2019年全国各地中考数学真题试卷解析分类汇编：二次函数解答题

2019年全国各地中考数学真题试卷解析分类汇编：二次函数121▪湖北▪0如知物线+b+c点（﹣05MCC8AMBCD（0，m）y23PDPd（m）【分（）数表式为（1﹣，即求；（2S四边形MCA（﹣即求；抛线表式x2，可解．【解1函表达为（+（﹣5（2﹣﹣x，点M，﹣（2当＝8，（1（﹣5＝，点8，9S四边形AMBC＝×6×（9+3）＝36；（3）（+（﹣（24﹣）（﹣）﹣3，抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位得到一条新的抛物线，则新物表式x2，则点D动点P间离PD＝，，PD有小当时，PD最值．【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到图形平移、面积的计算等知识点，难度不大．2.（201912分每袋成本10元．试销阶段每袋的销售价x（元）与该士特产的日销售量y（袋）之间的关系如表：xx（元）152030…y（袋）252010…若日销售量y是销售价x的一次函数，试求：y（）x（元元）（2）利用每件利润×总销量＝总利润，进而求出二次函数最值即可．【解答】解：y＝kx+b得，解得故日销售量y（袋）与销售价x（元）的函数关系式为：y＝﹣x+40w元，得w（10（+4）+5400w＝﹣（x﹣25）2+225∵﹣1＜0∴当x＝2时，w取得最大值，最大值为225故要使这种土特产每日销售的利润最大，每袋的销售价应定为25元，每日销售的最大利润是225元．＝3（2019•山东省滨州市•14分如①，抛线x+4与y交点A，与x轴交于点B，C，将直线AB绕点A逆时针旋转90°，所得直线与x轴交于点D．AD②PAD①当点P到直线AD的距离最大时，求点P的坐标和最大距离；②点P直线AD离时求的．【考点】二次函数【分（1）据线y＝﹣x+4与y交点A，与x轴于点B，C，可以A.B.CABA90xDDAD（2）①根据题意，作出合适的辅助线，然后根据二次函数的性质即可求得点P到直线AD的距离最大值，进而可以得到点P的坐标；②根据①中关系式和题意，可以求得点P对应的坐标，从而可以求得sin∠PAD的值．当0时，＝4A（，4当0时02+解得＝﹣＝点B的标（﹣0点C8，∴OA＝OB＝4，∴∠OBA＝∠OAB＝45°，∵将直线AB绕点A逆时针旋转90°得到直线AD，∴∠BAD＝90°，∴OAD＝45°，∴∠ODA＝45°，∴OA＝OD，∴点D（4，设直线AD的函数解析式为y＝kx+b，，得，即直线AD的函数解析式为y＝﹣x+4；（2）作PN⊥x轴交直线AD于点N，如右图①所示，设点P坐为（2+4则点N的标（，﹣4t，∴PN⊥x轴，∴PN∥y轴，∴∠OAD＝∠PNH＝45°，作PH⊥AD于点H，则∠PHN＝90°，，∴当t＝6，PH取大，此点P坐（6，即点P到线D的离最时点P坐（6，大离；②点P直线AD离时，右②所，则，解得，t1＝2，t2＝10，则1的标22的坐为10当1的标2则PA，∴sin∠P1AD＝ ；当2的标1，﹣，则PA＝ ＝ ，∴sin∠P2AD＝ ＝ ；由上得的是．【点评】本题是一道二次函数综合题，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．4.(201912ax2bxcA（2，5xB（1，0，（，0）两点，Dx△BCDBD△BCD，若点C恰好落在抛物线的对称轴上，求点C和点D的坐标；设PQ△CPQBP5.（09•10）＝﹣+b﹣2（202（c．（，1，求b，cc（条下在正数mmn当≤≤n≤，求m，n的值．可知，y＝﹣2（x﹣1）2+1B.c0（2，0（﹣，﹣0c＝2x2+2020c≥2020；0质推，得1≤m＜n．由次数象性得到当x＝m时，y最大值，＝﹣24﹣1当n时y最小值﹣2+4﹣1所＝﹣24﹣1＝2n+4n，﹣1通过解方程求得m、n的值．）﹣2（﹣）+＝﹣x+﹣1．∴．∴b＝6，c＝2019．（2设物线关点对且重的点标分是，0（﹣，﹣0代入析可： ．∴两式相加可得：﹣4x02+2（c﹣2020）＝0．0∴c＝2x2+2020，0∴c≥2020；（3）由（1）可知抛物线为y＝﹣2x2+4x﹣1＝﹣2（x﹣1）2+1．∴y≤1．∵0＜m＜n，当m≤x≤n时，，∴ ．．≤1，即m≥1．∴1≤m＜n．∵抛物线的对称轴是x＝1，且开口向下，∴当m≤x≤n时，y随x的增大而减小．∴当x＝m时，y最大值＝﹣2m2+4m﹣1．当x＝n时，y最小值＝﹣2n2+4n﹣1．，∴ ．将①整理，得2n3﹣4n2+n+1＝0，n（n1﹣2n+（﹣）＝．∴（﹣1（222n1＝0．∵n＞1，∴2n2﹣2n﹣1＝0．解得（舍去，2．②（﹣1（m﹣m﹣）0．∵1≤m＜n，∴2m2﹣2m﹣1＝0．解得1＝m（舍3（去．．【点评】主要考查了二次函数综合题，解答该题时，需要熟悉二次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象的对称性，二次函数图象的增减性，二次函数最值的意义以及一元二次方程的解法．该题计算量比较大，需要细心解答．难度较大．6.（2019••14∠B＝3O顺时针旋转0RO﹣+b+c的图象刚好经过A，B，C三点．PQl：y＝kx﹣k+3M，N①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．（）ABC，3（，0，0（2）S△N＝Q×（2﹣1，则2﹣1＝4，即可求解；②12＝＝﹣1③MNHHPMNO＝，aAO3O3O＝3，即点A.BC（0，，0（0a（3+）a（﹣23即：﹣3a＝3a＝﹣1，点（14（2）将二次函数与直线l的表达式联立并整理得：x2﹣（2﹣k）x﹣k＝0，设点、N（，（，x1+x2＝2﹣k，x1x2＝﹣k，则：y1+y2＝k（x1+x2）﹣2k+6＝6﹣k2，同理：y1y2＝9﹣4k2，①＝+1＝Q1，S△PN＝P×（21，则2＝4，，；点N，（，（，4则线PM表式的k1值为： ，线PN表中的k2值： ，PM⊥PN，即：△PMN恒为直角三角形；③取MN的中点H，则点H是△PMN外接圆圆心，设点H，，则x＝（+）（﹣y＝﹣2x2+4x+1，即：该抛物线的表达式为：y＝﹣2x2+4x+1．7.（019•12＝a+b+4交x（3（0yCAC，BCPP的m．PPM⊥xM，PMBCQPQPmPNm为何值时PN有最大值，最大值是多少？【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；AC＝AQ、AC＝CQCQ＝AQ由PN＝PQsin∠PQN＝m+4+m﹣4）可求．（）a（+3（﹣）a（﹣﹣2，则抛线表为x+4；（2）存在，理由：点ABC﹣3，4，0，则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OAB＝∠OBA＝45°，将点B.C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，同理得线AC的式为x+4，设线C中为，4，点M与CA直直的达的k为，同理得点M与线AC直线表式：y＝﹣…②，①当AC＝AQ时，如图1，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，7n2n225＝3或（4故点Q1，②当AC＝CQ时，如图1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，则QM＝MB＝，故点Q（③当CQ＝AQ时，联②解：舍去；故点Q的标：Q（1，3）（3设点P，2+4，点Qmm4∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，m，＜0，∴PN有最，当时，PN的大：．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．8.（2019•湖北十堰•10分）某超市拟于中秋节前50天里销售某品牌月饼，其进价为18元g．设第x（元（g1≤x≤3031≤x≤50xx＝36y＝37；x＝44时，y＝33．②mxm＝5x+50．（1）当31≤x≤50时，y与x关式；（2）x为多少时，当天的销售利润W（元）最大？最大利润为多少？3135元xa元/kga【分析】本题是通过构建函数模型解答销售利润的问题．依题利待数得当31≤x≤50时与x的系为x+55，＝（进价（x（元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润．3135元x＝≥35，求得a即可【解答】解：（1）依题意，当x＝36时，y＝37；x＝44时，y＝33，当31≤x≤50时，设y＝kx+b，则有，解得∴y与x关式：y＝x+55∴整理得，∵＝（﹣8∴整理得，当1≤x≤30时，∵W随x增大而增大∴x＝30时，取最大值W＝30×110+1100＝4400当31≤x≤50时，∵ ＜0∴x＝32时，W取得最大值，此时W＝4410综上所述，x为32时，当天的销售利润W（元）最大，最大利润为4410元＝（+﹣18＝∵第31天到第35天的日销售利润W（元）随x的增大而增大∴对轴x＝＝ ≥35，得a≥3故a的最小值为3．（．（2019•北堰•12）已抛线y＝a（x﹣2）2+c经点A（2，0）和C（0，xBD．DEFABD上E，BDF∠，则△DEFBE若点P在抛线且＝m，试定足的点P个．【分析】（1）利用待定系数法，转化为解方程组即可解决问题．①DE＝DFDE＝EFDF＝EF解即可．2BDPBDDH⊥ABHPD，设构二函出△PBD的面的大再据对称性即可解决问题．【解】）题： ，解得 ，∴抛线解为（x﹣2）2+3，D，31，∵（﹣，0D（，3，（60∴AB＝8，AD＝BD＝5，①当DE＝DF时，∠DFE＝∠DEF＝∠ABD，∴EF∥AB，此时E与B重合，与条件矛盾，不成立．②当DE＝EF时，又∵△BEF∽△AED，∴△BEF≌△AED，∴BE＝AD＝5③当DF＝EF时，∠EDF＝∠DEF＝∠DAB＝∠DBA，△FDE∽△DAB，∴ ＝ ，＝，∵△AEF∽△BCE＝，，答当BE长为5，△CFE等三形．2BDPBDDH⊥ABHPD，PH，PB．设P[n，﹣（n﹣2）2+3]，则S△PBD＝S△PBH+S△PDH﹣S△BDH＝×4，＜0，∴n＝4，△PBD的的最值，＝m，∴点P在BD的侧，m的大＝ ，观察象知当时，足件点P数有4个，当时，足件点P个有3个，当时，足件点P个有2个此点P在D左侧．【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建二次函数解决最值问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．•10OABCOA，OC分别在xOABC点称为好点，点Py=-（x-m）2+m+2m=0）m=3POABC8m的取值范围，【答案】（1）解：∵m=0，∴二次函数表达式为：y=-x2+2，画出函数图像如图1，∵当x=0时，y=2；当x=1时，y=1；，2和，100（0（，2，0和，15个.（2）解：∵m=3，∴二次函数表达式为：y=-（x-3）2+5，画出函数图像如图2，∵当x=1时，y=1；当x=2时，y=4；当x=4时，y=4；1，2，）和4，∵抛物线顶点（，+2∴点P在直线y=x+2上，∵点P在正方形内部，∴0＜m＜2，如图，（，1，（2，2∴当顶点P在正方形OABC内，且好点恰好存在8个时，抛物线与线段EF有交点（点F除外，当抛物线经过点E（2，1）时，∴-（2-m）2+m+2=1，解得1=，2=（，当抛物线经过点F（2，2）时，∴-（2-m）2+m+2=2，3=，4=4（，∴当 ≤m＜1时，点P正形OABC，好在8好.【考点】二次函数的其他应用（1）m=0y=-x2+2，2和，1.m=3.P（，+2P=x+2P在抛物线经过点mm范围.1.（09•10）＝x2+x3的图象经过点P（﹣，3aQ（m，n）①当m＝2时，求n的值；②若点Q到y轴的距离小于2，请根据图象直接写出n的取值范围．【分析】（1）把点P（﹣2，3）代入y＝x2+ax+3中，即可求出a；（2）①把m＝2代入解析式即可求n的值；②由点Q到y轴的距离小于2，可得﹣2＜m＜2，在此范围内求n即可；）P（﹣，3＝x2+ax3中，∴a＝2，∴y＝x2+2x+3，∴，2（2）①当m＝2时，n＝11，②点Q到y轴的距离小于2，∴|m|＜2，∴﹣2＜m＜2，∴2≤n＜11；•10）20060170~240（170元，240）间）x（元）x（元）…190200210220…y(间)…65605550…yxx.w（）【答案】（1）解：如图所示：（2）解：设y=kx+b(k≠0)，把（200，60)（220，50)得，解得x+160（170≤x≤240）（3）解（ x2+160x．∴对轴线x= =160，<0，170≤x≤240wxx=170w12750元【考点】二次函数与一次函数的综合应用yx的函数表达式为y=kx+b（200，60），（220，50）、b范日额为由w=xy==-x2+160x，由次数像质即求.13（019Ma+b+3与x（0B（﹣1，0）yC．yPDDG⊥xG，设△ADGICI【分析】（1）用待定系数法即求出抛物线对应的函数表达式．A2P0p2和2pPI是△ADGIADGIE.IF、IHIIE⊙IADGA＝FFHEHI（，nmnAGDGm、n的程化再配得到子）2（），从图上理点I（m，n）定点Q（）的离，以点I运动迹圆．以点I在CQ连线上时，CI最短．）a+b+3（，0（﹣，0）∴解：∴这条抛物线对应的函数表达式为y＝﹣x2+2x+3y∵y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4∴顶点M（1，4）∴AM2＝（3﹣1）2+42＝20设点P坐标为（0，p）∴AP2＝32+p2＝9+p2，MP2＝12+（4﹣p）2＝17﹣8p+p2若∠PAM＝90°，则AM2+AP2＝MP2∴20+9+p2＝17﹣8p+p2解得：p＝﹣）②若∠APM＝90°，则AP2+MP2＝AM2∴9+p2+17﹣8p+p2＝20解得：p1＝1，p2＝3∴P（0，1）或（0，3）③若∠AMP＝90°，则AM2+MP2＝AP2∴20+17﹣8p+p2＝9+p2解得：p＝）综上述点P坐为）为直IIE⊥xE，IF⊥ADF，IH⊥DGH∵DG⊥x轴于点G∴∠HGE＝∠IEG＝∠IHG＝90°∴四边形IEGH是矩形∵点I为△ADG的内心∴IE＝IF＝IH，AE＝AF，DF＝DH，EG＝HG∴矩形IEGH是正方形设点I坐标为（m，n）∴OE＝m，HG＝GE＝IE＝n∴AF＝AE＝OA﹣OE＝3﹣m∴AG＝GE+AE＝n+3﹣m∵DA＝OA＝3∴DH＝DF＝DA﹣AF＝3﹣（3﹣m）＝m∴DG＝DH+HG＝m+n∵DG2+AG2＝DA2∴（m+n）2+（n+3﹣m）2＝32∴化简得：m2﹣3m+n2+3n＝0配方）2（）＝∴点I（m，n）与点Q（）距为∴点I在点Q（）为圆，径的在一象的上动∴当点I在线段CQ上时，CI最小∵CQ＝∴CI＝CQ﹣IQ＝∴∴CI最小值为．【点评】本题考查二次函数的图象与性质，直角三角形存在性的分类讨论，三角形内心的定义和性质，切线长定理，点和圆的位置关系，解一元一次方程和一元二次方程．第（3）题的解题关键是由点I是内心用内心性质和切线长定理列式求得点I坐标的特征式子，转化到点I到定点Q的距离相等，再转化到点和圆的位置关系．14.（2019••12分xOyL1：y＝x2+bx+c过点（0﹣3与线22+2的个交为A点A坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1.L2上的动点．L1A.C.PQPRL1CAPCROQ∥PRQ的坐标．【分析】（1）先求出A点的坐标，再用待定系数法求出函数解析式便可；设点P，﹣2﹣3ACAC为平行四边形的一条对角线，用x表示出Q点坐标，再把Q点坐标代入抛物线L2：yx+2中列方求得便；PyL1RCAPCRPy轴PCARCAP、Ry为点P作HTR点设点P标1点R坐标2，证PC△T，相比到+24进得an∠H值点Q作Kx点，点Q标为，由n∠QOK＝tan∠PRH，移出m的方程，求得m便可．【解解（将＝2代入＝+2得﹣3点A的标（﹣3将（2﹣1C（，3）＝+b+，得，解得，∴抛物线L1：y＝x2﹣2x﹣3；设点P，﹣2﹣3第一种情况：AC为平行四边形的一条边，①QPQx2﹣23将Q（x+2，﹣2x﹣3）入x+2，得（x+2）+2，解得，x＝0x＝﹣1，x＝0PCP（﹣0②QPQx﹣，2﹣﹣将Q（x﹣2，x2﹣2x﹣3）代入y＝﹣x+2，x+2，（x﹣2）+2，解得，x＝3，或，此点P的标（3，0）或第二种情况：当AC为平行四边形的一条对角线时，由C1﹣3Q（，﹣故点Q（2﹣﹣+2﹣3将Q（2﹣x，﹣x2+2x﹣3）入x+2，得（2﹣x）+2，解得，x＝0x＝﹣3，x＝0PCP（﹣12综上述点P坐（﹣，0或3，）（）（3，2PyL1RCAPCR，PyPCARCAPRyS、T，PPH⊥TRHPSC＝∠RTC＝90°，CAPCRPCA＝∠RCA，则∠PCS＝∠RCT，∴△PSC∽△RTC，，设点P标1， ，点R标（， 所以有 ，整理得，x1+x2＝4，在Rt△PRH中，tan∠PRH＝＝过点Q作QK⊥x于点K，点Q标OQ∥PRQOK＝∠PRH，所以tan∠QOK＝tan∠PRH＝2，所以2m＝，解得，所点Q标，﹣7+ ）或，﹣7﹣ •12某农作物的生长率p10≤t≤25可似函数刻当25≤t≤37时可似数p＝﹣ （t﹣h）2+0.4刻画．hm（）p生长率p0.20.250.30.35提前上市的天数m（天）051015①请运用已学的知识，求m关于p的函数表达式；②请用含t的代数式表示m．天气寒冷，大棚加温可改变农作物生长速度．在（2）的条件下，原计划大棚恒温20℃20030600（元）．【分（1）（25，0.3）入（t﹣h）2+0.4，方即得结；（2）①由表格可知，m是p的一次函数，于是得到m＝100p﹣20；②当10≤t≤25时得）﹣20＝2t﹣40；当25≤t≤37，据意可到m＝100[﹣（t﹣29）2+20；（3Ⅰ当20t≤5（Ⅱ当5≤≤37w＝3得到结论．【解解（（0代入p（t2+.4得0.＝（2﹣h）2+0.4，解得：h＝29或h＝21，∵h＞25，∴h＝29；（2）①由表格可知，m是p的一次函数，∴m＝100p﹣20；②当10≤t≤25时，）﹣20＝2t﹣40；当25≤t≤37，p＝﹣（t﹣h）2+0.4，（t﹣29）2+20；（3Ⅰ当0≤≤25时，由（2，22，30，得＝2﹣0，∴增加利润为600m+[200×30﹣w（30﹣m）]﹣40t2﹣600t﹣4000，∴当t＝25时，增加的利润的最大值为6000元；（Ⅱ）当25≤t≤37时，w＝300，增加利为0m[20×30（3﹣m]＝00（（t2921500（t﹣29）2+15000；∴当t＝29时，增加的利润最大值为15000元，综上所述，当t＝29时，提前上市20天，增加的利润最大值为15000元．【点评】本题考查二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，此题涉及数据较多，认真审题很关键．二次函数的最值问题要利用性质来解，注意自变量的取值范围． （2019•）C：y＝ax2+2x﹣1（a≠0）：b（﹣，﹣B（，）l上．Clay＝ax2+2x﹣1xm≤x≤m+2ymCABa【分（点﹣﹣3，，﹣代入＝，出立＝ax2+2x﹣1与，有2ax2+3x+1＝0，△＝9﹣8a≥0即求；y＝﹣4﹣x2+2x﹣1＝﹣4，x＝﹣1x＝3；①x＝1yxx＝m+2＝﹣1时，y﹣4，m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，x＝m＝3时，y有最大值﹣4；（3a01﹣1≤﹣；②a＞0时，x＝﹣3，y≥﹣3，即a≥，线AB的解为，抛线与﹣2a＞0，则，即求a的围；点﹣3﹣3，（1﹣代入＝+b，∴，∴ ，；联立y＝ax2+2x﹣1与y＝，有2ax2+3x+1＝0，∵抛物线C与直线l有交点，∴△＝9﹣8a≥0，且a≠0；（2）根据题意可得，y＝﹣x2+2x﹣1，∵a＜0，x＝1，∵m≤x≤m+2时，y﹣4，∴当y＝﹣4时，有﹣x2+2x﹣1＝﹣4，∴x＝﹣1或x＝3，①在x＝1左侧，y随x的增大而增大，∴x＝m+2＝﹣1时，y有最大值﹣4，∴m＝﹣3；②在对称轴x＝1右侧，y随x最大而减小，∴x＝m＝3时，y有最大值﹣4；综上所述：m＝﹣3或m＝3；（3）①a＜0时，x＝1时，y≤﹣1，即a≤﹣2；②a＞0时，x＝﹣3时，y≥﹣3，即a≥，直线AB的析为，，＝0，﹣2a＞0，，∴a取范或a≤﹣2；【点评】本题考查二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质；熟练掌握待定系数法求解析式，数形结合，分类讨论函数在给定范围内的最大值是解题的关键． （2019••10）元/售价x（元/件）506080周销售量y（件）1008040周销售利润w（元）100016001600注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）求y关于x（；②该商品进价是40 元/件；当售价是70 元/件时，周销售利润最大，最大利润1800 元．m元＞065元/1400m【分析】（1）①依题意设y＝kx+b，解方程组即可得到结论；②（2）w（﹣40m（﹣200）2+（8+2）﹣8﹣20m，由于称是，根次函的质可到论．①＝+b，则有解得：所以y关于x的函数解析式为y＝﹣2x+200；②该商品进价是50﹣1000÷100＝40，设每周获得利润w＝ax2+bx+c：则有 ，解得： ，∴w＝﹣2x2+280x﹣8000＝﹣2（x﹣70）2+1800，70元/1800元；40，70，1800；（2w（﹣402+20）22（28+）80﹣20，∵对轴，∴＜65时舍≥5，＝5w求最值40，解得：m＝5．【点评】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．18（2019•湖北武汉•12分）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2C1C2？如图1，物线C1与x正轴于点A，直线x+b经点交抛线C1BABPPPQ∥yC1Q，AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标．MNC2MNME.NEC2yMNEMNm、nmn14y＝x2；（求点（0＝立程x+（﹣﹣得设（，+4，（，﹣2﹣3①当AP＝AQ，有﹣4+t＝t2﹣2t﹣3，求得；当＝Q时Q＝+7（3﹣有2+7（3﹣，得＝；（3）设经过M与N的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴ ＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0k＝2m，求出线E解式为＝m2线E析为2nn则求，mn再由（m2）＝2，得（m﹣n）3＝8，可解；y（﹣12414y＝x2；（2）＝﹣）﹣4与x（，∵线x+b点A，∴b＝4，x+4，x+4与y＝（x﹣1）2﹣4交为x+4＝（x﹣1）2﹣4解，∴x＝3或x＝﹣，设（，+4，＜＜3，∵PQ∥y轴，∴（，﹣2﹣①当AP＝AQ时，t|＝|t2﹣2t﹣3|，t＝t2﹣2t﹣3，，∴P点坐；②当AP＝PQ时，P＝+7（3﹣∴2++＝（3﹣；∴P点坐为；（3）设经过M与N的直线解析式为y＝k（x﹣m）+m2，∴ ，则有x2﹣kx+km﹣m2＝0，△＝k2﹣4km+4m2＝（k﹣2m）2＝0，∴k＝2m，直线ME的解析式为y＝2mx﹣m2，直线NE的解析式为y＝2nx﹣n2，∴，mn（m2﹣mn））＝2，＝4，∴（m﹣n）3＝8，∴m﹣n＝2；【点评】本题考查二次函数的图象及性质；是二次函数的综合题，熟练掌握直线与二次函数的交点求法，借助三角形面积列出等量关系是解决m与n的关系的关键．19（2019•湖北孝感•13分）如图1，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2ax﹣8a与xAB（点AByC（，4点A坐为点B坐为段AC长为，xx2﹣x﹣4抛物的析为y＝ ．（2）点P是线段BC下方抛物线上的一个动点．①如果在x轴上存在点Q，使得以点B.C.P、Q为顶点的四边形是平行四边形．求点Q的坐标．②PPE∥CABCPx＝tBCxfttm4﹣比较f的对应函数值f1和f2的大小．【分（1）题得：﹣8a＝﹣4，故a＝，求解；BCBC，即则PH，即求．【解】）题得：8a﹣，故a，故抛线表式x2﹣x﹣4，令04﹣2A.B﹣2，4，则，故答为（，0，02 、2﹣﹣；①BC如图所示，点C向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点B，设点（nn﹣﹣4，点Q，0则点P向右平移4个单位、向上平移4个单位得到点Q，＝4或（4即点Q6，②当BC是平行四边形的对角线时，设点Pmn点Q（，0中n2﹣，m+s＝﹣2，n+0＝4，解得：＝2或（故点Q2，故点Q（2，或，02PPH∥xBCH，∵GP∥y轴，∴∠HEP＝∠ACB，∵PH∥x轴，∴∠PHO＝∠AOC，，即则EP＝PH，设点P（，P，点则t2﹣t﹣4＝xH﹣4，则xH＝t2﹣t，H＝2﹣）＝（24当m，（2﹣当＝m时，22﹣m则f1﹣f2＝﹣0＜m＜2，∴f1﹣f2＞0，f1＞f2．220.（2019，四川巴中，12分）如图，抛物线y＝ax2+bx﹣5（a≠0）经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B.C两点的直线为y＝x+n．①求抛物线的解析式．②PAAB1BEBBC2CttPBE③AAM⊥BCB.CAM的平BCA.MNQN点C＝nB﹣，0（0nA，0在抛物线所以 解得此物解式②先求出点P到C的高h为Psn45°＝（4﹣t，于是S△PBE＝E•h＝当t＝2，△PBE的面最，大为；③①知，BC所直为：y＝x﹣5，所以点A直线BC距离d＝2，点N作xC，交xH（，26﹣5（，0mm﹣证N等直三形即QQ＝N4ⅠH＝4+m﹣（﹣5＝41＝（m＝4+P4m﹣5（26﹣5＝4解得12（去ⅢHP＝，﹣（+m﹣）﹣（﹣）＝，得m（舍2．【解答】解：①∵点B.C在直线为y＝x+n上，∴（﹣，0、（，n∵点A（1，0）在抛物线上，∴ ，∴a＝﹣1，b＝6，∴抛物线解析式：y＝﹣x2+6x﹣5；②由题意，得，PB＝4﹣t，BE＝2t，由①知，∠OBC＝45°，∴点P到C高h为sn45°（﹣，当t＝2时，△PBE的最大最为；③由①知，BC所在直线为：y＝x﹣5，∴点A直线BC距离，NxBCPxH．设m﹣+m﹣m，P，﹣5易证△PQN等直角形即NQ＝PQ＝2，∴PN＝4，Ⅰ．NH+HP＝4，∴﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）＝4解得m1＝1，m2＝4，∵点A.M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，∴m＝4；Ⅱ．NH+HP＝4，∴m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）＝4解得m1＝，∵点A.M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，m＞5，，解得m1＝，∵点A.M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，m＜0，，综上述若点A.MNQ为顶的边是行边形点N的坐为或或【点评】本题考查了二次函数，熟练掌握二次函数的性质、平行四边形的判定与性质是解题的关键．21．(2019安徽)（12分）一次函数y＝kx+4与二次函数y＝ax2+c的图象的一个交点坐标为（1，k，a，c（0m（m4y＝a+cOWmW），2＝+a2cyx＝0ca的值x）+＝﹣﹣2，又∵（4∴c＝4把（1，2）带入二次函数表达式得a+c＝2，解得a＝﹣2（2）由（1）得二次函数解析式为y＝﹣2x2+4，令y＝m，得2x2+m﹣4＝0∴设BC点坐别1m（2m则，∴当m＝1时，W取得最小值7【点评】此题主要考查二次函数的性质及一次函数与二次函数图象的交点问题，此类问题，通常转化为一元二次方程，再利用根的判别式，根与系数的关系进行解答即可．2019（12分＝x2b+4交x﹣30（4，yCAC，BCPP的横坐标为m．过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PMBC于点Q．试探究点P是否存在这样的点，使得以此时点Q过点P作m的代数式表示线段PNm为何值时PN有最大值，最大值是多少？【分析】（1）由二次函数交点式表达式，即可求解；AC＝AQ、AC＝CQCQ＝AQ由PN＝PQsin∠PQN＝m+4+m﹣4）可求．）＝（+3（x4＝（x﹣x﹣2，则抛线表为y＝﹣x+4；（2）存在，理由：点.BC﹣3，4，0，则AC＝5，AB＝7，BC＝4，∠OAB＝∠OBA＝45°，将点B.C的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b并解得：y＝﹣x+4…①，同理得线AC表式为x+4，设线C的点为，4，点M与A直直的达的k为，MACy＝﹣x+…②，①当AC＝AQ时，如图1，则AC＝AQ＝5，设：QM＝MB＝n，则AM＝7﹣n，7n）n2＝2＝3或（4故点Q1，②当AC＝CQ1，CQ＝5，则BQ＝BC﹣CQ＝4﹣5，则QM＝MB＝，故点Q（③当CQ＝AQ时，联立②解（去；故点Q的标：Q（1，3）（3设点P（，2m+4，点Q（，﹣+4∵OB＝OC，∴∠ABC＝∠OCB＝45°＝∠PQN，m，＜0，∴PN最，当m＝时，PN的大：．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．23、（2019••12）y＝ax2+bx+cx（﹣0，点B，0y（，8CyxxO（OB点BCxP，D，E．AC，APlPEAAOCPPF⊥BCFl运动时，求Rt△PFD【考点】二次函数【分析】（1）将点A.B.C的坐标代入二次函数表达式，即可求解；PEA＝∠AOCP（4k﹣2，用Rt△PFD∽Rt△BOC得PD2，再出PD最值，：：【解解1点ABC的坐代二函表式得 解得 ，：：故抛物线的表达式为：y＝﹣x2+2x+8；（2∵点A﹣，0、（0，O＝2＝8，∵l⊥x轴，∴∠PEA＝∠AOC＝90°，∵∠PAE≠∠CAO，∴只有当∠PEA＝∠AOC时，PEA△∽AOC，此，即，∴AE＝4PE，设点P的纵坐标为k，则PE＝k，AE＝4k，∴OE＝4k﹣2，将点P坐标（4k﹣2，k）代入二次函数表达式并解得：＝0（舍去则点P（（3）在Rt△PFD中，∠PFD＝∠COB＝90°，∵l∥y轴，∴∠PDF＝∠COB，∴Rt△PFD∽Rt△BOC，∴ ，•S△BOC，而S△BOC＝＝4 ，PD2，PDS△PDF将B.C坐标代入一次函数表达式并解得：直线BC的表达式为：y＝﹣2x+8，设点Pmm++8m﹣m8则PD＝﹣m2+2m+8+2m﹣8＝﹣（m﹣2）2+4，当m＝2时，PD的最大值为4，故当PD＝4时，∴S△PDF＝．【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．(2019甘肃省天水市)10元/销售价不低于成本价，且物价部门规定这种商品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售价x（元/件）之间的函数关系如图所示．yxxW（）x（元/）【答案】解：（1）设y与x的函数解析式为y=kx+b，将（10，30）、（16，24）代入，得：错误！未找到引用源。，解得：错误！未找到引用源。，所以y与x的函数解析式为y=-x+40（10≤x≤16）；（2）根据题意知，W=（x-10）y=（x-10）（-x+40）=-x2+50x-400=-（x-25）2+225，∵a=-1＜0，∴当x＜25时，W随x的增大而增大，∵10≤x≤16，∴当x=16时，W取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．【解析】yx的函数解析式；根据“总利润=每件的利润×销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式及根据相等关系列出二次函数解析式及二次函数的性质．（2019••10）y＝x2+bx+cxA（﹣1，0）和点B（，0，与yNBxBP是x轴CPPCPyE．POB（POB）OEMMN、MBMBNM【分析】（1）将点A.B的坐标代入二次函数表达式，即可求解；OP＝xPB＝3﹣x，由△POE∽△CBPOEOE点M作MH∥y交BN点由S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝即求．＝+b+c经过A﹣，0（30把A.B点标入，，解得：，故抛物线函数关系表达式为y＝x2﹣2x﹣3；（2∵（1，0（3，∴AB＝OA+OB＝1+3＝4，∵正方形ABCD中，∠ABC＝90°，PC⊥BE，∴∠OPE+∠CPB＝90°，∠CPB+∠PCB＝90°，∴∠OPE＝∠PCB，又∵∠EOP＝∠PBC＝90°，∴△POE∽△CBP，，设OP＝x，则PB＝3﹣x，，，∵0＜x＜3，∴时段OE长最值，大．即OP＝时段OE有大值最值．（3）存在．如图，过点M作MH∥y轴交BN于点H，∵抛物线的解析式为y＝x2﹣2x﹣3，∴x＝0，y＝﹣3，∴N0﹣3设直线BN的解析式为y＝kx+b，，∴ ，，∴∴直线BN的解析式为y＝x﹣3，设（，22a3（，a3∴MH＝a﹣3﹣（a2﹣2a﹣3）＝﹣a2+3a，∴S△MNB＝S△BMH+S△MNH＝ ＝ ＝ ，∵，时，△MBN的有最值最值，时M的标【点评】本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三角形的判定与性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，会利用相似比表示线段之间的关系．利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度是解题的关键．26（20甘肃10＝++cx（B（3，y．PFA.B.P、F边形为平行四边形，求点P的坐标；EExBCD，AEBDE【分析】（1）用交点式函数表达式，即可求解；AB利用S四边形EBDA（﹣即求．）＝（﹣1﹣）﹣4+；y＝x2﹣4x+3；①AB1，则AB＝PE＝2，则点P43PCA.B.P、F（43或（3②当AB是四边形的对角线时，如图2，AB中点坐标为（2，0）设点P横标为m，点F横标为2，中标为，即＝2，解：m＝2，故点P（，1（43或（3）2﹣1BCy＝﹣x+3，设点E﹣4+3D（，﹣+3S四边形AEBD＝AB（yD﹣yE）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，当x＝，最值，点【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．2.201••9yx2xc过点（10（03OB=OCD，Ex=1DE=1DEACDE的周长的最小值，PCPCP3∶5求点P.【考点】一次函数、二次函数综合、线段和最值，面积比例等.【答案】28.（201分ya+b+c3y轴相（0﹣5MABMABlP，Q【分析】（1）函数表达式为：y＝a（x＝4）2+3，将点B坐标代入上式，即可求解；（2A4，B（﹣5（2﹣1AB＝﹣，A（3）分当AM是平行四边形的一条边、AM是平行四边形的对角线两种情况，分别求解即可．）＝a＝）+，将点B标入式得：a＝﹣，x2+4x﹣5；（2A4，B（﹣5（，1ABy＝kx﹣5，A3＝4k﹣5k＝2，ABy＝2x﹣5；（3设点（4，点Pmm+m5①当AM是平行四边形的一条边时，点A向左平移2个单位、向下平移4个单位得到M，同点（，+m5）左移2个位下移4单到（，m2+4m﹣5﹣4＝s，解得：m＝6，s＝﹣3，故点PQ（6，4﹣3②当AM是平行四边形的对角线时，m2+4m﹣5+s，解得：m＝2，s＝1，故点PQ2，4，故点PQ（6，），1（﹣3或，1【点评】329.（201910分）1，△AOBA.OBF1：y＝2x图上点A的坐标，点B纵为2点A在点B的侧）A.B将△AOBO90A'OB'F2：y＝ax2+bx+4、MF2OMOM、A'M，求△OA'M2F2CA'CDA.ODOA'CDx＝﹣4F1yAy＝﹣2F1﹣4B90（xF2M纵mmA'M、OMOM∠OA'M为圆周角，等于90°，故能根据勾股定理列得关于m的方程，解方程求得m的值即得A'M的长OA'•A'M即求得△OA'M的面．OB'F2CCA'C∥xOA'C＝135A.OD△OA'CAOD135A（﹣4，﹣4）OAx轴45Dxyxy∠AOD＝135°．由于∠AODAOD∽△OA'CDOA∽△OA'CODD坐标．【解当4时×（4×4＝4∴点A坐标为（﹣4，﹣4）当y＝﹣2时x＝﹣2解得：x1＝﹣1，x2＝﹣6∵点A在点B的左侧∴点B坐标为（﹣1，﹣2）1BBE⊥xEB'G⊥xG∴∠BEO＝∠OGB'＝90°，OE＝1，BE＝2∵将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'∴OB＝OB'，∠BOB'＝90°∴∠BOE+∠B'OG＝∠BOE+∠OBE＝90°∴∠B'OG＝∠OBE在△B'OG与△OBE中∴△B'OG≌△OBE（AAS）∴OG＝BE＝2，B'G＝OE＝1∵点B'在第四象限∴B'（2，﹣1）同理可求得：A'（4，﹣4）∵抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过点A'、B'∴解：∴抛线F2析为：y＝x2﹣3x+4∴对轴直：x＝﹣ ＝6∵点M在直线x＝6上，设M（6，m）∴OM2＝62+m2，A'M2＝（6﹣4）2+（m+4）2＝m2+8m+20∵点A'在以OM为直径的圆上∴∠OA'M＝90°∴OA'2+A'M2＝OM2）2+m2+8m+20＝36+m2解得：m＝﹣2∴A'M＝＝8DA.ODOA'C∵B'（2，﹣1）∴线解析式为x得： （为点B'）∴C（8，﹣4）∵A'（4，﹣4）∴A'C∥x轴，A'C＝4∴∠OA'C＝135°∴∠A'OC＜45°，∠A'CO＜45°∵（﹣，4OA与x45°∴当点D在x轴负半轴或y轴负半轴时，∠AOD＝45°，此时△AOD不可能与△OA'C相似∴点D在x轴正半轴或y轴正半轴时，∠AOD＝∠OA'C＝135°（如图2.图3）＝1∴OD＝A'C＝4∴D（4，0）或（0，4）②若△DOA∽△OA'C，则OA'＝8∴D（8，0）或（0，8）D4，0，0，4或，8AODOA'C相似．【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，圆周角定理，解一元一次方程、二元一次方程组、一元二次方程，相似三角形的判定和性质．题目条件较多，图形有点复杂，需要细心根据条件逐步解决问题．第（2）90（3）二次函数-综合题（二）一．解答题（共40小题）1．（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．（1）填空：正方形的面积为；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是：；（2）已知抛物线L：y＝a（x﹣m）2+n（a＞0）顶点P在边BC上，与边AB，DC分别相交于点E，F，过点B的双曲线y＝（k≠0）与边DC交于点N．①点Q（m，﹣m2﹣2m+3）是平面内一动点，在抛物线L的运动过程中，点Q随m运动，分别切运动过程中点Q在最高位置和最低位置时的坐标；②当点F在点N下方，AE＝NF，点P不与B，C两点重合时，求﹣的值；③求证：抛物线L与直线x＝1的交点M始终位于x轴下方．2．（2019•东营）已知抛物线y＝ax2+bx﹣4经过点A（2，0）、B（﹣4，0），与y轴交于点C．（1）求这条抛物线的解析式；（2）如图1，点P是第三象限内抛物线上的一个动点，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．3．（2019•郴州）已知抛物线y＝ax2+bx+3与x轴分别交于A（﹣3，0），B（1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；（2）点F是线段AD上一个动点．①如图1，设k＝，当k为何值时，CF＝AD？②如图2，以A，F，O为顶点的三角形是否与△ABC相似？若相似，求出点F的坐标；若不相似，请说明理由．4．（2019•广州）已知抛物线G：y＝mx2﹣2mx﹣3有最低点．（1）求二次函数y＝mx2﹣2mx﹣3的最小值（用含m的式子表示）；（2）将抛物线G向右平移m个单位得到抛物线G1．经过探究发现，随着m的变化，抛物线G1顶点的纵坐标y与横坐标x之间存在一个函数关系，求这个函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）记（2）所求的函数为H，抛物线G与函数H的图象交于点P，结合图象，求点P的纵坐标的取值范围．5．（2019•广元）如图，直线y＝﹣x+4与x轴，y轴分别交于A，B两点，过A，B两点的抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点C（﹣1，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）连接BC，若点E是线段AC上的一个动点（不与A，C重合），过点E作EF∥BC，交AB于点F，当△BEF的面积是时，求点E的坐标；（3）在（2）的结论下，将△BEF绕点F旋转180°得△B′E′F，试判断点E′是否在抛物线上，并说明理由．6．（2019•荆门）已知抛物线y＝ax2+bx+c顶点（2，﹣1），经过点（0，3），且与直线y＝x﹣1交于A，B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若在抛物线上恰好存在三点Q，M，N，满足S△QAB＝S△MAB＝S△NAB＝S，求S的值；（3）在A，B之间的抛物线弧上是否存在点P满足∠APB＝90°？若存在，求点P的横坐标；若不存在，请说明理由．（坐标平面内两点M（x1，y1），N（x2，y2）之间的距离MN＝）7．（2019•安顺）如图，抛物线y＝x2+bx+c与直线y＝x+3分别相交于A，B两点，且此抛物线与x轴的一个交点为C，连接AC，BC．已知A（0，3），C（﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l上找一点M，使|MB﹣MC|的值最大，并求出这个最大值；（3）点P为y轴右侧抛物线上一动点，连接PA，过点P作PQ⊥PA交y轴于点Q，问：是否存在点P使得以A，P，Q为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．8．（2019•常德）如图，已知二次函数图象的顶点坐标为A（1，4），与坐标轴交于B、C、D三点，且B点的坐标为（﹣1，0）．（1）求二次函数的解析式；（2）在二次函数图象位于x轴上方部分有两个动点M、N，且点N在点M的左侧，过M、N作x轴的垂线交x轴于点G、H两点，当四边形MNHG为矩形时，求该矩形周长的最大值；（3）当矩形MNHG的周长最大时，能否在二次函数图象上找到一点P，使△PNC的面积是矩形MNHG面积的？若存在，求出该点的横坐标；若不存在，请说明理由．9．（2019•泸州）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（﹣2，0），C（0，﹣6），其对称轴为直线x＝2．（1）求该二次函数的解析式；（2）若直线y＝﹣x+m将△AOC的面积分成相等的两部分，求m的值；（3）点B是该二次函数图象与x轴的另一个交点，点D是直线x＝2上位于x轴下方的动点，点E是第四象限内该二次函数图象上的动点，且位于直线x＝2右侧．若以点E为直角顶点的△BED与△AOC相似，求点E的坐标．10．（2019•岳阳）如图1，△AOB的三个顶点A、O、B分别落在抛物线F1：y＝x2+x的图象上，点A的横坐标为﹣4，点B的纵坐标为﹣2．（点A在点B的左侧）（1）求点A、B的坐标；（2）将△AOB绕点O逆时针旋转90°得到△A'OB'，抛物线F2：y＝ax2+bx+4经过A'、B'两点，已知点M为抛物线F2的对称轴上一定点，且点A'恰好在以OM为直径的圆上，连接OM、A'M，求△OA'M的面积；（3）如图2，延长OB'交抛物线F2于点C，连接A'C，在坐标轴上是否存在点D，使得以A、O、D为顶点的三角形与△OA'C相似．若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．11．（2019•深圳）如图抛物线经y＝ax2+bx+c过点A（﹣1，0），点C（0，3），且OB＝OC．（1）求抛物线的解析式及其对称轴；（2）点D、E在直线x＝1上的两个动点，且DE＝1，点D在点E的上方，求四边形ACDE的周长的最小值．（3）点P为抛物线上一点，连接CP，直线CP把四边形CBPA的面积分为3：5两部分，求点P的坐标．12．（2019•鄂州）如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点，AB＝4，交y轴于点C，对称轴是直线x＝1．（1）求抛物线的解析式及点C的坐标；（2）连接BC，E是线段OC上一点，E关于直线x＝1的对称点F正好落在BC上，求点F的坐标；（3）动点M从点O出发，以每秒2个单位长度的速度向点B运动，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，交线段BC于点Q．设运动时间为t（t＞0）秒．①若△AOC与△BMN相似，请直接写出t的值；②△BOQ能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．13．（2019•兰州）二次函数y＝ax2+bx+2的图象交x轴于点（﹣1，0），B（4，0）两点，交y轴于点C．动点M从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿AB方向运动，过点M作MN⊥x轴交直线BC于点N，交抛物线于点D，连接AC，设运动的时间为t秒．（1）求二次函数y＝ax2+bx+2的表达式；（2）连接BD，当t＝时，求△DNB的面积；（3）在直线MN上存在一点P，当△PBC是以∠BPC为直角的等腰直角三角形时，求此时点D的坐标；（4）当t＝时，在直线MN上存在一点Q，使得∠AQC+∠OAC＝90°，求点Q的坐标．14．（2019•淄博）如图，顶点为M的抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于A（3，0），B（﹣1，0）两点，与y轴交于点C．（1）求这条抛物线对应的函数表达式；（2）问在y轴上是否存在一点P，使得△PAM为直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．（3）若在第一象限的抛物线下方有一动点D，满足DA＝OA，过D作DG⊥x轴于点G，设△ADG的内心为I，试求CI的最小值．15．（2019•天水）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣3，0）、B（9，0）和C（0，4），CD垂直于y轴，交抛物线于点D，DE垂直于x轴，垂足为E，直线l是该抛物线的对称轴，点F是抛物线的顶点．（1）求出该二次函数的表达式及点D的坐标；（2）若Rt△AOC沿x轴向右平移，使其直角边OC与对称轴l重合，再沿对称轴l向上平移到点C与点F重合，得到Rt△A1O1F，求此时Rt△A1O1F与矩形OCDE重叠部分图形的面积；（3）若Rt△AOC沿x轴向右平移t个单位长度（0＜t≤6）得到Rt△A2O2C2，Rt△A2O2C2与Rt△OED重叠部分图形的面积记为S，求S与t之间的函数表达式，并写出自变量t的取值范围．16．（2019•武汉）已知抛物线C1：y＝（x﹣1）2﹣4和C2：y＝x2（1）如何将抛物线C1平移得到抛物线C2？（2）如图1，抛物线C1与x轴正半轴交于点A，直线y＝﹣x+b经过点A，交抛物线C1于另一点B．请你在线段AB上取点P，过点P作直线PQ∥y轴交抛物线C1于点Q，连接AQ．①若AP＝AQ，求点P的横坐标；②若PA＝PQ，直接写出点P的横坐标．（3）如图2，△MNE的顶点M、N在抛物线C2上，点M在点N右边，两条直线ME、NE与抛物线C2均有唯一公共点，ME、NE均与y轴不平行．若△MNE的面积为2，设M、N两点的横坐标分别为m、n，求m与n的数量关系．17．（2019•乐山）如图，已知抛物线y＝a（x+2）（x﹣6）与x轴相交于A、B两点，与y轴交于C点，且tan∠CAB＝．设抛物线的顶点为M，对称轴交x轴于点N．（1）求抛物线的解析式；（2）P为抛物线的对称轴上一点，Q（n，0）为x轴上一点，且PQ⊥PC．①当点P在线段MN（含端点）上运动时，求n的变化范围；②当n取最大值时，求点P到线段CQ的距离；③当n取最大值时，将线段CQ向上平移t个单位长度，使得线段CQ与抛物线有两个交点，求t的取值范围．18．（2019•聊城）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，8），连接BC，又已知位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E．（1）求抛物线的表达式；（2）连接AC，AP，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P的坐标；（3）作PF⊥BC，垂足为F，当直线l运动时，求Rt△PFD面积的最大值．19．（2019•资阳）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c过点A（3，2），且与直线y＝﹣x+交于B、C两点，点B的坐标为（4，m）．（1）求抛物线的解析式；（2）点D为抛物线上位于直线BC上方的一点，过点D作DE⊥x轴交直线BC于点E，点P为对称轴上一动点，当线段DE的长度最大时，求PD+PA的最小值；（3）设点M为抛物线的顶点，在y轴上是否存在点Q，使∠AQM＝45°？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．20．（2019•无锡）已知二次函数y＝ax2+bx﹣4（a＞0）的图象与x轴交于A、B两点，（A在B左侧，且OA＜OB），与y轴交于点C．（1）求C点坐标，并判断b的正负性；（2）设这个二次函数的图象的对称轴与直线AC相交于点D，已知DC：CA＝1：2，直线BD与y轴交于点E，连接BC．①若△BCE的面积为8，求二次函数的解析式；②若△BCD为锐角三角形，请直接写出OA的取值范围．21．（2019•遂宁）如图，顶点为P（3，3）的二次函数图象与x轴交于点A（6，0），点B在该图象上，OB交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接BN、ON．（1）求该二次函数的关系式．（2）若点B在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：①连接OP，当OP＝MN时，请判断△NOB的形状，并求出此时点B的坐标．②求证：∠BNM＝∠ONM．22．（2019•株洲）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）（1）若a＝1，b＝﹣2，c＝﹣1①求该二次函数图象的顶点坐标；②定义：对于二次函数y＝px2+qx+r（p≠0），满足方程y＝x的x的值叫做该二次函数的“不动点”．求证：二次函数y＝ax2+bx+c有两个不同的“不动点”．（2）设b＝c3，如图所示，在平面直角坐标系Oxy中，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴分别相交于不同的两点A（x1，0），B（x2，0），其中x1＜0，x2＞0，与y轴相交于点C，连结BC，点D在y轴的正半轴上，且OC＝OD，又点E的坐标为（1，0），过点D作垂直于y轴的直线与直线CE相交于点F，满足∠AFC＝∠ABC．FA的延长线与BC的延长线相交于点P，若＝，求二次函数的表达式．23．（2019•菏泽）如图，抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C（0，﹣2），点A的坐标是（2，0），P为抛物线上的一个动点，过点P作PD⊥x轴于点D，交直线BC于点E，抛物线的对称轴是直线x＝﹣1．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点P在第二象限内，且PE＝OD，求△PBE的面积．（3）在（2）的条件下，若M为直线BC上一点，在x轴的上方，是否存在点M，使△BDM是以BD为腰的等腰三角形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．24．（2019•苏州）如图①，抛物线y＝﹣x2+（a+1）x﹣a与x轴交于A，B两点（点A位于点B的左侧），与y轴交于点C．已知△ABC的面积是6．（1）求a的值；（2）求△ABC外接圆圆心的坐标；（3）如图②，P是抛物线上一点，Q为射线CA上一点，且P、Q两点均在第三象限内，Q、A是位于直线BP同侧的不同两点，若点P到x轴的距离为d，△QPB的面积为2d，且∠PAQ＝∠AQB，求点Q的坐标．25．（2019•宿迁）如图，抛物线y＝x2+bx+c交x轴于A、B两点，其中点A坐标为（1，0），与y轴交于点C（0，﹣3）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图①，连接AC，点P在抛物线上，且满足∠PAB＝2∠ACO．求点P的坐标；（3）如图②，点Q为x轴下方抛物线上任意一点，点D是抛物线对称轴与x轴的交点，直线AQ、BQ分别交抛物线的对称轴于点M、N．请问DM+DN是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由．26．（2019•绵阳）在平面直角坐标系中，将二次函数y＝ax2（a＞0）的图象向右平移1个单位，再向下平移2个单位，得到如图所示的抛物线，该抛物线与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），OA＝1，经过点A的一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与y轴正半轴交于点C，且与抛物线的另一个交点为D，△ABD的面积为5．（1）求抛物线和一次函数的解析式；（2）抛物线上的动点E在一次函数的图象下方，求△ACE面积的最大值，并求出此时点E的坐标；（3）若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求PE+PA的最小值．27．（2019•武威）如图，抛物线y＝ax2+bx+4交x轴于A（﹣3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m．（1）求此抛物线的表达式；（2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由；（3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？28．（2019•凉山州）如图，抛物线y＝ax2+bx+c的图象过点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△PAC的周长最小，若存在，请求出点P的坐标及△PAC的周长；若不存在，请说明理由；（3）在（2）的条件下，在x轴上方的抛物线上是否存在点M（不与C点重合），使得S△PAM＝S△PAC？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．29．（2019•攀枝花）已知抛物线y＝﹣x2+bx+c的对称轴为直线x＝1，其图象与x轴相交于A，B两点，与y轴相交于点C（0，3）．（1）求b，c的值；（2）直线1与x轴相交于点P．①如图1，若l∥y轴，且与线段AC及抛物线分别相交于点E，F，点C关于直线x＝1的对称点为点D，求四边形CEDF面积的最大值；②如图2，若直线1与线段BC相交于点Q，当△PCQ∽△CAP时，求直线1的表达式．30．（2019•泰安）若二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴、y轴分别交于点A（3，0）、B（0，﹣2），且过点C（2，﹣2）．（1）求二次函数表达式；（2）若点P为抛物线上第一象限内的点，且S△PBA＝4，求点P的坐标；（3）在抛物线上（AB下方）是否存在点M，使∠ABO＝∠ABM？若存在，求出点M到y轴的距离；若不存在，请说明理由．31．（2019•衡阳）如图，二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点N，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD，点P是x轴上一动点，连接CP，过点P作CP的垂线与y轴交于点E．（1）求该抛物线的函数关系表达式；（2）当点P在线段OB（点P不与O、B重合）上运动至何处时，线段OE的长有最大值？并求出这个最大值；（3）在第四象限的抛物线上任取一点M，连接MN、MB．请问：△MBN的面积是否存在最大值？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．32．（2019•连云港）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线L1：y＝x2+bx+c过点C（0，﹣3），与抛物线L2：y＝﹣x2﹣x+2的一个交点为A，且点A的横坐标为2，点P、Q分别是抛物线L1、L2上的动点．（1）求抛物线L1对应的函数表达式；（2）若以点A、C、P、Q为顶点的四边形恰为平行四边形，求出点P的坐标；（3）设点R为抛物线L1上另一个动点，且CA平分∠PCR．若OQ∥PR，求出点Q的坐标．33．（2019•怀化）如图，在直角坐标系中有Rt△AOB，O为坐标原点，OB＝1，tan∠ABO＝3，将此三角形绕原点O顺时针旋转90°，得到Rt△COD，二次函数y＝﹣x2+bx+c的图象刚好经过A，B，C三点．（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；（2）过定点Q的直线l：y＝kx﹣k+3与二次函数图象相交于M，N两点．①若S△PMN＝2，求k的值；②证明：无论k为何值，△PMN恒为直角三角形；③当直线l绕着定点Q旋转时，△PMN外接圆圆心在一条抛物线上运动，直接写出该抛物线的表达式．34．（2019•盐城）如图所示，二次函数y＝k（x﹣1）2+2的图象与一次函数y＝kx﹣k+2的图象交于A、B两点，点B在点A的右侧，直线AB分别与x、y轴交于C、D两点，其中k＜0．（1）求A、B两点的横坐标；（2）若△OAB是以OA为腰的等腰三角形，求k的值；（3）二次函数图象的对称轴与x轴交于点E，是否存在实数k，使得∠ODC＝2∠BEC，若存在，求出k的值；若不存在，说明理由．35．（2019•广安）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于A、B两点（A在B的左侧），与y轴交于点N，过A点的直线l：y＝kx+n与y轴交于点C，与抛物线y＝﹣x2+bx+c的另一个交点为D，已知A（﹣1，0），D（5，﹣6），P点为抛物线y＝﹣x2+bx+c上一动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线和直线l的解析式；（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作PF∥y轴交直线l于点F，求PE+PF的最大值；（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．36．（2019•宜宾）如图，在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2﹣2x+c与直线y＝kx+b都经过A（0，﹣3）、B（3，0）两点，该抛物线的顶点为C．（1）求此抛物线和直线AB的解析式；（2）设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M、N、C、E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；（3）设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．37．（2019•重庆）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于点A，B（点A在点B的左侧），交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，对称轴与x轴交于点E．（1）连结BD，点M是线段BD上一动点（点M不与端点B，D重合），过点M作MN⊥BD，交抛物线于点N（点N在对称轴的右侧），过点N作NH⊥x轴，垂足为H，交BD于点F，点P是线段OC上一动点，当MN取得最大值时，求HF+FP+PC的最小值；（2）在（1）中，当MN取得最大值，HF+FP+PC取得最小值时，把点P向上平移个单位得到点Q，连结AQ，把△AOQ绕点O顺时针旋转一定的角度α（0°＜α＜360°），得到△A′OQ′，其中边A′Q′交坐标轴于点G．在旋转过程中，是否存在一点G，使得∠Q'＝∠Q'OG？若存在，请直接写出所有满足条件的点Q′的坐标；若不存在，请说明理由．38．（2019•临沂）在平面直角坐标系中，直线y＝x+2与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）经过点A、B．（1）求a、b满足的关系式及c的值．（2）当x＜0时，若y＝ax2+bx+c（a＜0）的函数值随x的增大而增大，求a的取值范围．（3）如图，当a＝﹣1时，在抛物线上是否存在点P，使△PAB的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P的坐标；若不存在，请说明理由．39．（2019•长沙）如图，抛物线y＝ax2+6ax（a为常数，a＞0）与x轴交于O，A两点，点B为抛物线的顶点，点D的坐标为（t，0）（﹣3＜t＜0），连接BD并延长与过O，A，B三点的⊙P相交于点C．（1）求点A的坐标；（2）过点C作⊙P的切线CE交x轴于点E．①如图1，求证：CE＝DE；②如图2，连接AC，BE，BO，当a＝，∠CAE＝∠OBE时，求﹣的值．40．（2019•南京）【概念认识】城市的许多街道是相互垂直或平行的，因此，往往不能沿直线行走到达目的地，只能按直角拐弯的方式行走．可以按照街道的垂直和平行方向建立平面直角坐标系xOy，对两点A（x1，y1）和B（x2，y2），用以下方式定义两点间距离：d（A，B）＝|x1﹣x2|+|y1﹣y2|．【数学理解】（1）①已知点A（﹣2，1），则d（O，A）＝．②函数y＝﹣2x+4（0≤x≤2）的图象如图①所示，B是图象上一点，d（O，B）＝3，则点B的坐标是．（2）函数y＝（x＞0）的图象如图②所示．求证：该函数的图象上不存在点C，使d（O，C）＝3．（3）函数y＝x2﹣5x+7（x≥0）的图象如图③所示，D是图象上一点，求d（O，D）的最小值及对应的点D的坐标．【问题解决】（4）某市要修建一条通往景观湖的道路，如图④，道路以M为起点，先沿MN方向到某处，再在该处拐一次直角弯沿直线到湖边，如何修建能使道路最短？（要求：建立适当的平面直角坐标系，画出示意图并简要说明理由）

参考答案与试题解析一．解答题（共40小题）1．（2019•宜昌）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A（﹣2，4），B（﹣2，﹣2），C（4，﹣2），D（4，4）．（1）填空：正方形的面积为36；当双曲线y＝（k≠0）与正方形ABCD有四个交点时，k的取值范围是：0＜k＜4或﹣8＜k＜0；（2）已知抛物线L：y＝a（