冲刺2020年数学中考专题练习题：《直角三角形斜边上的中线》

冲刺2020年数学中考专题练习：《直角三角形斜边上的中线》一．选择题1．如图，在Rt△ABC中，CE是斜边AB上的中线，CD⊥AB，若CD＝5，CE＝6，则△ABC的面积是（）A．24 B．25 C．30 D．362．在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，BD平分∠ABC，P点是BD的中点，若AD＝6，则CP的长为（）A．3 B．3.5 C．4 D．4.53．如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，DE∥AB，交AC于点E，ED＝3，则AE的长为（）A．1.5 B．2 C．3 D．3.54．如图，∠MON＝90°，已知△ABC中，AC＝BC＝AB＝6，△ABC的顶点A、B分别在边OM、ON上，当点B在边ON上运动时，A随之在OM上运动，△ABC的形状始终保持不变，在运动的过程中，点C到点O的距离为整数的点有（）个．A．5 B．6 C．7 D．85．到直角三角形的三个顶点距离相等的点（）A．是该三角形三个内角平分线的交点 B．是斜边上的中点 C．在直角三角形的外部 D．在直角三角形的内部6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于点G，CD＝AE．若BD＝8，CD＝5，则△DCG的面积是（）A． B． C． D．7．如图，已知A（3，6）、B（0，n）（0＜n≤6），作AC⊥AB，交x轴于点C，M为BC的中点，若P（，0），则PM的最小值为（）A．3 B． C． D．8．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，AD＝3，CE＝5，则CD等于（）A．3 B．4 C． D．9．已知，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是AB，BC的中点，延长AC到F，使得CF＝AC，连接EF．若EF＝4，则AB的长为（）A．8 B． C．4 D．10．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为BC上一点，CE＝5，F为DE的中点．若△CEF的周长为18，则OF的长为（）A． B． C．3 D．4二．填空题11．如图，在△ABC中，CD⊥AB于点D，BE⊥AC于点E，F为BC的中点，DE＝5，BC＝8，则△DEF的周长是．12．已知：如图，四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，AC与BD相交于点O，E、F分别是AC、BD的中点．则∠EFO＝．13．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，CE是AB边上的中线，若AD＝3，CE＝5，则CD等于．14．如图，△ABC中，AB＝AC，以AC为斜边作Rt△ADC，使∠ADC＝90°，∠CAD＝∠CAB＝28°，E、F分别是BC、AC的中点，则∠EDF＝．15．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E分别是边AB，AC的中点，延长BC至F，使CF＝BC，若EF＝13，则线段AB的长为．16．如图，DE是Rt△ABD的斜边AB上的中线，AB＝12，在ED上找一点F，使得DF＝2，连结AF并延长至C，使得AF＝CF，连结CD，CB，则CB长为．三．解答题17．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的中线，过点A作AE⊥CD于点F，交CB于点E，且∠EAB＝∠DCB．（1）求∠B的度数：（2）求证：BC＝3CE．18．在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，F为AC的中点，AE∥BC交BD的延长线于点E，其中∠FBC＝2∠FBD．（1）求∠EDC的度数．（2）求证：BF＝AE．19．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，DG⊥CE于G，CD＝AE．（1）求证：CG＝EG．（2）已知BC＝13，CD＝5，连结ED，求△EDC的面积．20．如图1，已知锐角△ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，M、N分别是线段BC、DE的中点．（1）求证：MN⊥DE．（2）连结DM，ME，猜想∠A与∠DME之间的关系，并证明猜想．（3）当∠A变为钝角时，如图2，上述（1）（2）中的结论是否都成立，若结论成立，直接回答，不需证明；若结论不成立，说明理由．

参考答案一．选择题1．解：∵CE是斜边AB上的中线，∴AB＝2CE＝2×6＝12，∴S△ABC＝×CD×AB＝×5×12＝30，故选：C．2．解：∵∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，∴∠A＝30°，∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠DBA＝30°，∴BD＝AD，∵AD＝6，∴BD＝6，∵P点是BD的中点，∴CP＝BD＝3．故选：A．3．解：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴BD＝CD，∵DE∥AB，∴AE＝CE，∴DE＝AE＝AB＝3，故选：C．4．解：如图，取AB的中点D，连接CD．∵AC＝BC＝AB＝6．∵点D是AB边中点，∴BD＝AB＝3，∴CD＝＝3；连接OD，OC，有OC≤OD+DC，当O、D、C共线时，OC有最大值，最大值是OD+CD，又∵△AOB为直角三角形，D为斜边AB的中点，∴OD＝AB＝3，∴3﹣3≤OD+CD≤3+3．∴点C到点O的距离为整数的点有5个，故选：A．5．解：∵在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，∴直角三角形斜边的中点到直角三角形的三个顶点距离相等的点，故选：B．6．解：连接DE，∵AD是BC边上的高线，CE是AB边上的中线，∴AE＝ED＝BE，∵CD＝AE．∴ED＝CD，∵DG⊥CE于点G，∴EG＝GC，∵BD＝8，CD＝5，∴DE＝5，∴AB＝10，∴AD＝6，过E作EF⊥BC于F，∵△ABC的面积＝，∴△BEC的面积＝，∵△BED的面积＝，∴△EDC的面积＝﹣12＝，∴△DGC的面积＝，故选：D．7．解：如图，作AH⊥y轴于H，CE⊥AH于E，作MN⊥OC于N．则四边形CEHO是矩形，OH＝CE＝6，∵∠BAC＝∠AHB＝∠AEC＝90°，∴∠ABH+∠HAB＝90°，∠HAB+∠EAC＝90°，∴∠ABH＝∠EAC，∴△AHB∽△CEA，∴＝，∴＝，∴AE＝2BH，设BH＝x，则AE＝2x，∴OC＝HE＝3+2x，OB＝6﹣x，∴B（0，6﹣x），C（3+2x，0）∵BM＝CM，∴M（，），∵P（，0），∴PN＝ON﹣OP＝﹣＝x，∴PM2＝PN2+MN2＝x2+（）2＝x2﹣3x+9＝（x﹣）2+，∴x＝时，PM2有最小值，最小值为，∴PM的最小值为＝．故选：D．8．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，∴AE＝CE＝5，∵AD＝3，∴DE＝2，∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，CD＝＝，故选：C．9．解：连接CD，∵点D，E分别是AB，BC的中点，∴DE∥AC，DE＝AC．∵延长AC到F，使得CF＝AC，∴DE∥CF且DE＝CF，∴四边形CDEF是平行四边形．∴CD＝EF＝4．∵∠ACB＝90°，CD为斜边AB中线，∴AB＝2CD＝8．故选：A．10．解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCE＝90°，OD＝OB，∵DF＝FE，∴CF＝FE＝FD，∵EC+EF+CF＝18，EC＝5，∴EF+FC＝13，∴DC＝＝12，∴BC＝CD＝12，∴BE＝BC﹣EC＝7，∵OD＝OB，DF＝FE，∴OF＝BE＝，故选：A．二．填空题（共6小题）11．解：∵CD⊥AB，F为BC的中点，∴DF＝BC＝×8＝4，∵BE⊥AC，F为BC的中点，∴EF＝BC＝×8＝4，∴△DEF的周长＝DE+EF+DF＝5+4+4＝13．故答案为：13．12．解：连接EB、ED，∵∠ABC＝90°，E是AC的中点，∴BE＝AC，同理，DE＝AC，∴EB＝ED，又F是BD的中点，∴EF⊥BD，∴∠EFO＝90°，故答案为：90°．13．解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CE为AB边上的中线，CE＝5，∴AE＝CE＝5，∵AD＝3，∴DE＝2，∵CD为AB边上的高，∴在Rt△CDE中，CD＝，故答案为：14．解：∵∠ADC＝90°，F是AC的中点，∴DF＝AC＝AF，∴∠FDA＝∠CAD＝28°，∴∠DFC＝∠FDA+∠CAD＝56°，∵E、F分别是BC、AC的中点，∴EF＝AB，EF∥AB，∴∠EFC＝∠CAB＝28°，∴∠EFD＝56°+28°＝84°，∵AB＝AC，∴FE＝FD，∴∠EDF＝∠DEF＝×（180°﹣84°）＝48°，故答案为：48°．15．解：∵点D，E分别是边AB，AC的中点，∴DE＝BC，DE∥BC，∵CF＝BC，∴DE＝CF，又DE∥CF，∴四边形DEFC为平行四边形，∴CD＝EF＝13，∵∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，∴AB＝2CD＝26，故答案为：26．16．解：∵DE是Rt△ABD的斜边AB上的中线，∴DE＝AB＝6，∴EF＝DE﹣DF＝4，∵AF＝CF，AE＝EB，∴BC＝2EF＝8，故答案为：8．三．解答题（共4小题）17．解：（1）∵AE⊥CD，∴∠AFC＝∠ACB＝90°，∴∠CAF+∠ACF＝∠ACF+∠ECF＝90°，∴∠ECF＝∠CAF，∵∠EAD＝∠DCB，∴∠CAD＝2∠DCB，∵CD是斜边AB上的中线，∴CD＝BD，∴∠B＝∠DCB，∴∠CAB＝2∠B，∵∠B+∠CAB＝90°，∴∠B＝30°；（2）∵∠B＝∠BAE＝∠CAE＝30°，∴AE＝BE，CE＝AE，∴BC＝3CE．18．解：（1）∵∠ABC＝90°，BD为∠ABC的角平分线，∴∠ABD＝∠DBC＝45°，∵∠FBC＝2∠FBD．∴∠FBD＝15°，∠FBC＝30°，∵∠ABC＝90°，点F是AC中点，∴AF＝BF＝CF，∴∠C＝∠FBC＝30°，∴∠EDC＝∠C+∠DBC＝75°；（2）∵∠C＝30°，∠ABC＝90°，∴AC＝2AB，∴AB＝AF＝BF，∵AE∥BC，∴∠E＝∠DBC＝45°＝∠ABD，∴AB＝AE，∴AE＝BF．19．（1）证明：连接DE，在Rt△ADB中，点E是AB的中点，∴DE＝AB＝AE，∵CD＝AE，∴DE＝DC，又DG⊥CE，∴CG＝EG．（2）解：作EF⊥BC于F，∵BC＝13，CD＝5，∴BD＝13﹣5＝8，∵DE＝BE，EF⊥BC，∴DF＝BF＝4，∴EF＝＝＝3，∴△EDC的面积＝×CD×EF＝×5×3＝7.5．20．（1）证明：如图，连接DM，ME，∵CD、BE分别是AB、AC边上的高，M是BC的中点，∴DM＝BC，ME＝BC，∴DM＝ME，又∵N为DE中点，∴MN⊥DE；（2）在△ABC中，∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵DM＝ME＝BM＝MC，∴