动量和动量守恒

动量和动量守恒第1页，共46页，2023年，2月20日，星期三力(力矩）对时间的积累效应力(力矩）对空间的积累效应研究------动量定理-----动能定理(第4、5章）平动冲量动量的改变功动能的改变------角动量定理（第5章）转动冲量矩角动量的改变第2页，共46页，2023年，2月20日，星期三对质点：……..(1)力的冲量：单位:牛顿.秒3-1质点和质点系的动量定理一.力的冲量过程量，反映力的时间积累效应。矢量,方向沿动量增量的方向。特点：第3页，共46页，2023年，2月20日，星期三平均冲力的概念：

若一恒力的冲量与相同时间内一变力的冲量相等。则该恒力称为这一变力的平均冲力。F

tt1t2tf第4页，共46页，2023年，2月20日，星期三二.质点的动量定理由牛顿第二定律合力的冲量动量的增量作用于质点的合力的冲量等于质点动量的增量

----质点的动量定理

积分形式微分形式

动量定理是牛顿第二定律变形，但又不同于牛顿第二定律（瞬时作用规律）。第5页，共46页，2023年，2月20日，星期三船行“八面风”第6页，共46页，2023年，2月20日，星期三“好船家会使八面风”。请分析逆风行舟的道理与水的阻力相平衡为船前进的推动力龙骨帆风第7页，共46页，2023年，2月20日，星期三积分形式微分形式分量式第8页，共46页，2023年，2月20日，星期三例：圆锥摆运动当质点从a点绕行半周到b点，求此过程中重力、绳中张力的冲量。解：重力的冲量（恒力的冲量）求张力的冲量（变力的冲量）用动量定理计算冲量举例ab第9页，共46页，2023年，2月20日，星期三【例】

有一力作用在质量为m=2kg

的物体上，使物体由原点从静止开始运动：(1)前3秒内该力的冲量；(2)第3秒末物体的速度。【解】

(1)根据变力冲量的计算法，该力的冲量为(2)由质点动量定理并考虑到，有所以讨论：(1)对于变力冲量的计算，要用积分法，而不能简单借用力乘以时间，如。(2)这里利用了动量定理——力的时间积累效应来计算速度根据牛顿运动定律——力的瞬间作用规律，先求出加速度。当然也可，然后再按运动学方法先求速度。第10页，共46页，2023年，2月20日，星期三三.质点系的动量定理

质点系:

由相互作用的若干质点组成的系统。

内力

:质点系内部质点间的相互作用力。

外力

:质点系外部其它物体对质点系内质点的作用力。两个质点组成的质点系的动量变化:对第1个质点对第2个质点两式相加第11页，共46页，2023年，2月20日，星期三由牛III:两式相加:质点i所受外力，

：质点i受质点j的内力，：质点i的动量。推广到更多质点的系统：对质点i

：对质点系：Fipiij质点系fjifij一对内力抵消即有第12页，共46页，2023年，2月20日，星期三记作:质点系所受合外力对质点系：积分形式微分形式系统内力之和质点系的总动量由牛III：质点系的动量定理：作用于质点系的合外力的冲量等于系统动量的增量。第13页，共46页，2023年，2月20日，星期三

质点系动量定理是牛III的必然推论。

用质点系动量定理处理问题可避开复杂的内力。内力能使系统内各个质点的动量发生改变，但对系统的总动量不产生任何影响。

动量定理只适用于惯性系。内力不影响系统总动量说明Fipiij质点系fjifij第14页，共46页，2023年，2月20日，星期三

例：传送带A沿水平方向传送煤粉，料斗口在传送带上方h=0.5m处，煤粉自料斗口自由落在传送带上。设料斗口卸煤的流量为

q=40kg/s,传送带以

v=2.0m/s的水平速度匀速向右移动，求装煤过程中，煤粉对传送带A的作用力大小和方向。解：以煤粉为研究对象。dt时间落下质量dm的煤粉，

q=dm/dt=40(kg/s)由动量定理。。。。。。y(m)x(m)0.5煤粉对传送带的作用力α第15页，共46页，2023年，2月20日，星期三

例一柔软链条长为l,单位长度的质量为.链条放在桌上,桌上有一小孔,链条一端由小孔稍伸下,其余部分堆在小孔周围.由于某种扰动,链条因自身重量开始落下.求链条下落速度与落下距离之间的关系.设链与各处的摩擦均略去不计,且认为链条软得可以自由伸开.

解:

以竖直悬挂的链条和桌面上的链条为一系统,建立如图坐标由质点系动量定理得m1m2Oyy则第16页，共46页，2023年，2月20日，星期三则两边同乘以则m1m2Oyy又第17页，共46页，2023年，2月20日，星期三3、当内力>>外力时，动量近似守恒。例如碰撞和爆炸。1、只适用于惯性系。2、若某方向的合外力为零，则沿这方向动量守恒。

如果合外力为零，则质点系的总动量不随时间改变常矢量3-2动量守恒定律质点系的动量定理或说明

4、动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本的定律，宏观和微观领域均适用。(例：中微子的发现）第18页，共46页，2023年，2月20日，星期三常用的分量式：若若若第19页，共46页，2023年，2月20日，星期三例3-1

水平光滑铁轨上有一车，长度为l，质量为m2，车的一端有一人（包括所骑自行车），质量为m1，人和车原来都静止不动。当人从车的一端运动到另一端时，人、车各移动了多少距离？解：人、车系统，水平方向动量守恒。建立坐标系，有

m1v1+m2（-v2)=0或

v2=m1v1/m2

人相对于车的速度u=v1-(-v2)=(m1+m2)v1/m2

设时间t

内人从车的一端走到另一端，则有人相对于地面的位移为小车相对于地面的位移为第20页，共46页，2023年，2月20日，星期三如图所示，两部运水的卡车A、B在水平面上沿同一方向运动，B的速度为u

，从B上以6kg/s的速率将水抽至A上，水从管子尾部出口垂直落下，车与地面间的摩擦不计，时刻t时，A车的质量为M，速度为v

。选A车M和t时间内抽至A车的水m为研究系统，水平方向上动量守恒解:例3-2求:

t时刻，A的瞬时加速度ABuvA第21页，共46页，2023年，2月20日，星期三例3-3.

质量为M的人拿着质量为m的物体跳远，起跳速度为v0,仰角为φ。到最高点时，此人将手中的物体以相对速率u水平向后抛出。问跳远成绩因此而增加多少？解:当达到最大高度时，抛出m相对地的速度为v-u,速度增量增加的距离：由水平方向动量守恒：得而故m,M第22页，共46页，2023年，2月20日，星期三中国长征系列火箭第23页，共46页，2023年，2月20日，星期三3-3火箭飞行原理------变质量问题

▲粘附

—主体的质量增加（如滚雪球）

▲抛射

—主体的质量减少（如火箭发射）

还有另一类变质量问题是在高速（vc）情况下，这时即使没有粘附和抛射，质量也可以改变—随速度变化m=m(v)，这是相对论情形，不在本节讨论之列。变质量问题（低速，v

<<c）有两类：下面仅以火箭飞行原理为例，讨论变质量问题。第24页，共46页，2023年，2月20日，星期三一.单级火箭研究对象:t时刻火箭和尚存的燃料经过dt时间，火箭喷出质量为dm的气体，其喷出速度相对火箭为定值u,t+dt时刻:喷出气体的质量等于火箭质量的减少量，对地的速度为(1)选地面作参考系

剩余质量为对地速度为(2)略去二阶小量称为喷气速度动量守恒选正向t时刻:火箭+燃料=M第25页，共46页，2023年，2月20日，星期三或者设火箭点火时质量为Mi，初速度为vi,

燃料烧完后质量为Mf,末速度为vf，对上式积分，则有

火箭增加的速度1.化学燃料最大u

值为实际上只是这个理论值的50%.

这个u值比带电粒子在电场作用下获得的速度~3108m/s

小得多,由此引起人们对离子火箭,光子火箭的遐想……...

可惜它们喷出的物质太少,从而推动力太小即所需加速过程太长.初速为0时提高v的途径：第26页，共46页，2023年，2月20日，星期三2.

目前质量比为10-20之间。考虑到地球引力及大气层的阻力作用，一级火箭的末速度小于第一宇宙速度二.多级火箭设各级火箭的质量比为N1,N2,…..Nn,各级火箭的喷气速度为u1,u2,…..un,各级火箭的速度增量为Δv1,Δ

v2,…..Δ

vn,则多级火箭发射后的最终速度为若为三级火箭，且u1=u2=u3=u,则：第27页，共46页，2023年，2月20日，星期三t+dt时刻：速度v

u，动量dm(v

u)三.火箭所受的推力研究对象：喷出气体dmt时刻：速度v(和主体速度相同)，动量vdm喷出气体所受推力由动量定理，dt内喷出气体所受冲量F箭对气dt=dm(v

u)

vdm=

udm由此得火箭所受燃气的反推力为第28页，共46页，2023年，2月20日，星期三第29页，共46页，2023年，2月20日，星期三第30页，共46页，2023年，2月20日，星期三3-4碰撞（自修）3-5质心质心运动定理第31页，共46页，2023年，2月20日，星期三1、引入质心——与质量分布有关的一个代表点，它的位置在平均意义上代表质量分布的中心。一.质心ccccccc

板上点C的运动轨迹是抛物线

其余点的运动=随点C的平动+绕点C的转动第32页，共46页，2023年，2月20日，星期三2、质心位置m1mim2c质量离散分布的物体质量连续分布的物体第33页，共46页，2023年，2月20日，星期三说明：

1）尺寸不太大的物体质心与重心重合

2）质量均匀分布,形状对称的物体,质心在几何中心例1.地球--月亮系统的质心例2.弯成半圆形的一段铁丝的质心物体的质心一定在物体上吗？质心是以质量为权重的“平均位矢”3）质心位矢与坐标系的选择有关。但对质点系内各质点的相对位置与坐标系选择无关，它是质点系本身一个特定位置。x加权“平均位矢”第34页，共46页，2023年，2月20日，星期三二.质心运动定理m1mim2c

由质心位矢对时间求一阶和二阶导数可得质心速度质心加速度质点系的动量：第35页，共46页，2023年，2月20日，星期三将质点系总动量对时间求导，即2.当物体只作平动时，质心运动代表整个物体的运动。说明：3.只有外力才能改变质心的运动状态。质点系的内力不能改变质心的运动状态.作用在系统上的合外力等于系统的总质量与系统质心加速度的乘积------质心运动定理1.质心的运动可看成一个质点的运动（质量与合外力集中在质心上）第36页，共46页，2023年，2月20日，星期三质点系的质心仍按质点的运动规律作抛物运动.请讨论下面问题：炮弹爆炸抛出鎯头第37页，共46页，2023年，2月20日，星期三COxCx2m22mm1x例如设有一质量为2m的弹丸,从地面斜抛出去,它飞行在最高点处爆炸成质量相等的两个碎片，其中一个竖直自由下落，另一个水平抛出，它们同时落地．问第二个碎片落地点在何处?提示选弹丸为一系统，爆炸前、后质心运动轨迹不变．

建立图示坐标系，xC为弹丸碎片落地时质心离原点的距离第38页，共46页，2023年，2月20日，星期三常矢量三.动量守恒与质心的运动同理，若分动量守恒；质点系动量守恒和质心匀速运动等价！光滑冰面上匀速运动的钣手质点系常矢量第39页，共46页，2023年，2月20日，星期三求：船相对岸移动的距离d=？（设船与水之间的摩擦可以忽略）mMdcc【解】方法一：质心法。系统：人与船水平方向：不受外力所以质心始终静止。例3-4

质量M=200千克、长l=4米的木船浮在静止的水面上，一质量为m=50千克的人站在船尾。若人从船尾走到船头，xx2x1x’2x’1y第40页，共46页，2023年，2月20日，星期三得ccmMdxx2x1x’2x’1y第41页，共46页，2023年，2月20日，星期三方法二