《高职应用数学》教案

《高职应用数学》教案

课程名称：高职应用数学

总学时：64

课程章节第1章基础知识课时分配8

1．掌握指数、对数、方程、不等式等代数基础知识

2．理解函数的概念，掌握函数定义域、值域的求解方法

教学目标

3．掌握函数的表示方法，会求解函数的奇偶性，周期性，单调性

4．把实际问题抽象概括为函数问题

教学重1.理解函数的概念

点、难点2.能把实际问题抽象概括为函数问题

授课方式讲授法，板书

1.1代数基础知识

教学内容1.2函数

1.3建立函数关系

1.1代数基础知识

一、指数幂及其运算

1、整数指数幂

（1）正整数指数幂：anaaaa(n为正整数)．

n个

（2）零指数幂：a01(a0)．

1

（3）负整数指数幂：an(a0，n为正整数)．

an

（4）整数指数幂的运算法则：(a0，b0，m，n为整数)

amanamn；(am)namn；

am

(ab)nanbn；amn．

an

2、分数指数幂

1）n次根式

一般地，如果xna(aR，nN且n1)，则称x为a的n次方根．

（1）当n为奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一

个负数，这时a的n次方根可以记作na．

（2）当n为偶数时，正数a的n次方根有两个，它们互为相反数，分别

教学过程

用na和na表示，其中na称为a的n次算术根；负数没有偶次方根．

（3）0的n次方根是0，记作n00．

我们把形如na(aR，nN且n1)的式子称为n次根式，其中，n

称为根指数，a称为被开方数．

2）分数指数幂定义

mm

n1

anam，an

n

am

为分数指数幂，其中m，nN且n1．

整数指数幂的运算法则对有理数指数幂也适用，前提是必须使运算法则中

，

出现的每一个有理数指数幂都有意义，即当pq为有理数时，有

apaqapq，

(ap)qapq，

(ab)papbp．

二、对数及其运算

1、对数的概念

如果abN(a0且a1)，那么b称为以a为底N的对数，记作

blogN

a

其中，a称为对数的底数（简称底），N称为真数．

abNlogNb

通常，我们称形如的等式为指数式，称形如a的等式为对

且

数式．由对数的定义可知，当a0a1时，

abNlogNb

a．

性质：

（1）零和负数没有对数，即N0；

（2）log10，即1的对数为0；

a

（3）loga1，即底的对数为1．

a

2、积、商、幂的对数

设apM，aqN，则

plogM，qlogN．

aa

因为

MNapaqapq，

所以

log(MN)log(apq)pqlogMlogN．

aaaa

当a0且a1时，对数的运算法则：

log(MN)logMlogN

aaa

M

loglogMlogN

aNaa

logMnnlogM

aa

三、方程

1、直线方程

一次函数yx2的图像是一条直线l，其解析式yx2可以看作一个

关于x，y的二元一次方程，直线l上的任意一点(x，y)都满足方程yx2．此

时，我们把方程yx2称为直线l的方程．

1）直线的点斜式方程

已知直线l经过点P(x，y)，且斜率为k．设点P(x，y)

000

为直线l上不同于点P的任意一点，由斜率公式可得

0

yy

k0，

xx

0

整理得

yyk(xx)．

00

点P(x，y)也满足上述方程．由于上述方程是由直线上的一点和直线的

000

斜率确定的，所以称为直线的点斜式方程．

2）直线的斜截式方程

设直线l与x轴交于点A(a，0)，与y轴交于点

B(0，b)，则a称为直线l在x轴上的截距（或横截距）；b称为直线l在y轴

上的截距（或纵截距）．

设直线l与y轴的交点为B(0，b)，且直线l的斜率为k，则直线l的方程

为

ybk(x0)，

即

ykxb．

3）直线的一般式方程

把形如AxByC0（A，B不全为零）的二元一次方程称为直线的一

般式方程．

2、一元二次方程

等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数

是2（二次）的方程，称为一元二次方程．一元二次方程的一般形式为

ax2bxc0(a0)．

1）公式法

一般地，式子b24ac称为一元二次方程ax2bxc0根的判别式，通

常用希腊字母“”表示，即b24ac．

当0时，方程ax2bxc0(a0)的实数根可写为

bb24ac

x

2a

若0，方程ax2bxc0(a0)有两个不相等的实数根，即

bb24ac

x；

2a

若0，方程ax2bxc0(a0)有两个相等的实数根，即

b

xx；

122a

若0，方程ax2bxc0(a0)无实数根．

2）因式分解法

设物体经过xs后落回地面，这时它离地面的高度为0m，即

10x4.9x20．

此方程的左边可以因式分解，得

x(104.9x)0．

这个方程的左边是两个一次因式的乘积，右边是0．我们知道，如果两个

因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0；反之，如果两个因式中

任何一个为0，那么它们的积等于0．所以

x0或104.9x0．

于是，方程的两个根为

100

x0，x2.04．

1249

四、不等式

1、不等式的概念及基本性质

用不等号（，，，，）表示不等关系的式子称为不等式．

性质1（传递性）如果ab，bc，则ac．

性质2（加法性质）如果ab，则acbc．

性质3（乘法性质）如果ab，c0，则acbc；如果ab，c0，

则acbc．

2、含有绝对值的不等式

1）xa或xa型不等式

对于任意实数x，都有|x|0，并且

x，x0，

|x|0，x0，

x，x0．

|x|的几何意义为：数轴上表示实数x的点到原点O的距离．

由绝对值的几何意义可知，不等式|x|3表示的是数轴上到原点的距离小

于3的所有点的集合；不等式|x|3表示的是数轴上到原点的距离大于3的所

有点的集合．

不等式|x|3的解集为(3，3)；不等式|x|3的解集为

(，3)(3，)．

一般地，不等式|x|a(a0)的解集为(a，a)；不等式|x|a(a0)的

解集是(，a)(a，)．

2）axbc或axbc型不等式

对于|axb|c或|axb|c(c0)型不等式，可以把axb看成一个整

体，从而转化为|x|a或|x|a(a0)型不等式来求解．

例如，求解不等式|2x3|1时，可先设m2x3，则不等式|2x3|1化

为

|m|1，

其解集为

1m1，即12x31．

根据不等式的性质，可以求出1x2，即原不等式|2x3|1的解集为(1，2)．

3、区间的概念

1）有限区间

实数与数轴上的点之间是一一对应的关系，例如，集合x|3x2可

以用数轴上位于3与2之间的一条线段（不包括端点）来表示．

由数轴上两点之间的全部实数所组成的集合称为区间，其中这两个点称为

区间端点．不含端点的区间称为开区间，含有两个端点的区间称为闭区间．

集合x|3x2表示的就是开区间，记作(3，2)．集合x|3x2

表示的就是闭区间，记作[3，2]．

只含左端点的区间称为右半开区间，例如，集合x|3x2表示的区

间就是右半开区间，记作[3，2)；只含右端点的区间称为左半开区间，例如，

集合x|3x2表示的区间就是左半开区间，记作(3，2]．

综上所述，设a，b为任意实数，且ab，则有

①开区间：数集x|axb区间(a，b)；

②闭区间：数集x|axb区间[a，b]；

③右半开区间：数集x|axb区间[a，b)；

④左半开区间：数集x|axb区间(a，b]．

以上的开区间、闭区间、右半开区间和左半开区间统称为有限区间．

2）无限区间

集合x|x3可以用数轴上位于3右侧的一条射线（不包括端点）来表

示，如图1-6所示．

由图可以看出，集合x|x3所表示的区间的左端点为3，没有右端点，

这时可以将其记作(3，)，其中符号“”读作“正无穷大”，表示右端

点可以任意大，而并非某个具体的数．

同理，集合x|x5表示的区间可记作(，5)，其中符号“”读作

“负无穷大”．

类似地，集合x|x3表示的区间记作[3，)，是右半开区间；集合

x|x5表示的区间记作(，5]，是左半开区间．

设a，b为任意实数，且ab，则有

（1）数集x|xa区间(a，)；

（2）数集x|xb区间(，b)；

（3）数集x|x≥a区间[a，)；

（4）数集x|xb区间(，b]；

（5）实数集R如果用区间来表示，可以记作(，)．

以上这5种区间统称为无限区间．

4、邻域的概念

设点a与是两个实数，且0，则称集合{x|xa|}为点a的邻

域，记作U(a，)，其中将a称为邻域中心，将称为邻域半径．

有时还要用到去掉中心的邻域，即集合{x0|xa|}，称为点a的去

o

心邻域，记作U(a，)．

5、一元二次不等式

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是二次的不等式，称为一元二

次不等式，其一般形式为

ax2bxc()0或ax2bxc()0(a0)．

①当b24ac0时，方程ax2bxc0(a0)有两个不相等的实数

解x和x（xx），对应函数yax2bxc(a0)的图像与x轴有两个交

1212

点，即(x，0)，(x，0)．此时不等式ax2bxc0(a0)的解集为

12

(，x)(x，)，不等式ax2bxc0(a0)的解集为(x，x)．

1212

②当b24ac0时，方程ax2bxc0(a0)有两个相等的实数解

x，对应函数yax2bxc(a0)的图像与x轴只有一个交点，即(x，0)．此

00

时不等式ax2bxc0(a0)的解集为(，x)(x，)，不等式

00

ax2bxc0(a0)的解集为．

③当b24ac0时，方程ax2bxc0(a0)没有实数解，对应函

数yax2bxc(a0)的图像与x轴没有交点．此时不等式

ax2bxc0(a0)的解集为R，不等式ax2bxc0(a0)的解集为

．

1.2函数

一、函数的概念与性质

1、函数的概念

设有两个变量x和y，D是一个非空数集，若当变量x在集合D内任取一

个值，变量y依照一定法则f，总有确定的值与之对应，则称变量y是x的函

数，记为

yf(x)，xD，

其中，D称为函数的定义域，x称为自变量，y称为因变量．

对于确定的xD，与之对应的y称为函数yf(x)在x处的函数值，

000

记作

yyf(x)．

0xx00

当x取遍D中的一切数值时，对应的函数值y的集合称为函数yf(x)的值

域，记作M，即

Myyf(x)，xD．

定义域

函数的两要素

对应法则

解析法

函数的表示方法表格法

图示法

2、函数的性质

1）单调性

设函数yf(x)在区间I内有定义，若对区间I内的任意两点x，x，当

12

xx时，有f(x)f(x)，则称yf(x)在区间I内单调增加，区间I称为

1212

单调增区间；当xx时，有f(x)f(x)，则称yf(x)在区间I内单调减

1212

少，区间I称为单调减区间．单调增区间和单调减区间统称为单调区间．

2）奇偶性

设函数yf(x)的定义域关于原点对称（即若xD，则xD），若对

于任意的xD，都有f(x)f(x)，则称yf(x)为偶函数；若对于任意的

xD，都有f(x)f(x)，则称yf(x)为奇函数．

3）有界性

设函数f(x)在区间I上有定义，如果存在一个正数M，使得与任一xI所

对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)|M，则称函数f(x)在I内有界；如

果这样的M不存在，则称函数f(x)在I内无界．

4）周期性

设函数yf(x)在区间D上有定义，若存在常数T0，对于任意的xD，

恒有f(xT)f(x)，则称f(x)是以T为周期的周期函数．

通常所说周期函数的周期是指它们的最小正周期，例如，ysinx的周期

是2，ytanx的周期是．函数yC(C为常数)是周期函数，但不存在最

小正周期．

二、基本初等函数

1、常数函数

常数函数yC(C为常数)的定义域为(，+)，对应法则是对于任何

x(，)，x所对应的函数值y恒等于常数C．其函数图像为平行于x轴

的直线．

2、幂函数

幂函数yxa(a为任意常数)的定义域和值域由a而定，但在(0，)内

都有定义，且其图像都经过点(1，1)．

3、指数函数

指数函数yax(a0，a1)的定义域为(，)，值域为(0，)，图

像都经过点(0，1)．当a1时，yax单调增加；当0a1时，yax单调

减少．指数函数的图像均在x轴上方.

4、对数函数

对数函数ylogx(a0，a1)是指数函数yax的反函数．对数函数的

a

定义域为(0，)，值域为(，)，图像都经过点(1，0)．当a1时，

ylogx单调增加；当0a1时，ylogx单调减少．对数函数的图像在y

aa

轴的右方．

当ae时，ylogx简记为ylnx，它是常见的对数函数，称为自然

a

对数．其中，e2.71828182845904523536为无理数．

5、三角函数

三角函数有：

正弦函数ysinx，余弦函数ycosx；

正切函数ytanx，余切函数ycotx；

正割函数ysecx，余割函数ycscx．

（1）sinx和cosx的定义域为(，)，值域为[1，1]，都以2π为周

期．sinx是奇函数，cosx是偶函数．

π

（2）tanx的定义域是xkπ(kZ)，cotx的定义域是xkπ(kZ)，

2

它们都以π为周期，且都是奇函数．

6、反三角函数

反三角函数是各三角函数在其特定单调区间上的反函数．

ππ

（1）反正弦函数yarcsinx是正弦函数ysinx在区间，上的反

22

ππ

函数，其定义域为，值域为．

[1，1]，

22

（2）反余弦函数yarccosx是余弦函数ycosx在区间[0，π]上的反函

数，其定义域为[1，1]，值域为[0，π]．

ππ

（3）反正切函数yarctanx是正切函数ytanx在区间，内的反

22

ππ

函数，其定义域为(，)，值域为，．

22

（4）反余切函数yarccotx是余切函数ycotx在区间(0，π)内的反函

数，其定义域为(，)，值域为(0，π)．

三、复合函数

设y是u的函数yf(u)，u是x的函数u(x)．如果u(x)的值域与

yf(u)的定义域的交集不是空集，则y通过u构成x的函数yf[(x)]，称

为x的复合函数，其中u称为中间变量．

例如，yu2，usinx，它们复合而成的复合函数为

y(sinx)2sin2x．

利用复合函数的概念，可以把一个较复杂的函数分解成若干个简单函数．

分解的原则是：由外向里，逐层分解．

分解的结果是：分解成的每个简单函数都是基本初等函数或由基本初等函

数经过有限次四则运算后形成的函数．

四、初等函数和分段函数

1、初等函数

由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合构成，并且用一个

式子表示的函数称为初等函数．

2、分段函数

引例自2018年8月1日起，北京巡游出租车（不含电动车）白天的基

本收费标准是：行驶里程如果不超过3公里，则收费13元；如果超过3公里，

则超出的部分按每公里2.3元收费；另外每运次加收1元燃油附加费．那么每

运次的行驶里程数x公里与费用y元之间的关系为

131，x314，x3，

y

13(x3)2.31，x37.12.3x，x3．

以上的函数关系不是用一个式子表示的，而是在自变量不同范围内用不同

的表达式来表示的，这样的函数称为分段函数．

常见的分段函数：

①绝对值函数

x，x0，

y|x|

x，x0

②符号函数

1，x0，

ysgnx0，x0，

1，x0

1.3建立函数关系

一、工程技术中函数的建立

例要造一个圆柱形油罐，其体积为定值V，试求油罐的表面积与底圆半

径的函数关系．

解设油罐的底圆半径为r，油罐的高为h，因Vπr2h，故

V

h．

πr2

油罐的表面积为

S2πrh2πr2，

V

将h代入上式得所求函数为

πr2

2V

S2πr2，r(0，)．

r

例某工厂建造一个小型车间，要求车间借助现有的一面墙建成两块矩

形，设平行于原有墙面的矩形边长为x，现有材料只够砌50m长的墙壁，试

求围成的车间面积S与边长x的函数关系．

解设矩形的宽为y，根据题意有3yx50，得

50x

y．

3

车间面积为

x(50x)501

Sxyxx2，x(0，50)．

333

例弹簧在汽车悬吊系统中广泛应用，在弹性限度内，弹簧伸长量与受力

大小成正比．现在有一弹簧受力4N，伸长了0.01m，求该弹簧的伸长量与

受到的力之间的函数关系．

解设弹簧受力为FN时，其伸长量为lm，由题意可知

Fkl（k为比例常数）．

将已知条件F4时，l0.01，代入上式，得

40.01k，

k400．

由此得该弹簧伸长量l与受到的力F之间的函数关系为

1

lF．

400

二、经济函数的建立

1、需求函数

需求（量）是指在一定的价格条件下，消费者对某种商品有支付能力购买

的商品量．人们对某一商品的需求受许多因素的影响，如商品的价格、质量，

消费者的收入、偏好等．其中，商品的价格是影响需求量的主要因素，若把其

他因素视为常量，则市场对某商品的需求量Q是商品价格p的函数，它是一

个需求函数，可表示为

QQ(p)．

一般来说，在商品量一定的情况下，商品价格越低，需求量越大；商品价

格越高，需求量越小．因此，通常需求量是价格的单调减函数．

常见的需求函数有如下三种形式：

线性函数Qabp(a0，b0)；

二次函数Qabpcp2(a0，b0，c0)；

指数函数Qaebp(a0，b0)．

例某计算器售价80元/台时，月销售量是1000台；当价格调整为85

元/台时，月销售量为600台，求该商品的线性需求函数．

解设该商品的线性需求函数为Qabp．由题意可知，当p80时，

Q1000；当p85时，Q600，代入Qabp得

1000a80b，

600a85b，

解得a7400，b80．

所以，所求的需求函数为

Q740080p．

2、供给函数

某商品的市场供给量S受商品价格的影响，价格上涨将刺激生产者向市场

提供更多的商品，使供给量增加；价格下跌将使供给量减少．供给量S是商品

价格p的函数，称为供给函数，记为SS(p)．供给量S是价格p的单调增函

数．

一般地，使某种商品的市场需求量与供给量相等的价格p称为均衡价格．

0

当价格pp时，商品供不应求，商品的价格有提高的趋势；当价格pp

00

时，商品供过于求，商品的价格有下降的趋势；当价格在p处时，供给量等

0

于需求量．这就体现了价格的市场调节作用．

3、成本函数

总成本C是指用于生产的总费用，它由固定成本C和可变成本C构成．固

01

定成本C是指在一定时期内，不受产量变动影响的成本，如厂房、设备等费

0

用．可变成本C是指随产量变化而变化的成本，如工人的工资、原材料费用

1

等．因此总成本C是产量q的函数，即C(q)CC(q)，称为成本函数．平

01

均成本函数（也叫单位成本函数）记为

C(q)

C(q)．

q

4、收入函数与利润函数

总收入R是指生产者将产品售出后的全部所得，总收入等于产品的单价p

与销售量q的乘积．假设销售过程中价格p不变，则总收入是销售量q的函数，

即R(q)pq，称为收入函数．

为了研究问题的方便，我们假设生产的产量全部销售出去，即

产量销售量q．

那么，总利润L就是总收入R减去总成本C，表示为

L(q)R(q)C(q)．

所以，总利润L(q)是产量或销售量q的函数，称为利润函数．

5、单利与复利

①单利计算公式

设初始本金为P，计息期（如一年）的利率为r，则

0

第一年末的本利和为SPPrP(1r)；

1000

第二年末的本利和为SP(1r)PrP(12r)；

2000

……

第n年末的本利和为SP(1nr)．

n0

②复利计算公式

设本金为P，计息期（如一年）的复利率为r，则

0

第一年末的本利和为SPPrP(1r)；

1000

第二年末的本利和为SP(1r)rP(1r)P(1r)2；

2000

……

第n年末的本利和为SP(1r)n．

n0

归纳总结通过总结回顾所学知识

作业布置通过练习巩固所学知识

数学实验初识数学软件MATLAB及绘图

《高职应用数学》教案

课程名称：高职应用数学

总学时：64

课程章节第2章极限与连续课时分配8

1．掌握极限的概念,熟练掌握函数极限的运算法则，并且会用极限的运算法则

求函数的极限。

2．正确理解无穷小量与无穷大量的概念，了解无穷小量的性质；

教学目标

3．掌握极限的运算法则及求解方法

4.正确理解函数的左右连续性，会利用函数的左右连续性判断函数在某一点

是否连续

1.极限的概念和左极限与右极限的概念及应用

教学重

2.无穷大与无穷小的比较

点、难点

3.函数的连续性以及函数的左右连续性。

授课方式讲授法，板书

2.1极限的概念

2.2极限的性质和运算法则

教学内容

2.3两个重要极限及无穷小的比较

2.4函数的连续性

2.1极限的概念

一、数列的极限

定义1在某一法则下，当n(nN)依次取1，2，，3，n，时，对应的

实数排成一列数x，x，x，，x，，这列数就称为数列，记作{x}．

123nn

数列中的每一个数称为数列的项，第n项x称为数列的一般项或通项．

n

数列{x}可看作自变量为整数n的函数xf(n)，它的定义域是全体正

nn

整数，当自变量n依次取1，2，，3等一切正整数时，对应的函数值就排列成

数列{x}．

n

定义2对于数列{x}，当n无限增大时，如果数列的一般项x无限地接

nn

近于某一确定的数值a，则称常数a是数列{x}的极限，或称数列{x}收敛于

nn

a，记作limxa；如果数列没有极限，则称数列是发散的．

n

x

二、函数的极限

数列是一种特殊的函数xf(n)，它研究当自变量n时，函数值

n

f(n)的变化趋势．对于一般函数yf(x)，也可讨论自变量x在某一变化过

程中函数f(x)的变化趋势．函数自变量x的变化过程可分为两种情况：x的

绝对值|x|无限增大，x无限接近x．为了方便起见，我们规定：

教学过程0

①x的绝对值|x|无限增大用记号x表示；

x小于0且绝对值|x|无限增大用记号x表示；

x大于0且绝对值|x|无限增大用记号x表示．

②x无限接近x用记号xx表示；

00

x从x的左侧（即xx）无限接近x用记号xx表示；

0000

x从x的右侧（即xx）无限接近x用记号xx表示．

0000

1）当x时，函数yf(x)的极限

1

例作出函数y的图形，在x0的前提下，讨论当x时，该函

x

数的变化趋势，并说出它的极限．

1

当x沿x轴的正方向无限增大时，曲线y无限接近于x轴，但始终不

x

1

与x轴相交，故当x时，函数y以0为极限．

x

定义3当x的绝对值无限增大，即x时，如果函数值f(x)无限趋

近于某一个确定的常数A，那么A就称为函数f(x)当x时的极限，记作

limf(x)A或f(x)A(x)．

x

π

例4讨论limarctanx是否存在．

x2

ππ

解有limarctanx及limarctanx．由于当x和x

x2x2

时，函数arctanx不是无限接近于同一个确定的常数，所以limarctanx不存在．

x

图2-2

由上面的例子可以看出，如果limf(x)和limf(x)都存在并且相等，那

xx

么limf(x)也存在并且与它们相等．如果limf(x)和limf(x)都存在，但不相

xxx

等，那么limf(x)不存在．

x

定理1limf(x)A的充分必要条件是limf(x)limf(x)A．

xxx

例讨论函数yex及yex当x时的极限．

解如图2-3所示为这两个函数的图形．

因为limex，limex0，所以limex不存在．

x+xx

又因为limex0，limex，所以limex不存在．

xxx

2）当xx时，函数f(x)的极限

0

x21

对于函数f(x)x1和g(x)，当x1时，f(x)和g(x)的变化趋

x1

势如图所示．从图像容易看出，当x1时，f(x)和g(x)都无限接近于2．

定义4设函数yf(x)在点x的附近有定义（在x处可以无定义），如

00

果存在一个常数A，当x无限趋于x(xx)时，函数f(x)的值无限趋近于A，

00

那么A就称为函数f(x)当xx时的极限，记作

0

limf(x)A或f(x)A(xx)．

0

xx

0

如果当x从x的左边趋于x（通常记作xx）时，f(x)无限接近某常

000

数A，则常数A称为函数f(x)当xx时的左极限，记作limf(x)A或

0

xx

0

f(x)A．

0

如果当x从x的右边趋于x（通常记作xx）时，f(x)无限接近某常

000

数A，则常数A称为函数f(x)当xx时的右极限，记作limf(x)A或

0

xx

0

f(x)A．

0

左极限与右极限统称为单侧极限．

根据函数极限的定义并观察函数图像，我们可以确定一些常见函数的极

限．例如，limxx，limsinx0，limcosx1，limCC(C为常数)，

0

xx0x0x0xx0

1

lim不存在．

x0x

定理2当xx时，f(x)以A为极限的充分必要条件是f(x)在点x处

00

的左、右极限存在且都等于A，即

limf(x)Alimf(x)limf(x)A．

xxxxxx

000

x2，x1

例设f(x)，试判断limf(x)是否存在．

3x，x1x1

x2，x0，

设f(x)讨论极限limf(x)是否存在？

x1，x0．x0

三、无穷小量与无穷大量

1、无穷小量

在实际中，我们经常遇到一类变量，它们的绝对值变得越

来越小且趋向于零．

引例单摆离开铅直位置的偏度用角来度量．如果让单

摆自己摆动，由于机械摩擦力和空气阻力，摆动幅度就会

不断地减小，角逐渐趋向于零．对于这种变量变化趋于

零的情形，我们给出如下定义．

定义5在自变量x的某一变化过程中，若函数f(x)的极限为0，即

limf(x)0，则称f(x)为该变化过程中的无穷小量，简称无穷小．

性质1有限个无穷小的代数和仍是无穷小．

性质2有限个无穷小的乘积仍是无穷小．

性质3有界函数与无穷小的乘积仍是无穷小．

1

例求limcosx．

xx

2、无穷大量

定义6在自变量x的某一变化过程中，若函数值的绝对值|f(x)|无限增

大，则称f(x)为该变化过程中的无穷大量，简称无穷大．记limf(x)．

11

例如，当x0时，的绝对值无限增大，因此在这个变化过程中，是

xx

π1

无穷大量；当x时，函数tanx是无穷大量；当x2时，是无穷大

2x2

量．

3、无穷大与无穷小的关系

定理3在自变量的同一变化过程中，无穷大、无穷小互为倒数关系，即如

1

果limf(x)0（或），则有lim（或0）．

f(x)

1

例如，因为lim2x，所以lim0．

xx2x

2.2极限的性质和运算法则

一、极限的性质

定理1（唯一性）如果函数f(x)在某一变化过程中有极限，则其极限

唯一．

定理2（有界性）如果函数f(x)在xx时存在极限，则必存在x的

00

某一邻域，使得f(x)在该邻域内有界．

定理3（保号性）若在x的左右近旁，恒有f(x)0（或f(x)0）且

0

limf(x)A，则A0（或A0）．

xx0

二、极限的运算法则

定理4设limf(x)A，limg(x)B，则

xxxx

00

（1）lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB；

xxxxxx

000

（2）lim[f(x)g(x)]limf(x)limg(x)AB；

xxxxxx

000

f(x)limf(x)A

xx

（3）lim0(B0)．

xxg(x)limg(x)B

0

xx

0

推论1设l