《方程、分式方程、一元二次方程、不等式》

学习必备 欢迎下载学习必备 欢迎下载《方程、二元一次方程组、分式方程、一元二次方程、不等式》一、方程方程：含有未知数的等式叫方程。一元一次方程：在整式方程中，只含有一个未知数，并且未知数的次数是1的方程叫做一元一次方程。解一元一次方程的步骤：去括号移项合并同类项系数化为1二元一次方程：含有两个未知数，并且含有未知数的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。二元一次方程的解法：（1）代入消元法（2）加减消元法分式方程：分母中含未知数的方程叫做分式方程。分式方程的步骤去分母：在方程两边都乘以最简公分母，约去分母化为整式方程。解方程验根：把整式方程的根代入最简公分母，若结果为零，则这个根式原方程的增根，必须舍去。下结论：下结论是对原方程而言，像“x=1是原方程的根”中的“原”不能缺。一元二次方程：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程。一元二次方程的解法（一）配方法一、（1）用直接开方法解形如x2=p（p>0）的方程，那么可得x=±%P（2）转化为（mx+n>=p（p>0）的方程，那么可得mx+n=±%:p二、配方法解一元二次方程的步骤为：把一元二次方程化为一般形式，并把一次项系数化为1通过移项，把常数项移到方程的右边，使方程的左边只有二次项和一次项配方。在方程的两边各加上一次项系数一半的平方，从而使方程左边变为平方公式如果方程的右边为非负数，则可以用直接开平方法解出方程的解，否则，方程无解。(二)公式法判别式：一般地，式子b2-4“c叫做方程ax2+bx+c=0(a丰0)根的判别式，通常用希腊字母A表示它，即A=b2-4aco2、由b2-4ac的值可以判断一元二次方程根的情况(1)若b2-4ac>0，一元二次方程ax2+bx+c=0(a中0)有两个不相等的实数根：-b+bb2-4ac -b-bb2-4acx= ,x= 1 2a 2 2a(2)若b2-4ac=0，一元二次方程ax2+bx+c=0(a中0)有两个相等的实数根：bx-x--——1 2 2a(3)若b2-4ac<0，一元二次方程ax2+bx+c-0(a中0)无实数根：注意：由公式法可知，一元二次方程的根最多两个。用公式法解一元二次方程的步骤如下把一元二次方程化为一般形式确定a、b、c的值计算b2-4ac的值一b±b22-4ac若b2-4ac>0,则利用公式x-——三 求出原方程的根。若2ab2-4ac<0，则原方程无解。(三)因式分解因式分解法是使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，在使这两个一次式分别等于0，从而实现降次一般步骤为：整理方程，是其右边为0将方程左边分解为两个一次因式相乘的积

令每一个一次因式分别为0，得到两个一元一次方程分别解这两个一元一次方程，他们的解就是原方程的解1、用因式分解法解形如X2+bx=0的一元二次方程(原方程转化为x(x+b)=0)2、用因式分解法解形如x2-a2=0的一元二次方程(原方程转化为(x+a)(x—a)=0)*3、用因式分解法解形如x2+(a+b)x+ab—0(a、b为常数)的一元二次方程(原方程转化为(x+a)(x+b)=0)练习123.计算一7+--的结果是()x-11-xTOC\o"1-5"\h\z1 55Ax-1 B1-x Cx-1D1-x.若x,x是一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，则xx的值是( )1 2 12A．－2 B．－3 C．2 D．3.已知关于x的方程kx2+G-kb-1=0,下列说法正确的是( ).A.当k=0时，方程无解B.当k=1时，方程有一个实数解C.当k=-1时，方程有两个相等的实数解D.当k牛0时，方程总有两个不相等的实数解.方程x2-2x-1=0的解是.某企业2012年底缴税40万元,2012年底缴税48.4万元,设这两年该企业缴税的年平均增长率为x，根据题意，可得方程 .某企业五月份的利润是25万元,预计七月份的利润将达到36万元．则平均月增长率先.化简,后计算：11b先.化简,后计算：——;-+:+ —，其中a=a+bb a(a+b)二、不等式和不等式组1.概念:（1）用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.常用的不等号有:不等于（“尹’）大于（">”）小于（“<”）；大于或等于即不小于（“2”）小于或等于即不大于（“C）五种.（2）不等式的基本性质:①不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式,不等号的方向不变.②不等式两边都乘（或除以）同一个正数,不等号的方向不变.③不等式两边都乘（或除以）同一个负数,不等号的方向改变.例1：若〃<b，则下列各式中一定成立的是（ ）Aa-1<b-1Ba>bC-a〈-b Dac<bc33（3）使不等式左右两边保持原有的不等关系的未知数的值叫做这个不等式的解.这与方程的解类似,所不同的是方程一般只有一个或两个解,而不等式则往往有无穷多个解.一个不等式的所有的解,组成了这个不等式的解集.但有时,不等式也存在没有解的情况,此时,这个不等式无解.求不等式的解集或证明这个不等式无解的过程叫做解不等式.（4）有一类不等式，无论未知数取什么数都成立，叫做绝对不等式.例如:X2+2>0,无论％取何值,X2肯定是非负数，不等式的左边肯定是正数，所以一定大于02.解一元一次不等式解一元一次不等式的方法与解一元一次方程的方法类似.也是去分母,去括号,移项,合并,系数化为1等5个步骤.最后一个步骤最为关键,要视未知数的系数的符号（注意和不等号右边常数项的符号无关）而决定不等号是否需要改变.例2:解不等式5+X<2X+6解：x—2x<6—5一X<1X>—1-4-3-2-101234・♦・这个不等式的解集是X>—1将几个一元一次不等式合起来,就组成了一个一元一次不等式组,方程组的个数一般与未

知数的个数相等.组成一个一元一次不等式组的每一个一元一次不等式的解集的公共部分,叫做这个一元一次不等式组的解集.确定解集的方法就是把每个一元一次不等式的解集都表示在同一条数轴上，再找出公共部分,就是不等式组的解集.解一元一次不等式组的步骤:①分别解每一个不等式，写出它们的解集；②把每个解集表示在同一条数轴上;③在数轴上确定它们的公共部分;④把这个公共部分用不等式表示出来.由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表．不等式组（其中a<b）图示解集口诀:y>ay>bL-J__落.x>b同大取大■x<ay<bx<a同小取小Q b;x>ax<baba<x<b大小、小大中间找■x<ax>b二L厂.a b空集小小、大大找不到r2y>i-y ①例3：解不等式组1[y+2<4y-1 ②1解：解不等式①，得y>3解不等式②，得y>1把①②的解集在数轴上表示出来，找出两个不等式解集的公共部分。11得不等式组的解集为y>1。例4：某渔场计划购买甲、乙两种鱼苗共6000尾，甲种鱼苗每尾0.5元，乙种鱼苗每尾0.8元．相关资料表明：甲、乙两种鱼苗的成活率分别为90%和95%．（1）若购买这批鱼苗共用了3600元，求甲、乙两种鱼苗各购买了多少尾？（2）若购买这批鱼苗的钱不超过4200元，应如何选购鱼苗？解：（1）设购买甲种鱼苗％尾，则购买乙种鱼苗（6000-%）尾，由题意得：0.5%+0.8（6000-%）=3600解这个方程，得：％=4000・•・6000-%=2000答：甲种鱼苗买4000尾，乙种鱼苗买2000尾．（2）由题意得：0.5%+0.8（6000-%）<4200解这个不等式，得：%>2000即购买甲种鱼苗应不少于2000尾．练习23%<2%+4.不等式组L+3 ।的解集在数轴上表示为（——-%<-13 4A-3 4B3 4C3 4A-3 4B3 4C.已知一次函数尸%-2,当函数值y>0时，自变量%的取值范围在数轴上表示正确的是（ ）儿—j . C. 、,D. W.-20 2 02 -20 -2023.在芦山地震抢险时，太平镇部分村庄需8组战士步行运送物资，要求每组分配的人数相同.若按每组人数比预定人数多分配1人,则总数会超过100人；若按每组人数比预定人数少分配1人,则总数不够90人,那么预定每组分配的人数是（）A.10人 B.11人 C12人 D.13人练习3“二广”高速在益阳境内的建设正在紧张地进行,现有大量的沙石需要运输．“益安”车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆,全部车辆运输一次能运输110吨沙石．（1）求“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车各有多少辆？

（2）随着工程的进展，“益安”车队需要一次运输沙石165吨以上，为了完成任务，准备新增购这两种卡车共6辆，车队有多少种购买方案，请你一一写出．分析：（1）根据“‘益安’车队有载重量为8吨、10吨的卡车共12辆，全部车辆运输一次能运输110吨沙石”分别得出等式组成方程组，求出即可；（2）利用“‘益安’车队需要一次运输沙石165吨以上”得出不等式求出购买方案即可．解答：解：（1）设“益安”车队载重量为8吨、10吨的卡车分别有1辆、y辆，根据题意得：x+y=12根据题意得：x+y=128x+10y=110解之得：厂丁，“益安”车队载重量为8吨的卡车有5辆，10吨的卡车有7辆；（2）设载重量为8吨的卡车增加了z辆，依题意得：8（5+z）+10（7+6-z）>165,解之得：z<•・•z>0且为整数，・•.z=0,1,2；A6-z=6,5,4.・,.车队共有3种购车方案：①载重量为8吨的卡车不购买，10吨的卡车购买6辆；②载重量为8吨的卡车购买1辆，10吨的卡车购买5辆；③载重量为8吨的卡车购买2辆，10吨的卡车购买4辆.2.2013年4月20日,我省雅安市芦山县发生了里氏7.0级强烈地震．某厂接到在规定时间内加工1500顶帐篷支援灾区人民的任务．在加工了300顶帐篷后,厂家把工作效率提高到原来的1.5倍,于是提前4天完成任务,求原来每天加工多少顶帐篷？考点：分式方程的应用.分析：设该厂原来每天生产x顶帐篷，提高效率后每天生产1.5x顶帐篷，根据原来的时间比实际多4天建立方程求出其解即可.解答：解：设该厂原来每天生产x顶帐篷，提高效率后每天生产1.5x顶帐篷，据题意得：1500_ 300+1500-300,解得：x=100.经检验，x=100是原分式方程的解.答：该厂原来每天生产100顶帐篷.3.“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具。某运动商城的自行车销售量自2013年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆。（1）若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？（2）考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆。根据销售经验，A型车