单x1,f(x0f(xx1f(x的极大值点，也是最大值点，而f(1)1，从而对x(0,，f(x)1．f(x)0xe2，在区间[e2f(x)0，因而在[e20f(x)1，即f(x)1f(x在[e2)

f(x)

xlnx0

x)xx0

xxg(x在[0,2]g(x在(0,2]f(x在(0,2]一致1对0，由f(x)在[e2,)上一致连续知 0，对任意x1,x2[e2,)1x1x21，都有f(x1f(x2f(x在(0,2]20x1x20,2x1x22，也有f(x1f(x2)x1x2[e2,)，从而

f(x1)f(x2)．因此f(x) xlnx在(0,)上一f(x在(a,

f(x)f(x在(a,证明取1，对0

f(x)，故X0xX f(x)2，任取xX，xxX，虽然有x

2中值定理知，存在x1x1

f(x)

2f(x

f()x 2 1 22 f(x在(a,f(x)xlnx在(0,

f(x)limlnx1) 可积性]（1）f(x在[0,1]x1(n1,2,n（2）f(x)

x x x11（3）f(x) x x xf(x)1

x x解（1）f(x在[0,1M0，对x[0,1，都有f(x)M故在区间[0,1]f(x的振幅2M 0，由于limn

0，故NnN时，都有

，特别地取nnN1时，也 .由于f(x)在 0，使得对区间

即

n,1的任何max(xi1

i' 2 i 1 取min1n，对[0,1的任意max(xi的分法，下证ixi 01n n

1nn

ii i0 i0 ixiixiixiixi2Mxi2Mi

ii0

ii0 x f 是由于xi 在 ii0 间 ,1可积，因而

i

limn

i

i0ii0 0i01

(n1,2,)和x0，根据 f(x在[0,1f(x)1f(xf(xx0和x nf(x在[0,1上有0f(x)1f(xf(xx1(n1,2,)，由（1）的证明知f(x在[0,1nf(x),f2x),f(x)解f(x),f2x),f(x)f(x)可积，则f(x)f2x

f(x)f2xf(x可积推导f(x)nn由f(x)limi 0

0，而对于任一所讨论区间[xi1xi中的任意两点

f(x)

f(x)

f(xf(x)，即*（其中*

f(x)在xi1xi上的振幅，因而0

0(0，即f(x)i

i f(xf2xf(xf(xM0xf(xM而且limx0.对任一区间xxxx，由于（设f2x0 i1

xi1xi上的振幅f2(x)f2(x)f(x)f(x)f(x)f(x)2Mf(x)f(x)n故0

2Mi

0(0)f2x

f(x)f2xf(xf(x)

f(x)f2x1，故在[0,1]上f(x)f2xn，故最后证明f(x)f2xf(x)f2xf2(x)f2(x)f(x)f(xf(x)ff(x)f(xf(x)f2Mf(x)f(x

f(x)f2xf2x可积推导f(x)f2xc(c0)g(x)f2xcg(xf2x有同样的可积性．对任一区间xi1xi中的任意两点x,x，由于f(x)f(x)f(x)f(x)f2(x)f2(x) f(x)

f(x)

f2(x)f2(x)12f2(x)f2(xff12f2(x)f2(xff(x f(xg(x都在[abM(x)max(f(x), m(x)min(f(x),在[a明M(x)

f(x)g(x)2

f(xg(x)f(x,g(x都在[ab1212f(x)12122因而m(x)f(x在[abf(x)r0

f(x)g(x)

f

在[ab]可积n（2）lnf(x在[abn证明f(x在[ab上可积，故limixi0，即对0,00n[a,b]的任意max(xi)的分法，都 ixi对上述[ab的任意的分法，设

*为函数

在区间xx上的振幅 f 1f11f(x并1f11f(xf(x)f(xf(x)f(xf(x)f(x f f(x

f(x)f(x

1r 1

从

xi

i

，即

xi0

在区间[abrr

2

f对上述[ab的任意的分法，设i为函数lnf(x在区间xi1xi上的振幅，并设ilnf(x)lnf(x)，不妨lnf(x)lnf(x，由于 f f ilnf(x)lnf(x

lnf(x)lnf(x)

f(x)ln1f(x)1 x0时ln(1xx f f f(x)f(x 1 f(x

1

f(x

1

f(x

f(x)f(x) i n

1n

1

n 从而i

r

ir

i

设f(x)在[a,b]可积，求证 0，存在逐段为常数的函数(x)，baf(x)(x)dxb对0f(x在[ab上可积，故根据可积的定义知，0，对[ann由于振幅iMimi，故xxi1xif(xmif(x)Mi．i (x)mi x[x,x),i1,2,,ni mn

x

,xn则(x)是逐段为常数的函数，而且在区间[xi1,xi)f(x)(x)Mi(x)Mimii 因 af(x)(x)dx f(x)(x)dxixi i b故af(x(x)dxbf(x在[abf[a,b]

f(x)

f(x)求证：f[a,b] x,

f(x)f(x)证明

f(x)

f(xf(x在[ab

f(x)

f(x)对xx[ab]，由于f(x)

f(x),f(x)

f(x|f(x)f(x)|

f(x)

f(x)f[a,因此f[ab是|f(xf(x|在[ab的上界，下证f[ab事实上，对任意0

f(x)

f(x

f(xf(x在[ab确界，故x1[ab]f(x1

f(x)2

f(xf(x在[ab界，故x2[abf(x2

f(x 2

1)f(x2 f(x)inff(x)

f(x)

f(x)f[a,b]因此f[ab是|f(xf(x|在[ab的上确界，即f[abf(xx0

x,

f(x)f(x)f

)limff

1,

nf(xx0连续的充分必要条件是f(x00证明对0,由f(x)在x0连续知0,x,xx0时，都有f(x)f(x0) N

1

1，则nN

1知x

1,x

1xx．从而 n

1,

n

x,x(x1,x1

f(x)f(x0n0 f(x)f(x)

f(x)f(x0)x,x(x1,x1 0n0 x,x(x1,x1) 20n0f从而limf

1,

10，即n n

)0f充分性对由于limf

1,

10，故NnNnnf

x1,

1nn

f(x)

1f(x) xx0

,x0

xx,x取

n，则xx0x0nf(x)f(x0) f(x) fxx0,x0 f(x)

xx0,x0 f(x) 1 xx1,x1 nxx0n,x0n 0n f(xx0f(x在AB

f(xh)f(x)dx0AabB（这一性质称为积分的平均连续性f(x在ABf(x在ABM0n得xAB],f(x)MAabB知，函数f(x)在区间[abn0 6的分法，都有ixi 6Nba1Nbaba，因而对nN ba

，故对区间[ab]n等分分法，也

i

i

ai(ba) af(xh)f(x)dx

f(xh)f(x)dx b

h

BbaAxxh都在第i(i1,2,n个小区间上，则f(xhf(x)ixxhx位于第i(i1,2,nh0xh位于第i1f(xh)f(x)f(xh)f(xi)f(xi)f(x)i1ih0xh位于第i1f(xh)f

f(xh)f(xi1)f(xi1)f(x)i1i综合（（）知对任i1,2,nf(xhf(x)i1ii1，这里当i1in02M,n12M

f(xh)f(x)dx

ixi4Mb 4Mba n n ib由于lim

0，故对上述0,N20nN24Mba baf(xh)f(x)dx bb 综上所述，取min ,Bb,aA，则当h时，恒有（4）式成立，N 而

f(xh)f(x)dx0f(x)0,f(x)0，对x[ab f(x)baaf(x)dxf(x在区间[abf(x在区间[ab必连续，由闭区间上连axx0ax0b时同理可证，并将区间[ab分为[ax0和[x0b考虑区间[ax0，对x[ax0x1)ax0，则01 af(x)dx0f((1)ax0)(x0a)d(x0a)0f((1)ax0)df(x0f(xf(x)01(xa)f((1)a1

)d

0