三角形中的有关问题 测模拟试题

解三角形三角形中的有关问题【知识网络】1．正弦定理与余弦定理．２．在解三角形中，正弦定理可解决两类问题：①已知两角及任一边，求其它边角；②已知两边及一边的对角，求其它的边或角．情形②中结果可能有一解、两解、无解，应注意区分．余弦定理可解决两类问题：①已知两边及任一角问题；②已知三边问题．３．正、余弦定理可用于边角之间的转化及判断三角形的形状.．【典型例题】［例1］(1)的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且，则A．B．C．D．(1)B提示：利用余弦定理（2）在△ABC中，由已知条件解三角形，其中有两解的是（）A. B.C. D.（2）C提示：在斜三角形中，用正弦定理求角时，若已知小角求大角，则有两解；若已知大角求小角，则只有一解（3）在△ABC中，已知，，则的值为（）ABC或D（3）A提示:在△ABC中，由知角B为锐角（4）若钝角三角形三边长为、、，则的取值范围是．(4)提示：由可得（5）在△ABC中，=．（5）提示：由面积公式可求得，由余弦定理可求得［例2］在△ABC中，sinA=，判断这个三角形的形状.解：应用正弦定理、余弦定理，可得a=，所以b（a2－b2）+c（a2－c2）=bc（b+c）.所以（b+c）a2=（b3+c3）+bc（b+c）.所以a2=b2－bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.［例3］在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长，已知a、b、c成等比数列，且a2－c2=ac－bc，求∠A的大小及的值.解：∵a、b、c成等比数列，∴b2=ac.又a2－c2=ac－bc，∴b2+c2－a2=bc.在△ABC中，由余弦定理得cosA===，∴∠A=60°.在△ABC中，由正弦定理得sinB=，∵b2=ac，∠A=60°，∴=sin60°=.BDCαBDCαβA记∠CAD=,∠ABC=.(1)．证明;（2）．若AC=DC,求的值.解：(1)．如图，即．（2）．在中，由正弦定理得由(1)得，即．【课内练习】1．在中，下列等式总能成立的是（）1．D2．在△ABC中，若2cosBsinA=sinC，则△ABC的形状一定是（）A.等腰直角三角形 B.直角三角形C.等腰三角形 D.等边三角形2．C提示：由2cosBsinA=sinC得×a=c，∴a=b.3．△ABC中，a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边，如果a、b、c成等差数列，∠B=30°，△ABC的面积为，那么b等于（）A. +C. +3．B提示：∵a、b、c成等差数列，∴2b=a+c.平方得a2+c2=4b2－2ac.又△ABC的面积为，且∠B=30°，故由S△ABC=acsinB=acsin30°=ac=，得ac=6.∴a2+c2=4b2－12.由余弦定理，得cosB====，解得b2=4+2.又b为边长，∴b=1+.4．若的内角满足，则()A.B．C．D．4．A提示：由得，又，所以5．在△ABC中，若∠C=60°，则=_______.5．1提示：==. （*）∵∠C=60°，∴a2+b2－c2=2abcosC=ab.∴a2+b2=ab+c2.代入（*）式得=1.6．在锐角△ABC中，边长a=1，b=2，则边长c的取值范围是_______.6．提示由得，同时也满足任意两边之和大于第三边7．已知△ABC的三个内角A、B、C成等差数列，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为．7．提示：由已知得，再由余弦定理可得8．中，内角成等差数列，边长，求边及面积．解：由成等差数列，得又，由余弦定理得：即：，解得当时，当时，9．在中，分别为角的对边，已知的面积为，且．求的值．解：由，得，由及余弦定理得：，即：由得：，即：解方程组得，所以10．已知△ABC中，2（sin2A－sin2C）=（a－b）sinB，△ABC外接圆半径为.（1）求∠C；（2）求△ABC面积的最大值.解：（1）由2（sin2A－sin2C）=（a－b）·sinB得2（－）=（a－b）.又∵R=，∴a2－c2=ab－b2.∴a2+b2－c2=ab.∴cosC==.又∵0°＜C＜180°，∴C=60°.（2）S=absinC=×ab=2sinAsinB=2sinAsin（120°－A）=2sinA（sin120°cosA－cos120°sinA）=3sinAcosA+sin2A=sin2A－cos2A+=sin（2A－30°）+.∴当2A=120°，即A=60°时，Smax=.作业本A组1．在△ABC中，“”是“”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件1．C提示：2．在△ABC中，若，则△ABC是（）A等腰三角形B直角三角形C等腰直角三角形D等腰三角形或直角三角形2．D提示：由已知得，即：所以3．是三边长，若满足等式，则角的大小为（）3．C提示：由余弦定理可得4．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是、、，，若，，由=．4．2提示：由正弦定理可得5．在△ABC中，，，△ABC面积，由=．5．D6．在△ABC中，角A、B、C对边分别为a、b、c.证明：=.证明：由余弦定理a2=b2+c2－2bccosA，b2=a2+c2－2accosB，∴a2－b2=b2－a2－2bccosA+2accosB，整理得=.依正弦定理有=，=，∴==.7．已知圆内接四边形的边长分别是，求四边形的面积．解：如图，连结BD，在△ABD中在△CBD中8．，求角B的大小并判断得，解得：， 化简得：，所以B组1．在△ABC中，已知，则△ABC是（）A正三角形B正三角形或直角三角形C直角三角形D等腰三角形1．A提示：本题要注意２．在△ABC中，，则△ABC的周长为（）A．B．Ｃ．Ｄ．２．Ｄ提示：利用正弦定理可得３．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别是、、，且BC边上的高为，则的最大值为（）A．BC2D43．A提示：由得所以4.在△ABC中，，则AC边上的中线BD长为．4．7提示：两式相加可得5．则∠C的度数是_______.5．45°提示：由S=（a2+b2－c2）得absinC=·2abcosC.∴tanC=1.∴C=.6．在解：（1）因为（2）又，当且仅当时，故的最大值是7．8．如图，已知△ABC是边长为1的正三角形，M、N分别是边AB、AC上的点，线段MN经过△ABC的