广东省惠州市-九年级(上)期中数学试卷

九年级（上）期中数学试卷题号一二三总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.下列方程中，一元二次方程有（）

①3x2+x=20；②2x2-3xy+4=0；③x2−1x=4；④x2=1；⑤x2−x3+3=0A.2个 B.3个 C.4个 D.5个二次函数y=-2（x-1）2+3的图象的顶点坐标是（）A.(1,3) B.(−1,3) C.(1,−3) D.(−1,−3)如图，∠1=∠2，则下列各式不能说明△ABC∽△ADE的是（）A.∠D=∠B

B.∠E=∠C

C.ADAB=AEAC

D.ADAB=DEBC

将抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位，所得抛物线为（）A.y=3(x−2)2−1 B.y=3(x−2)2+1 C.y=3(x+2)2−1 D.y=3(x+2)2+1抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，则k的取值范围是（）A.k>−74 B.k≥−74且k≠0

C.k≥−74 D.k>−74且k≠0如图，小正方形的边长均为1，则图中三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（）A. B.

C. D.如图，AB是⊙O的直径，点C、D在⊙O上，∠BOC=100°，AD∥OC，则∠AOD=（）A.20∘

B.60∘

C.50∘

D.40∘

如图，在Rt△ABC中，∠ACB=Rt∠，CD⊥AB，D为垂足，且AD=3，AC=35，则斜边AB的长为（）A.36

B.15

C.95

D.3+35

如图，若将△ABC绕点C顺时针旋转90°后得到△A′B′C′，则A点的对应点A′的坐标是（）A.(−3,−2)

B.(2,2)

C.(3,0)

D.(2,1)

二、填空题（本大题共6小题，共24.0分）已知方程ax2+7x-2=0的一个根是-2，则a的值是______．在平面直角坐标系中，点P（-20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，则a+b的值为______．如图，D是等腰直角三角形ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则∠DAD′的度数是______．

在相同时刻物高与影长成比例，如果高为1.5

m的测竿的影长为2.5m，那么影长为30m的旗杆的高度是______m．如图，在半径为13的⊙O中，OC垂直弦AB于点D，交⊙O于点C，AB=24，则CD的长是______．

如图，DF∥EG∥BC．AD=DE=EB，则DF、EG把△ABC分成三部分的面积比S1：S2：S3为______．

三、解答题（本大题共9小题，共66.0分）用合适的方法解下列方程

（1）x2-2x-3=0

（2）（x+3）2=2（x+3）

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠BDC．

（1）求证：△ABD∽△DCB；

（2）若AB=12，AD=8，CD=15，求DB的长．

如图，在平面直角坐标系中，网格中每个小正方形的边长为1，已知△ABC

（1）将△ABC绕点O顺时针旋转90画出旋转后得到的△A1B1C1；

（2）画出△ABC以坐标原点O为位似中心的位似图形△A2B2C2，使△A2B2C2在第二象限，与△ABC的位似比是12．

如图，四边形ABCD是正方形，△ADF绕着点A顺时旋转90°得到△ABE，若AF=4，AB=7．

（1）求DE的长度；

（2）指出BE与DF的关系如何？并说明由．

某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价一元，日销售量将减少20千克．

（1）现要保证每天盈利6000元，同时又要让顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元？

（2）若该商场单纯从经济角度看，那么每千克应涨价多少元，能使商场获利最多．

已知：m，n是方程x2-6x+5=0的两个实数根，且m＜n，抛物线y=-x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n）．

（1）求这个抛物线的解析式；

（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一交点为C，抛物线的顶点为D，试求出点C，D的坐标和△BCD的面积．

如图，在▱ABCD中，AB⊥AC，AB=1，BC=5，对角线AC，BD交于O点，将直线AC绕点O顺时针旋转，分别交于BC，AD于点E，F．

（1）证明：当旋转角为90°时，四边形ABEF是平行四边形；

（2）试说明在旋转过程中，线段AF与EC总保持相等；

（3）在旋转过程中，四边形BEDF可能是菱形吗？如果不可能，请说明理由；如果可能，说明理由并求出此时AC绕点O顺时针旋转的度数．

如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6cm，BC=8cm．动点M从点B出发，在BA边上以每秒3cm的速度向定点A运动，同时动点N从点C出发，在CB边上以每秒2cm的速度向点B运动，且MG⊥BC，运动时间为t秒（0＜t＜103），连接MN．

（1）用含t的式子表示MG；

（2）当t为何值时，四边形ACNM的面积最小？并求出最小面积；

（3）若△BMN与△ABC相似，求t的值．

如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴相交于点A（-1，0）、B（3，0），与y轴相交于点C，点P为线段OB上的动点（不与O、B重合），过点P垂直于x轴的直线与抛物线及线段BC分别交于点E、F，点D在y轴正半轴上，OD=2，连接DE、OF．

（1）求抛物线的解析式；

（2）当四边形ODEF是平行四边形时，求点P的坐标；

（3）过点A的直线将（2）中的平行四边形ODEF分成面积相等的两部分，求这条直线的解析式．（不必说明平分平行四边形面积的理由）

答案和解析1.【答案】C

【解析】【分析】

本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【解答】

解：A.不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；

B.是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；

C.是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确；

D.不是轴对称图形，也不是中心对称图形．故错误．

故选C．2.【答案】B

【解析】解：①符合一元二次方程定义，正确；

②方程含有两个未知数，错误；

③不是整式方程，错误；

④符合一元二次方程定义，正确；

⑤符合一元二次方程定义，正确．

故选：B．

本题根据一元二次方程的定义解答．

一元二次方程必须满足四个条件：

（1）未知数的最高次数是2；

（2）二次项系数不为0；

（3）是整式方程；

（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案．

判断一个方程是否是一元二次方程时，首先判断方程是整式方程，若是整式方程，再把方程进行化简，化简后是含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，在判断时，一定要注意二次项系数不是0．3.【答案】A

【解析】解：二次函数y=-2（x-1）2+3的图象的顶点坐标为（1，3）．

故选：A．

根据二次函数顶点式解析式写出顶点坐标即可．

本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式写出顶点坐标的方法是解题的关键．4.【答案】D

【解析】解：A和B符合有两组角对应相等的两个三角形相似；

C、符合两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似；

D、对应边成比例但无法证明其夹角相等，故其不能推出两三角形相似．

故选：D．

根据∠1=∠2，可知∠DAE=∠BAC，因此只要再找一组角或一组对应边成比例即可．

此题考查了相似三角形的判定：

①有两个对应角相等的三角形相似；

②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；

③三组对应边的比相等，则两个三角形相似．5.【答案】C

【解析】解：抛物线y=3x2向左平移2个单位，再向下平移1个单位后的抛物线顶点坐标为（-2，-1），

所得抛物线为y=3（x+2）2-1．

故选：C．

先求出平移后的抛物线的顶点坐标，再利用顶点式写出抛物线解析式即可．

本题考查了二次函数图象与几何变换，求出平移后的抛物线的顶点坐标是解题的关键．6.【答案】B

【解析】解：∵抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，

即y=0时方程kx2-7x-7=0有实数根，

即△=b2-4ac≥0，即49+28k≥0，

解得k≥-，且k≠0．

故选：B．

抛物线y=kx2-7x-7的图象和x轴有交点，即一元二次方程kx2-7x-7=0有解，此时△≥0．

考查抛物线和一元二次方程的关系．7.【答案】B

【解析】解：∵小正方形的边长均为1

∴△ABC三边分别为2，，

同理：A中各边的长分别为：，3，；

B中各边长分别为：，1，；

C中各边长分别为：1、2，；

D中各边长分别为：2，，；

∵只有B项中的三边与已知三角形的三边对应成比例，且相似比为

故选：B．

设小正方形的边长为1，根据已知可求出△ABC三边的长，同理可求出阴影部分的各边长，从而根据相似三角形的三边对应成比例即可得到答案．

此题主要考查学生对相似三角形的判定方法的理解及运用．8.【答案】A

【解析】解：∵∠BOC=100°，∠BOC+∠AOC=180°，

∴∠AOC=80°，

∵AD∥OC，OD=OA，

∴∠D=∠A=∠AOC=80°，

∴∠AOD=180°-2∠A=20°．

故选：A．

根据三角形内角和定理可求得∠AOC的度数，再根据平行线的性质及三角形内角和定理即可求得∠AOD的度数．

本题考查平行线性质、三角形内角和定理、等腰三角形的性质、圆的有关知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．9.【答案】B

【解析】解：∵∠ACB=∠ADC=90°，∠A=∠A

∴△ADC∽△ACB

∴AD：AC=AC：AB

∵AD=3，AC=3

∴AB=15

故选：B．

先确定△ADC与△ACB相似，再根据相似三角形对应边成比例求出AB的长．

此题考查学生对相似三角形的性质的理解及运用，其中由相似三角形的性质得出比例式是解题关键．注意：求相似比不仅要认准对应边，还需注意两个三角形的先后次序．10.【答案】C

【解析】解：由图知A点的坐标为（-1，2），根据旋转中心C，旋转方向顺时针，旋转角度90°，画图，从而得A′点坐标为（3，0）．

故选：C．

根据旋转的概念结合坐标系内点的坐标特征解答．

本题涉及图形的旋转，体现了新课标的精神，应抓住旋转的三要素：旋转中心，旋转方向，旋转角度，通过画图求解．11.【答案】4

【解析】解：根据题意知，x=-2满足方程ax2+7x-2=0，则4a-14-2=0，即4a-16=0，

解得，a=4．

故答案是：4．

根据一元二次方程的解的定义，将x=-2代入已知方程，通过一元一次方程来求a的值．

本题考查的是一元二次方程的根即方程的解的定义．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．12.【答案】7

【解析】解：∵点P（-20，a）与点Q（b，13）关于原点对称，

∴b=20，a=-13，

∴a+b=20-13=7，

故答案为：7．

首先根据关于原点对称的点的坐标特点可得a、b的值，然后在计算a+b的值．

此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反．13.【答案】90°

【解析】解：∵D是等腰直角三角形ABC内一点，BC是斜边，

∴∠BAC=90°，

∵将△ABD绕点A按逆时针方向旋转到△ACD′的位置，

∴∠DAD′=∠BAC=90°．

故答案为90°．

先由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=90°，再根据对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角即可作答．

本题考查旋转的性质：对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转变化前后，对应线段、对应角分别相等，图形的大小、形状都不改变．要注意旋转的三要素：①定点为旋转中心；②旋转方向；③旋转角度．14.【答案】18

【解析】解：∵，

∴，

解得旗杆的高度==18m．

故答案为：18．

根据同一时刻物高与影长成比例，列出比例式再代入数据计算即可．

本题考查相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立数学模型来解决问题．15.【答案】8

【解析】解：连接OA，

∵OC⊥AB，AB=24，

∴AD=AB=12，

在Rt△AOD中，

∵OA=13，AD=12，

∴OD===5，

∴CD=OC-OD=13-5=8．

故答案为：8．

连接OA，先根据垂径定理求出AD的长，再在Rt△AOD中利用勾股定理求出OD的长，进而可得出CD的长．

本题考查的是垂径定理及勾股定理，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．16.【答案】1：3：5

【解析】解：∵DF∥EG∥BC，

∴△ADF∽△AEG∽△ABC，

∵AD=DE=EB，

∴得到三角形的相似比是1：2：3，因而面积的比是1：4：9，

设△ADF的面积是x，则△AEG，△ABC的面积分别是4x，9x，则S四边形DEGF=3x，S四边形EBCG=5x，

∴S1：S2：S3=1：3：5．

故答案为：1：3：5．

由题可知△ADF∽△AEG∽△ABC，因而得到相似比，从而推出面积比．

本题主要考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键．17.【答案】解：（1）（x-3）（x+1）=0，

x-3=0或x+1=0，

解得x=3或x=-1；

（2）移项，得（x+3）2-2（x+3）=0，

∴（x+3）（x+3-2）=0

∴（x+3）（x+1）=0

∴x1=-3，x2=-1．

【解析】

（1）用因式分解的十字相乘法求解比较简便；

（2）用因式分解的提公因式法求解比较简便．

本题考查了一元二次方程的解法，选择适当的方法解一元二次方程可事半功倍．解一元二次方程的方法有：直接开平方法，公式法，配方法，因式分解法等．18.【答案】（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC．

∵∠A=∠BDC，

∴△ABD∽△DCB；

（2）∵△ABD∽△DCB，AB=12，AD=8，CD=15，

∴DBAD=CDAB，即DB8=1512，

解得DB=10，

DB的长10．

【解析】

（1）根据平行线的性质，可得∠ADB与∠DBC的关系，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可得答案；

（2）根据相似三角形的性质，可得答案．

本题考查了相似三角形的判定与性质，利用了两个角对应相等的两个三角形相似，利用相似三角形的对应边成比例是解题关键．19.【答案】解：（1）如图所示，△A1B1C1即为所求．

（2）如图所示，△A2B2C2即为所求．

【解析】

（1）根据旋转变换的定义作出点A，B，C变换后的对应点，再顺次连接即可得；

（2）根据位似变换的定义作出点A，B，C变换后的对应点，再顺次连接即可得．

本题主要考查作图-位似变换与旋转变换，解题的关键是熟练掌握位似变换与旋转变换的定义与性质．20.【答案】解：（1）∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，

∴AE=AF=4，AD=AB=7，

∴DE=AD-AE=7-4=3；

（2）BE、DF的关系为：BE=DF，BE⊥DF．理由如下：

∵△ADF按顺时针方向旋转一定角度后得到△ABE，

∴△ABE≌△ADF，

∴BE=DF，∠ABE=∠ADF，

∵∠ADF+∠F=180°-90°=90°，

∴∠ABE+∠F=90°，

∴BE⊥DF，

∴BE、DF的关系为：BE=DF，BE⊥DF．

【解析】

（1）根据旋转的性质可得AE=AF，AD=AB，然后根据DE=AD-AE计算即可得解；

（2）根据旋转可得△ABE和△ADF全等，根据全等三角形对应边相等可得BE=DF，全等三角形对应角相等可得∠ABE=∠ADF，然后求出∠ABE+∠F=90°，判断出BE⊥DF．

本题考查了旋转的性质，正方形的性质，是基础题，熟记旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键．21.【答案】解：（1）设每千克应涨价x元，

根据题意得：（10+x）（500-20x）=6000，

解得：x1=10，x2=5，

∵要让顾客得到实惠，

∴x=10舍去，即x=5，

答：每千克应涨价为5元；

（2）设每千克应涨价x元，利润为w元，

根据题意得：w=（10+x）（500-20x）=-20x2+300x+5000，

w=-20（x-7.5）2+6125，

∵-20＜0，

∴w有最大值，

即当x=7.5时，w有最大利润为6125元，

答：若该商场单纯从经济角度看，每千克应涨价7.5元，商场获利最多为6125元．

【解析】

（1）设每千克应涨价x元，则每千克盈利（10+x）元，每天可售出（500-20x）千克，根据利润=每千克盈利×日销售量，列方程解出即可，根据要让顾客得到实惠，所以涨价要选择最小的，即每千克应涨价为5元；

（2）设每千克应涨价x元，利润为w元，根据（1）的等量关系列函数解析式，配方求最值即可．

本题考查了一元二次方程和二次函数的应用，属于销售利润问题，明确利润=每千克盈利×日销售量是本题的关键，重点理解“每千克涨价一元，日销售量将减少20千克”根据所设的未知数表示此时的销售量，与二次函数的最值结合，求出结论．22.【答案】解：（1）解方程x2-6x+5=0，

解得：x1=1，x2=5，

则m=1，n=5．

A的坐标是（1，0），B的坐标是（0，5）．

代入二次函数解析式得：−1+b+c=0c=5，

解得：b=−4c=5，

则函数的解析式是y=-x2-4x+5；

（2）解方程-x2-4x+5=0，

解得：x1=-5，x2=1．

则C的坐标是（-5，0）．

y=-x2-4x+5=-（x2+4x+4）+9=-（x+2）2+9，

则D的坐标是（-2，9）．

作DE⊥y轴于点E，则E坐标是（0，9）．

则S梯形OCDE=12（OC+DE）•OE=12×（2+5）×9=632，

S△DEB=12BE•DE=12×4×2=4，

S△OBC=12OC•OB=12×5×5=252，

则S△BCD=S梯形OCDE-S△DEB-S△OBC=632-4-252=15．

【解析】

（1）首先解方程求得m和n的值，得到A和B的坐标，然后利用待定系数法即可求得解析式；

（2）首先求得C和D的坐标，作作DE⊥y轴于点E，根据S△BCD=S梯形OCDE-S△DEB-S△OBC求解．

本题考查了待定系数法求函数的解析式以及图形的面积的计算，正确作出辅助线转化为易求面积的图形的和、差是关键．23.【答案】（1）证明：当旋转角为90°时，

∵∠BAC=90°，

∴EF∥AB

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AF∥BE，

∴四边形ABEF是平行四边形；

（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OA=CO，AD∥BC，

∴∠FAO=∠ECO，

在△AFO和△CEO中

∠FAO=∠ECOAO=CO∠AOF=∠COE

∴△AFO≌△CEO（ASA），

∴AF=CE；

（3）解：可以成菱形，当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，

理由是：∵由（2）知：△AFO≌△CEO，

∴OE=OF，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴OB=OD，

∴四边形BEDF是平行四边形，

∵EF⊥BD，

∴四边形BEDF是菱形；

∵AB⊥AC，

∴∠BAO=90°，

∵在Rt△ABC中，AB=1，BC=5，由勾股定理得：AC=2，

∴AO=CO=1=AB，

∴∠AOB=∠ABO=45°，

∵EF⊥BD，

∴∠FOB=90°，

∴∠FOA=90°-45°=45°，

∴此时AC绕点O顺时针旋转的角度是45°．

【解析】

（1）求出EF∥AB根据平行四边形的性质得出AF∥BE，根据平行四边形的判定得出即可；

（2）根据平行四边形的性质得出OA=CO，AD∥BC，求出∠FAO=∠ECO，根据ASA推出△AFO≌△CEO，即可得出答案；

（3）可以成菱形，当EF⊥BD时，四边形BEDF为菱形，根据菱形的判定得出即可；求出∠AOB=45°，即可得出答案．

本题考查了平行四边形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，菱形的判定的应用，能综合运用知识点进行推理是解此题的关键．24.【答案】解：（1）由运动知，BM=3t，

在Rt△ABC中，AC=6，BC=8，

∴AB=10，

∵MG⊥BC，

∴∠MGB=90°=∠ACB，

∵∠B=∠B，

∴△BGM∽△BCA，

∴MGCA=BMAB，

∴MG6=3t10，

∴MG=95t；

（2）由运动知，CN=2t，

∴BN=BC-CN=8-2t，

由（1）知，MG=95t，

∴S四边形ACNM=S△ABC-S△BNM=12BC×AC-12BN×MG=12×8×6-12（8-2t）×95t=95（t-2）2+845，

∵0＜t＜103，

∴t=2秒时，S四边形ACNM最小=845cm2；

（3）由（1）（2）知，BM=3t，BN=8-2t，

∵△BMN与△ABC相似，

∴①当△BMN∽BAC时，BMAB=BNBC，

∴3t10=8−2t8，

∴t=2011秒，

②当△BMN∽△BCA时，BMBC=BNAB，

∴3t8=8−2t10，

∴t=43秒，

即：△BMN与△ABC相似，t的值为2011秒或43秒．

【解析】

（1）先利用勾股定理求出AB=10，再判断出△BGM∽△BCA，得出比例式即可得出结论；

（2）先表示出MN，最后利用三角形的面积差即可建立函数关系式，即可得出结论；

（3）先表示出BM，BN，再分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解即可得出结论．

此题是相似形综合题，主要考查了勾股定理，三角形的面积公式，相似三角形的判定和性质，用方程是思想解决问题是解本题的关键．25.【答案】解：（1）∵点A（-1，0）、B