“方阵问题”教案

植树问题——“方阵问题”

教学内容：人教版教科书五年级上册数学广角第108页例3及部分练习。

教学目标：

1、通过操作、观察与交流，探究封闭图形中间隔排列的简单规律，并将其应

用到显示生活中解决问题。

2、让学生利用已有知识，解决围棋中的数学问题，并在解决问题中了解封闭

图形的植树棵树的规律：间隔总数=最外层总数。

3、感受角上有重复计数问题的特征，提高解决这类问题的基本能力。培养学

生运用直观图示解决问题的意识与能力。

4、初步培养学生从实际问题中探索规律，找出解决问题的有效方法的能力。

5、让学生感受方阵问题在日常生活中的广泛应用，培养孩子们的审美能力。

6、通过小组合作交流，培养学生认真倾听他人意见，乐于与人合作，从不同

角度欣赏他人的良好心态。

教学重点：

1、从封闭曲线（方阵）中探讨植树问题的过程。

2、掌握解决方阵问题最优化的思路和方法。

教学难点：

1、从简单问题入手，探讨研究和解决方阵问题过程。

2、用数学的方法解决实际生活中的简单问题，尤其是知道总数求最外层的数

量。

教学准备：3×3格、4×4格、5×5格方格纸、围棋子若干粒

学情及教材分析：

解读教材，我们可以看到，无论是主题情境还是做一做的问题，都是在研究：

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角上有重复计数的数学问题。但教学参考在“教材说明”时却指出：“例3则

借助围棋盘来探讨封闭曲线(方阵)中的植树问题。”可是在“教学建议”具体

展开时，主要还是在阐述角上有重复计数的数学问题。因为，教材的学习情

境并不适合用来研究封闭曲线中的植树问题。如果要让学生通过“围棋盘最

外层摆放的棋子数等于最外层每两个棋子间的间隔数，最外层每边有18个间

隔，最外层总共摆放的棋子数是18×4=72”通过这样的方式去求“最外层一

共可以摆放几个棋子”，其一学生没有相应的学习需求；其二要实现从“棵数”

到“段数”的转化，再从“段数”到“棵数”的转化，从“封闭图形上的植

树问题”转化为“一端种一端不种的直线上的植树问题”，对于学生而言是具

有相当的难度。

通过以上对教材的研读，教材所提供的学习材料及呈现的方式比较适合研究

的是：角上有重复计数的数学问题。

例3是植树问题的另一种情况——关于一个封闭图形的植树问题。教材借助

围棋盘的最外层每边都能放19个棋子，求围棋盘最外层一共可以摆多少棋子

的问题，介绍如何解决类似的植树问题。

教学时，学生很容易会出现例题上的女孩子一样，认为每边放19个棋子，最

外层一共就是19×6=76个棋子，而忽略了角上的棋子算重复了。

在总结出规律后，会发现他其实与一端种另一端不种的植树问题是一样的：

棵数=间隔数。

本课内容的探索性比较强，教学时可以先让学生自己来探索，借助方格

纸来画一画图，或者是围棋盘学具来寻找解决问题的方法。在教学过程中，

教师应注意对于学生出现的不同方法，只要合理正确，都应给予表扬和鼓励，

保护学生独立思考解决问题的积极性，同时也要适时引导学生通过比较各种

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算法，学习、吸收更好的解决问题的方法、思路和策略，逐步提高学生的思

维水平。即“自由发挥、解法多种、做好优化。”

课前交流：

近期有些同学们表现很不错，思维跳跃大，洞察力也有所提高，善于归纳总

结。今天同学们坐次的情况有些不同，大家看看有什么不一样？（同学们坐

的情况现在都集中到一起了，每行6人，共6行，或每列6人，共6列，全

班是36人。）看到我们同学的座次我想有一个关键词需要解决，哪个词呢？

板书：最外层。那我想请同学们说一下，那是现在我们这个座次中的最外层

啊！那就请最外层的同学站起来，让我们认识一下。在往里一层知道是哪一

部分同学吗？请同学们挥挥手示意一下。

刚才是关键词一，我这里还有个关键词二，想知道是什么吗？板书：间隔。

伸出自己那灵活漂亮的双手，观察一下能不能发现和解决什么是间隔？如果

是间隔数你怎么理解？板书：“数”。看一下其中的一支手，谁能说一下手指

之间一共有几个间隔啊！（五个手指4个间隔）。下面我想请第一排同学站起

来，观察一下这6名同学有几个间隔啊！最外层的同学站起来看看有几个间

隔啊！

教学过程：

一、情境导入

同学们，你们喜欢下棋吗？老师也喜欢下棋，今天我们就一起来解决一个跟

棋有关的数学问题（板书：围棋中的数学问题）

（出示课件）围棋盘的最外层每边能放19个棋子。最外层一共可以摆放多少

棋子？

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读题，思考，把你的想法在小组内说一说（可能出现的结果：18×4=7219

×2+17×2=1819×4=76）

哪种方法最简便？（引导学生说出每边间隔数×图形边数=最外层总数）

是不是所有的方阵问题都可以用这个关系？

二、探索新知

1．教学每边摆放3粒棋子的方法。

（1）图片出示围棋格子图，最外层每边能放3个棋子。最外层可以摆放多少

个棋子？

（2）抢答：读题后，让学生口算出答案。（学生可能会出现多种答案。）

（3）动手验证：请学生分小组按要求摆放棋子，验证刚才答案。

（4）汇报交流（着重请学生说出方法，并说明理由。）

可能会出现以下方法：

3×2＋2＝82×4＝8

3×3－1＝83×4－4＝8直

接点数。

教师表扬学生的创新摆法和算法。（教师随学生回答，出示学生摆放方法。）

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2．教学每边摆放4粒棋子的方法。

（1）图片出示围棋格子图，最外层每边能放4个棋子。最外层可以摆放多少

棋子？

（2）动手操作：请学生分小组按要求摆放棋子，写出算式。

（3）游戏：让一学生当“小老师”，其余学生当“围棋子”，请小老师邀请

“围棋子”按上题要求站在老师设计的大棋盘上。

[设计意图：这一游戏的方法，激发了学生的兴趣，不仅使学生学到了摆放方

法，让每个学生参与活动，把所学知识运动到游戏中。]

（4）汇报交流（着重请学生说出方法和算式的理由。）

教师随学生回答，出示学生摆放方法。

（5）你们最喜欢哪种方法？为什么？

3．教学每边摆放5粒棋子的方法。

（1）出示围棋格子图，最外层每边能放5个棋子。最外层可以摆放多少棋子？

（2）动手操作：请学生分小组按要求摆放棋子，写出算式。

（3）汇报交流。（教师随学生回答，出示学生摆放方法。）

（4）你们最喜欢哪种方法？和同桌说一说。

5

[设计意图：让每位学生都参与活动，通过抢答、验证、分析、交流等一系列

活动，借助围棋盘探讨封闭曲线（方阵）中的植树问题，进一步体会数学在

日常生活中的广泛应用，学生在亲身“经历”的过程中实现知识能力乃至生

命的同步发展。]

三、总结规律

（1）师：你觉得再用棋子摆，方便吗？你能根据前面我们摆放的方法，填写

下列表格，总结出规律吗？（小组合作完成）

每边棋子

每边间隔数图形边数最外层总数

个数

5

6

7

„„„„

18

你发现了什么规律：_____________________________________

（3）总结规律：教师随着学生的回答板书：

每边间隔数×图形边数=最外层总数

（3）学生根据规律，独立完成例3。

四、运用规律。

1．如果最外层每边能放100个，最外层一共可以摆放多少个棋子？

如果最外层每边能放200个，最外层一共可以摆放多少个棋子？

如果最外层每边能放300个，最外层一共可以摆放多少个棋子？

拓展思维：如果一个五边形，怎么算？一个三角形呢？（集体口答）

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2、

在一块正方形水泥地上玩游戏，水泥地四边插上彩旗

（每个角都要插上），每边插11面，一共要多少面彩旗？

3、请你参加：

（1）48名同学在操场上做游戏。大家围成一个正方形，每边人数相等。四个

顶点都有人，每边各有多少名学生？

4、请你解决：

（1）要在五边形的水池边上摆上花盆，使每一边都有4盆花，可以怎样摆放？

最少需要几盆花？

（2）一张桌子坐6人，两张桌子并起来坐10人，三张桌子并起来做14人......

照这样，10张桌子并成一排可以坐多少人？如果一共有38人，需要并多少张

桌子才能坐下？

[设计意图：充分相信学生，放手让学生分析问题、解决问题，以学生为主归

纳问题；教师在关键之处疏通点拨，引导学生加深理解，做到以学生为主体。]

5．请你设计：

学校为了庆祝“六一”儿童节，改变校园环境，想全校范围内征集校园花坛

设计方案。有以下三种，请每组同学选择一种你最喜欢的图形，算一算如果

每边放三盆花，一共可以摆放多少盆花？再动手画一画，展示在黑板上，看

哪一组做得又好又快！

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[设计意图：整个练习从现实生活中出发提出数学问题，让学生在游戏中，在

具体情境中充分动