动态系统的最优控制方法

动态系统的最优控制方法第1页，共42页，2023年，2月20日，星期三最优控制理论是现代控制理论的核心，20世纪50年代发展起来的，已形成系统的理论。所谓最优控制系统，是在一定的具体条件下，在完成所要求的控制任务时，使系统的某种性能指标达到最优。本章重点讨论了最优控制系统常用的方法：变分法、极小值原理和线性二次型优化三种方法及在典型系统设计中的应用。概述最优控制：在系统的状态方程和约束给定的情况下，寻找最优控制律，使系统的性能指标达到最优。一、概述第2页，共42页，2023年，2月20日，星期三问题的提出2.初态和终态：(最优控制的四个要素)1.状态方程：3.容许控制：目标集二、问题的提出L为状态控制过程中对工作品质的要求一般表示:对终端状态的要求4.性能指标：第3页，共42页，2023年，2月20日，星期三性能指标的类型三.性能指标的类型积分型性能指标:末值型性能指标:复合型性能指标：四.主要数学方法<1>解析法<2>数值法<3>梯度型法第4页，共42页，2023年，2月20日，星期三泛函与变分的基本概念一.泛函与变分的基本概念1.泛函与变分的基本概念

(1)泛函(2)函数的变分第5页，共42页，2023年，2月20日，星期三(3)泛函的连续性：(4)线性泛函：线性泛函第6页，共42页，2023年，2月20日，星期三(5)泛函的变分最优控制中的变分法第7页，共42页，2023年，2月20日，星期三泛函变分的求法定理：性质：最优控制中的变分法5.第8页，共42页，2023年，2月20日，星期三[例]解:最优控制中的变分法第9页，共42页，2023年，2月20日，星期三泛函的极值最优控制中的变分法二、泛函的极值第10页，共42页，2023年，2月20日，星期三无约束条件的泛函极值问题

----横截条件定理：设----欧拉方程第11页，共42页，2023年，2月20日，星期三固定始端和终端无约束条件的泛函极值问题

(1)固定始端和终端则横截条件为：tx(t)tft0(2)固定始端和自由终端则横截条件为：tx(t)tft0第12页，共42页，2023年，2月20日，星期三自由始端和固定终端无约束条件的泛函极值问题

(4)自由始端和自由终端(3)自由始端和固定终端横截条件为：横截条件为：tx(t)tft0tx(t)tft0第13页，共42页，2023年，2月20日，星期三[例]已知解：求无约束条件的泛函极值问题

例第14页，共42页，2023年，2月20日，星期三有约束条件下的泛函数极值问题定理：设欧拉方程定理横截条件第15页，共42页，2023年，2月20日，星期三[例]已知:有约束条件下的泛函数极值问题例第16页，共42页，2023年，2月20日，星期三设解:有约束条件下的泛函数极值问题则：解第17页，共42页，2023年，2月20日，星期三为常数有约束条件下的泛函数极值问题解得：这里由得：续第18页，共42页，2023年，2月20日，星期三由边界条件：有约束条件下的泛函数极值问题由得：即：续第19页，共42页，2023年，2月20日，星期三变分法求解最优控制问题设状态方程其中，求构造Harmilton函数：式中：——拉格朗日乘子分量第20页，共42页，2023年，2月20日，星期三变分法求解最优控制问题下面分两种情况进行讨论:对于最优控制问题一、末端时刻固定,任意(终端自由)求最优解的必要条件.下面分两种情况进行讨论:求最优解的必要条件第21页，共42页，2023年，2月20日，星期三末端固定终端自由定理:对于最优控制问题一、末端时刻固定,任意(终端自由)最优解的必要条件:正则方程满足1.变分法求解最优控制问题第22页，共42页，2023年，2月20日，星期三变分法求解最优控制问题其中：Harmilton函数2.边界条件

横截条件3.极值条件续第23页，共42页，2023年，2月20日，星期三变分法求解最优控制问题证明:构造增广泛函证明第24页，共42页，2023年，2月20日，星期三变分法求解最优控制问题续第25页，共42页，2023年，2月20日，星期三[例]设系统试求使变分法求解最优控制问题其中给定，求解：例题第26页，共42页，2023年，2月20日，星期三变分法求解最优控制问题续第27页，共42页，2023年，2月20日，星期三变分法求解最优控制问题当续第28页，共42页，2023年，2月20日，星期三末端固定终端受约二、末端时刻固定,受约束定理：对于min（终端受约束）其中正则方程1.满足其中：变分法求解最优控制问题第29页，共42页，2023年，2月20日，星期三2.边界条件：横截条件：3.极值条件：变分法求解最优控制问题续第30页，共42页，2023年，2月20日，星期三极小值原理[例]一阶系统极小值原理由前苏联学者庞德里亚金于1956年提出，它由变分法引申而来。定理：设定常系统只要求：固定时，求的必要条件：第31页，共42页，2023年，2月20日，星期三1.正则方程其中定理：设定常系统只要求：固定时，求的必要条件：极小值原理

正则方程2.横截条件3.极小值条件边界条件第32页，共42页，2023年，2月20日，星期三极小值原理已知系统求：[例]例题解：线性定常系统，固定，自由，受约束由协态方程使Hmin得：得：第33页，共42页，2023年，2月20日，星期三极小值原理解得：续第34页，共42页，2023年，2月20日，星期三由当求出时的初态极小值原理续第35页，共42页，2023年，2月20日，星期三线性二次型问题的最优控制一.问题的提出设系统其中其中第36页，共42页，2023年，2月20日，星期三线性二次型问题的最优控制（续）二次型指标中各项的物理含义：表示对过程的要求，对每个状态分量的要求由Q阵来控制表示对控制能力的要求，即在整个控制过程中，消耗能量最少表示对终点状态的要求，对每个状态分量的要求由F阵来控制第37页，共42页，2023年，2月20日，星期三线性二次型问题的最优控制（续）

线性二次型最优控制问题指：线性系统，性能指标为状态变量和控制变量的二次型函数的积分及二次型末值项状态调节器：输出调节器：输出跟踪调节器：第38页，共42页，2023年，2月20日，星期三有限时间时变状态调节器二.有限时间时变状态调节器(tf固定)设线性时变系统状态空间描述为：线性二次型问题的最优控制性能泛函式中第39页，共42页，2023年，2月20日，星期三最优性能指标其中满足下列黎卡提矩阵微分方程边界条件最优轨迹满足：线性二次型问题的最优控制续第40页，共42页，2023年，2月20日，星期三三.无限时间最优状态调节器系统常数阵A，